Derivoituvien ja jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

DERIVAATTA

Derivaatan määritelmään tutustuttiin jo moduulissa MAA6. Lisäksi aikaisemmissa moduuleissa on harjoiteltu erilaisten funktioiden derivoimista derivointisääntöjen avulla. Palataan nyt derivaatan matemaattiseen määritelmään, funktion derivoituvuuden tutkimiseen ja derivaatan geometriseen tulkintaan.

Liikuta raahaamalla pistettä A gegebra appletissa. Tutki mikä on funktiolle f(x) = x² pisteeseen A piirretyn tangentin kulmakerroin kun pisteen A x-koordinaatti on 2. Mihin pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on 0? Mihin pisteeseen piirrertyn tangentin kulmakerroin on -2?

Huomaa, että kun kulmakerrointa tarkastellaan Geogebrassa. Ohjelma piirtää kulmakertoimen hahmottamiseksi apukolmion, jossa vaakasuuntaisen sivun pituus on 1. Tällöin pystysuuntaisen sivun pituus apukolmiossa on kulmakertoimen arvo.

Lyhyesti sanottuna geometrisesti derivaatta tarkoittaa kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. Funktion derivaatta kohdassa a merkitään f'(a). Tämä on siis funktion kuvaajalle kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktio ei ole deriovoituva kohdassa a jos funktiolle ei voida piirtää yksikäsitteisesti tangenttia siihen kohtaan tai jos siihen kohtaan piirretyn tangentti on pystysuorassa.

Voit itse tutkia Geogebralla ylläolevien funktioiden derivaatan käyttäytymistä kohdassa 0. Piirrä funktion kuvaaja. Lisää siihen piste sekä pisteeseen piirretty funktion tangentti. Raahaa piste kohtaan 0.

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin määrittäminen matemaattisesti ei ole kuitenkaan aivan yksinkertaista, se täytyy tehdä tarkastelemalla erotusosamäärän raja-arvoa.

Funktion erotusosamäärällä on kaksi vaihtoehtoista muotoa.

1) Funktion f(x) erotusosamäärä kohdassa a on

Erotusosamäärä on siis sen suoran kulmakerroin, joka leikkaa funkton f(x) kuvaajan kohdassa a ja x.

Funktion derivaatta kohdassa a on tämän kulmakertoimen raja-arvo kun x lähestyy kohtaa a.

Derivaatan määritelmä.

Funktion f derivaatta kohdassa a

2) Funktion f(x) erotusosamäärä kohdassa a on

Erotusosamäärä on siis sen suoran kulmakerroin, joka leikkaa funkton f(x) kuvaajan kohdassa a ja a + h

Funktion derivaatta kohdassa a on tämän kulmakertoimen raja-arvo kun x lähestyy kohtaa a.

Tehtävissä voi käyttää vapaasti kumpaa tahansa erotusosamäärän muodoista 1) tai 2).

Esimerkki 1

Vastaa kuvan perusteella

a) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 0?

b) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 2?

c) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa -1?

d) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa -2?

e) Arvioi funktion derivaatan arvoa f'(1)?

Ratkaisu

a) Funktiolle f(x) voidaan piirtää tangentti kohtaan 0. Funktio on siis derivoituva kohdassa 0

b) Funktio ei ole jatkuva kohdassa 2. Funktiolle ei voida piirtää tangenttia kohtaan 2. Se ei olle derivoituva kohdassa 2.

c) Funktion kuvaajassa on "terävä kärki" kohdassa -1. Funktiolle ei voida piirtää tangenttia kohtaan -1. Se ei ole derivoituva kohdassa -1.

d) Funktio on derivoituva kohdassa -2

e) Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan 1. tangentin kulmakerroin on noin -2, eli f'(1) on noin -2.

Esimerkki 2

Osoita erotusosamäärän avulla, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 2

Ratkaisu

Muodostetaan erotusosamäärä kohdassa 2

Erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 2 on

Funktio f(x) on derivoituva kohdassa 2 ja f'(2)=4.

