Muuttujanvaihto

Muuttujanvaihto integroidessa on pohjimmiltaan derivoinnin ketjusäännön käyttöä, joten kerrataan nopeasti ketjusääntö ennen muuttujanvaihtoihin etenemistä:

Derivoinnin ketjusääntö siis yksinkertaisuudessaan kertoo kuinka yhdistetty funktio derivoidaan:

jos g ja f ovat derivoituvia funktioita.

Esimerkiksi siis D(sin(x² + 7)) = 2x cos(x² + 7), sillä D sin x = cos x ja D(x² + 7) = 2x.

Ketjusääntö itsessään on yllättävän tehokas työkalu. Sillä voi esimerkiksi helposti johtaa kaavan arkustangentin derivaatalle:

Esimerkki 1

Lähdetään liikkeelle havainnosta, että jos g on funktion f käänteisfunktio, eli g(f(x))=x, niin

mutta toisaalta, koska g(f(x)) = x, niin

Siispä

Olkoon nyt f(x) = tan x, jolloin g(x) = arctan x. Nyt

Tehdään nyt muuttujanvaihto: y = f(x) = tan x. Tällöin lauseke

muuttuu muotoon

Koska g(y) = arctan y, on saatu kaava arkustangentin derivaatalle.

Muuttujanvaihto

Siirrytään nyt varsinaisten muuttujanvaihtojen puolelle. Yksinkertaisuudessaan kyse on siitä, että lausekkeessa

tehdään sijoitus x = g(t) tai toiseen suuntaan: g(x) = t jollakin sopivalla funktion g valinnalla ja tehdään tämän jälkeen sijoitukset takaisin tai määrätyn integraalin tapauksessa muokataan integrointirajat. Perustellaan ensin miksi tämä toimii ja tarkastellaan sen jälkeen esimerkkejä.

Olkoon funktion f integraalifunktio F. Tällöin

Toisaalta

Ensimmäinen integraali laskettiin ketjusääntöä hyödyntäen:

ja jälkimmäinen suoraan integroiden muuttujan x suhteen. Vastaavasti kaavan pystyy perustelemaan myös määräämättömälle integraalille. Huomaa, että muunnos toimii kumpaankin suuntaan: sekä siihen, että x korvataan jollain lausekkeella g(t) että siihen, että jokin lauseke g(t) korvataan muuttujalla x. Nämä kaksi tapaa voi myös yhdistää: Joskus voi olla hyödyllistä korvata jokin lauseke g₁(x) jollain toisella lausekkeella g₂(t). Tätä käsitellään harjoitustehtävissä. Siirtymän voi tällöin ajatella kahdessa osassa: y = g₂(t) ja y = g₁(x) tai tehdä suoraan. Tyypillisesti käytetään lyhennysmerkintää: kun tehdään muuttujanvaihto x = g(t), niin sisäfunktion derivaatta huomioidaan lyhyesti kirjoittamalla dx = g’(t) dt. Tätä käytetään esimerkeissä, eli tämä tulee selvenemään vielä niissä.

Lausekkeen korvaaminen muuttujalla

Toisinaan vastaan tulee integraaleja, jotka ovat hyvin jotka ovat hyvin selkeästi muotoa

kuten esimerkiksi

jolloin integrointi on helppoa, jos funktion g' integrointi onnistuu:

Tämän voi kuitenkin ajatella myös muuttujanvaihdon kautta. Kirjoitetaan f(x) = x², jolloin f’(x) = 2x ja lisäksi g(x) = e^x , jolloin g’(x) = e^x. Tällöin integroitava funktio on siis juuri yllämainittua muotoa

mutta voidaan myös ajatella, että tehdään muuttujanvaihto f(x) = f, jolloin integraali muuttuu muotoon

eli

Tässä kuitenkin pitää muistaa, että f = x² jolloin integraaliksi saadaan

kuten pitikin.

