Potenssiyhtälö
Jokaiselle potenssille on vastaava juuri. Toisella potenssilla on neliöjuuri (toinen juuri), kolmannella potenssilla kolmas juuri. Aikaisemmin on jo opittu ratkaisemaan neliöyhtälö ja kuutioyhtälö.
Potenssiyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, joka sievenee muotoon
ja jossa luvut x ja a sekä b ovat sellaisia, että yhtälö on määritelty. Potenssien käänteisoperaationa on juuret. Yleinen ratkaisu ylläolevalle muodolle on
Mikäli a on parillinen, on ratkaisuja kaksi. Tällöin on b:n oltava positiivinen. Mikäli a on pariton, on ratkaisuja vain yksi ja b voi olla myös negatiivinen.
Kun a on parillinen
Kun a on pariton
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälöt
Ratkaisu a)
Yhtälö on suoraan siinä muodossa, että voidaan ottaa seitsemäs juuri puolittain. Seitsemäs juuri kumoaa seitsemännen potenssin.
Ratkaisu b)
Jaetaan ensin kerroin 3 pois, minkä jälkeen voidaan ottaa puolittain neljäs juuri.
Edellisissä esimerkeissä ratkaisuksi tulee aina kiva kokonaisluku. Mutta näin ei välttämättä aina ole.
Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö
Ratkaisu
Jaetaan puolittain kertoimella 2 ja otetaan kuudes juuri.
Yhtälön tarkat vastaukset on miinus kuudes juuri luvusta 25 ja kuudes juuri luvusta 25. Laskimella saamme likiarvot -1,71 ja 1,71
Esimerkki 3
Sovellusesimerkki
Teollisuuslaitoksen rikkipäästöjä halutaan viidessä vuodessa vähentää 60%. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi?
Merkitään rikkipäästöjen määrää kirjaimella a ja vuotuista vähennystä x. Viiden vuoden päästä pitää olla jäljellä enää 40%.
Saadaan yhtälö
0,833=83,3%, eli vuotuinen vähennystavoite 100%-83,3%=16,7%
Harjoituksia
1. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Siirrä vakiot oikealle ja jaa kerroin pois.
2. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Vakiot oikealle, muuttujat vasemmalle
3. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Avaa sulkeet ja sievennä
4. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Vakiot oikealle.
5. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Vakiot oikealle ja muuttujat vasemmalle
6. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Avaa sulkeet ja sievennä
7. Liisa-Petterin palkka oli vuonna 2010 ennen veroja 1800 €. Vuonna 2020 palkka oli 2800 €. Palkka on noussut vuosittain yhtä monta prosenttia. Mikä on ollut vuosittainen kasvuprosentti?
Jos palkka olisi kasvanut lineaarisesti joka vuosi, kuinka paljon se olisi kasvanut vuosittain?
Muodosta molempia kasvutapoja vastaavat funktiot ja piirrä niiden kuvaajat GeoGebralla.
Vihje
Merkitse muutosta x ja muodosta yhtälö. Mikä tulee kasvukertoimen potenssiksi?
Mikä tulee lineaarisessa kasvussa x:n kertoimeksi?
8. Liisa-Petteri haluaa kaksinkertaistaa 2800 € palkkansa seuraavan 8 vuoden aikana. Kuinka paljon palkan pitäisi nousta vuosittain, jos palkankorotus on
a) euromääräisesti sama
b) prosentuaalisesti
sama joka vuosi?
Vihje
Alussa 2800, lopussa 5600. Muutos x ja muutoksia 8 kertaa.
9. Liisa-Petterin puhalsi jättimäisen ilmapallon takapihalleen. Pallon läpimitta oli 12 metriä. Pallosta kuitenkin vuoti ilmaa ja sen tilavuus pieneni 10% päivittäin. Kuinka monta päivää kestää, että pallon tilavuus on puolittunut?
Vihje
Jos jokin pienenee 10%, kuinka paljon sitä on jäljellä? Tämän desimaalimuoto on muutoskerroin.
10. Liisa-Petteri kloonasi itsensä. Hän sai määränsä kasvatettua viidessä vuodessa sadasta Liisa-Petteristä 180 Liisa-Petteriin. Kasvua on ollut prosentuaalisesti yhtä paljon joka vuosi. Kuinka monta Liisa-Petteriä on 10 vuoden kuluttua, jos kasvu jatkuu samanlaisena?
Vihje
Ratkaise ensin vuosittainen muutos x.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. a) Missä pisteessä suora x - 5y = 4 leikkaa y-akselin?
b) Ratkaise yhtälö 4x³ = 48 Anna tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo.
c) Ratkaise yhtälö 2∙3ˣ = 162.
Kevät 2014
a) (0,-4/5)
b) Likiarvo 2,289 (kuutiojuuri 12)
c) 4
2. Sanomalehden tilaushinta vuodeksi 2003 oli 194,26 € ja vuodeksi 2009 vastaavasti 249 €. Kuinka monen prosentin vuosittaista hinnankorotusta tämä vastaa, kun oletetaan, että prosentti on jokaisena vuonna ollut sama?
Kevät 2010
4,2%