Derivoituvuuden osoittaminen tehdään siis derivaatan määritelmän avulla. Määrittelyjoukossaan derivoituvia funktioita ovat mm. polynomifunktiot, rationaalifunktiot, eksponentti- ja logaritmifunktiot sekä trigonometriset funktiot. Lisäksi kaikki näistä muodostetut summat, erotukset, tulot, osamäärät ja yhdistetyt funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan. Juurifunktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan lukuunottamatta kohtaa 0. Funktio on derivoituva joukossa A, jos se on derivoituva jokaisessa joukon A pisteessä. Jos funktio on määrittelyjoukossaan derivoituva, sanotaan lyhyesti, että funktio on derivoituva ja jos määrittelyjoukkona on koko reaalilukujen joukko ℝ sanomme, että funktio on kaikkialla derivoituva.

Joukossa, jossa funktio f(x) on derivoituva voidaan määritellä funktion f derivaattafunktio f'

Määritelmä

Funktio f' on funktion f derivaattafunktio, jos

derivaattafunkton f' arvo kohdassa a on siis funktion f derivaatan arvo kohdassa a. Derivaattafunktion määrittelyjoukko sisältyy aina funktion määrittelyjoukkoon. Usein derivoinnilla tarkoitetaan juuri derivaattafunktion määrittämistä derivoimissääntöjen avulla.

Lause

Jos funktio f(x) on derivoituva kohdassa a, se on jatkuva kohdassa a.

Todistus

Muistetaan, että funktio on jatkuva, jos

Oletetaan siis, että f(x) on derivoituva kohdassa a.

Tarkastellaan erotusta

joten

Nyt siis funktion raja-arvo kohdassa a on

Funktio f(x) on siis jatkuva kohdassa a.

Lauseesta siis seuraa, että jos funktio on derivoituva, se on myös jatkuva. Eli jos funktio ei ole jatkuva kohdassa a, se ei myöskään voi olla derivoituva kohdassa a.

Jos Funktio on määritelty paloittain, niin kohdassa, jossa funktion lauseke vaihtuu, on derivoituvuutta tutkittava erotusosamäärän toispuolisten raja-arvojen avulla.

Esimerkki 3

Osoita, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 1

Ratkaisu

Tutkitaan ensin, onko f(x) jatkuva kohdassa 1. Tarkastellaan funktion toispuolisisa raja-arvoja kohdassa 1

Koska toispuoliset raja-arvot kohdassa 1 ovat yhtäsuuret, funktio on jatkuva kohdassa 1.

Muodostetaan erotusosamäärien toispuoliset raja-arvot kohdassa 1. Kohdan 1 vasemmalla puolella

Kohdan 1 oikealla puolella

Koska erotusosamäärän molemmat toispuoliset raja-arvot kohdassa 1 ovat yhtä kuin 5, funktio f(x) on derivoituva kohdassa 1.

Määritelmä

Funktion erotusosamäärän vasemmanpuoleista raja-arvoa kohdassa a kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi derivaataksi kohdassa a. Siis

vasemmanpuoleinen derivaatta kohdassa a on

Vastaavasti funktion erotusosamäärän oikeanpuoleista raja-arvoa kohdassa a kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi derivaataksi kohdassa a. Siis

oikeanpuoleinen derivaatta kohdassa a on

Funktio on siis derivoituva kohdassa a, jos sen toispuoliset derivaatat kohdassa a ovat yhtäsuuret. Määritelmät voitaisiin tehdä yhtä hyvin käyttämällä erotusosamäärän vaihtoehtoista muotoa.

Jatkuvien ja derivoituvien funktioiden ominaisuuksia

Seuraavien lauseiden todistukset sivuutetaan.

Bolzanon lause

Oletetaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a,b] ja lisäksi funktion arvot f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. (esim. f(a) < 0 ja f(b) > 0) Tällöin funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[.

Huomautus. Funktiolla voi olla useampia nollakohtia välillä ]a,b[

Esimerkki 4

Osoita, että funktiolla f(x) on ainakin kaksi nollakohtaa välillä [-1,2]

Ratkaisu

Lasketaan funktion arvot kohdissa -1, 0 ja 1 laskimella

Koska f(-1) = 2 ja f(0) = -1, funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]-1,0[. Koska f(0) = -1 ja f(2) = 17, funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]0,2[. Funktiola f(x) on siis ainakin kaksi nollakohtaa välillä [-1,2].

Esimerkki 5

Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä

Ratkaisu

Merkitään

Funktio f(x) on selvästi kaikkialla jatkuva. Lasketaan funktion arvot kohdissa -π ja 0

Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]-π,0[. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla.