Tällaisessa tilanteessa muuttujan voi toki vaihtaa, mutta se ei välttämättä auta merkittävästi, sillä lausekkeesta näkyi jo suoraan mikä integraaliksi tulee, ja rakenne antoi valmiit lausekkeet suoraan. Mielenkiintoisempi tilanne on silloin, jos lausekkeessa ei ole suoraan nähtävissä vaadittavaa sisäfunktion derivaattaa. Yksinkertainen esimerkki tästä on seuraava:

Esimerkki 2. Lasketaan integraali

Tehdään muuttujanvaihto y(x) = 5x + 7, eli y = 5x + 7 jolloin y '(x) = 5, eli dy = 5dx. Integrointirajat saadaan laskemalla y(0) = 7 ja y(2) = 17. Tällöin integraali voidaan saattaa sellaiseen muotoon, jossa sisäfunktion derivaatta on näkyvissä

Ylläolevassa esimerkissä kaikki välivaiheet on kirjoitettu hyvin huolellisesti, koska se on ensimmäinen esimerkki menetelmän käytöstä. Käytännössä muuttujanvaihtoja tehtäessä prosessi kuitenkin rutinoituu, jolloin välivaiheiden määrä jää pienemmäksi.

Ylläolevassa tilanteessa suurin etu saadaan ehkä välttämällä huolimattomuusvirheet ja lisäksi joudutaan tekemään vähemmän työtä integraalin laskemiseksi. Parhaimmillaan sijoitus on kuitenkin silloin, kun integraalin muoto muuttuu huomattavasti niin, että aluksi vieraalta tai hankalalta näyttänyt lauseke saa tutun muodon.

Esimerkki 3. Integroidaan lauseke

Tilanne helpottuu huomattavasti, jos neliöjuuren sisällä ei olekaan x + 3 vaan ainoastaan yksi muuttuja ilman vakiota. Tehdään siis sijoitus y(x) = x + 3, eli y = x + 3, jolloin y '(x) = 1, eli dy = dx. Siispä sisäfunktion derivaattaa ei tarvitse huomioida. Integraali muuttuu siis muotoon

Tämä integraali onkin jo helppo laskea:

Integraali ei kuitenkaan ole vielä ihan valmis, sillä vielä on muistettava se, että y(x) = x + 3 ja tehtävä sijoitus takaisin, jolloin saadaan

Muuttujan korvaaminen lausekkeella

Toisinaan vastaan tulee funktioita, joiden muoto muistuttaa jostain tutusta ilmiöstä, mutta jotka eivät ole sellaisenaan ihan ilmeisiä. Aloitetaan esimerkillä:

Esimerkki 4. Lasketaan integraali

Piirretään kuva:

Kysymys on siis neljännesympyrän pinta-alan laskemisesta. Tämän osaisimme toki laskea geometriasta tutulla ympyrän pinta-alan kaavalla, mutta tämä tehtävä onkin enemmän tulkittava kyseisen kaavan johtamiseksi.

Ympyrätulkinta viekin ehkä ajatukset oikeaan suuntaan, johon myös integroitava lausekkeemme saattaa viedä: ympyrä on tunnetusti parametrisoitavissa sinin ja kosinin avulla. Lisäksi sini ja kosini toteuttavat näppärän identiteetin cos² t + sin² t =1.

Jos siis tehdään sijoitus x = cos t, muuttuu integroitava funktio näppärään muotoon:

Voidaan siis tehdä muuttujanvaihto asettamalla x = cos t. Lasketaan nyt integrointirajat. Alarajalla x = 0, eli cos t = 0, eli t = π/2 . Ylärajalla puolestaan x = 1, eli cos t = 1, eli t = π/2 . Lisäksi koska x = cos t, niin

Siispä

Nyt saatu integraali voitaisiin laskea esimerkiksi osittaisintegroiden, mutta tehdään se trigonometrisiä kaavoja hyödyntäen, nimittäin

joten integraali saadaan muotoon

Ylläoleva esimerkki antoi ehkä hyvän intuitiivisen selityksen sisäfunktion derivaatan merkityksestä: Siinä missä x etenee tasatahtia pisteestä 0 pisteeseen 1, ei kosini sitä tee, ja tämä muutosvauhti korjataan sisäfunktion derivaatalla. Otetaan toinen samankaltainen esimerkki:

Esimerkki 5. Lasketaan ellipsin

pinta-ala. Koska pinta-ala on yhtä suuri kussakin koordinaattitason neljänneksessä, riittää tarkastella yhtä niistä. Valitaan ensimmäinen neljännes.

Tällöin

ja ja 0 ≤ x ≤ 2 sekä 0 ≤ y ≤ 3 Laskettava integraali on siis

Tehdään muuttujanvaihto: x = 2 cos t, jolloin dx = −2 sin t dt ja integrointirajat muuttuvat seuraavasti: Kun x = 0, on t = π/2 ja kun x = 2, on t = 0. Saadaan siis