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat

Yhtälöllä ei ole ratkaisua. cos2x > -1, joten f'(x) > 0. Funktio f(x) on siis aidosti kasvava. Funktiolla f voi siten olla korkeintaan yksi nollakohta. Koska Bolzanon lauseen nojalla sillä on ainakin yksi nollakohta, niin sillä on täsmälleen yksi nollakohta ja siis tehtävän yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu.

Vastaus: Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu.

Lause

Jos funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a,b], sillä on olemassa suurin ja pienin arvo välillä [a,b]

Lause

Jos funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a,b] ja derivoituva avoimella välillä ]a,b[, niin se suurimman arvonsa välillä [a,b] joko derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä.

Harjoituksia

1. Määritä kuvan perusteella

a) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa -2

b) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 2

c) funktion f(x) derivaatta kohdassa 0

d) funktion f(x) derivaatta kohdassa -3

Vastaus

Vastaus:

a) f(x) ei ole derivoituva kohdassa -2

b) f(x) ei ole derivoituva kohdassa 2

c) funktion f(x) derivaatta kohdassa 0 on 1

d) funktion f(x) derivaatta kohdassa -3 on 0

2. Määritä kuvan perusteella

a) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 0?

b) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 1?

c) Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 2?

d) funktion f(x) oikeanpuoleinen derivaatta kohdassa 2

Vastaus

a) f(x) ei ole derivoituva kohdassa 0

b) f(x) on derivoituva kohdassa 1

c) f(x) ei ole derivoituva kohdassa 2

d) funktion f(x) oikeanpuoleinen derivaatta kohdassa 2 on 2

3. Määritä kuvan perusteella

a) Onko funktiolla f(x) raja-arvoa kohdassa 1?

b) Missä kohdissa f(x) ei ole jatkuva?

c) Missä kohdissa f(x) ei ole derivoituva?

Vastaus

a) funktiolla on raja-arvo -2 kohdassa 1

b) f(x) ei ole jatkuva kohdassa 1

c) f(x) ei ole derivoituva kohdissa -2 ja 1

4. Määritä derivaatan määritelmän avulla funktion f(x) derivaatta kohdassa 2

5. Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 2?

6. Onko funktio f(x) kaikkialla derivoituva?

7. Onko funktio f(x) kaikkialla derivoituva?

8. Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa 5 käyttäen derivaatan määritelmää.

9. Onko funktio f(x) derivoituva?

10. Funktiosta f(x) tiedetään, että erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 0 on 3.

Mitä voidaan sanoa funktion

a) derivoituvuudesta kohdassa 0

b) funktion jatkuvuudesta kohdassa 0

c) funktion raja-arvosta kohdassa 0

d) funktion arvosta kohdassa 0?

Vastaus

a) f(x) on derivoituva kohdassa 0

b) f(x) on jatkuva kohdassa 0

c) funktiolla on olemassa raja-arvo kohdassa 0 mutta raja-arvoa ei voida päätellä

d) funktio on määritelty kohdassa 0 mutta funktion arvoa f(0) ei voida päätellä.

11. Anna esimerkki funktiosta f : ℝ → ℝ, joka on jatkuva kohdassa 1 mutta ei ole derivoituva kohdassa 1. Piirrä funktion kuvaaja. Perusteluja ei vaadita.

Vastaus

Esimerkiksi käy f : ℝ → ℝ

12. Määritä vakiot ja a ∈ ℝ ja b ∈ ℝ siten, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 1.

13. Funktio f : ℝ → ℝ määritellään alla olevalla kaavalla

1. Selvitä millä parametrin a ∈ ℝ arvoilla f on kaikkialla jatkuva.

2. Selvitä millä parametrin a ∈ ℝ arvoilla f on kaikkialla derivoituva.

YO kevät 2021/9

14. Anna esimerkki suljetulla välillä [0,1] määritellystä funktiosta f, jolla ei ole suurinta, eikä pienintä arvoa. Piirrä funktion kuvaaja. Voiko tällainen funktio olla kasvava?

YO syksy 1998/9

15. Konstruoi esimerkki funktiosta f : ℝ → ℝ, jolla on täsmälleen yksi epäjatkuvuuspiste ja jolla ei ole derivaattaa kahdessa pisteessä. Anna f(x):n lauseke ja piirrä f:n kuvaaja.

YO kevät 1995/10

16. Olkoon funktio f jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän avulla funktion