Derivoituvien ja jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

DERIVAATTA

Derivaatan määritelmään tutustuttiin jo moduulissa MAA6. Lisäksi aikaisemmissa moduuleissa on harjoiteltu erilaisten funktioiden derivoimista derivointisääntöjen avulla. Palataan nyt derivaatan matemaattiseen määritelmään, funktion derivoituvuuden tutkimiseen ja derivaatan geometriseen tulkintaan.

Liikuta raahaamalla pistettä A gegebra appletissa. Tutki mikä on funktiolle f(x) = x² pisteeseen A piirretyn tangentin kulmakerroin kun pisteen A x-koordinaatti on 2. Mihin pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on 0? Mihin pisteeseen piirrertyn tangentin kulmakerroin on -2?

Huomaa, että kun kulmakerrointa tarkastellaan Geogebrassa. Ohjelma piirtää kulmakertoimen hahmottamiseksi apukolmion, jossa vaakasuuntaisen sivun pituus on 1. Tällöin pystysuuntaisen sivun pituus apukolmiossa on kulmakertoimen arvo.

Lyhyesti sanottuna geometrisesti derivaatta tarkoittaa kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. Funktion derivaatta kohdassa a merkitään f'(a). Tämä on siis funktion kuvaajalle kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktio ei ole deriovoituva kohdassa a jos funktiolle ei voida piirtää yksikäsitteisesti tangenttia siihen kohtaan tai jos siihen kohtaan piirretyn tangentti on pystysuorassa.

Voit itse tutkia Geogebralla ylläolevien funktioiden derivaatan käyttäytymistä kohdassa 0. Piirrä funktion kuvaaja. Lisää siihen piste sekä pisteeseen piirretty funktion tangentti. Raahaa piste kohtaan 0.

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin määrittäminen matemaattisesti ei ole kuitenkaan aivan yksinkertaista, se täytyy tehdä tarkastelemalla erotusosamäärän raja-arvoa.

Funktion erotusosamäärällä on kaksi vaihtoehtoista muotoa.

1) Funktion f(x) erotusosamäärä kohdassa a on

Erotusosamäärä on siis sen suoran kulmakerroin, joka leikkaa funkton f(x) kuvaajan kohdassa a ja x.

Funktion derivaatta kohdassa a on tämän kulmakertoimen raja-arvo kun x lähestyy kohtaa a.

Derivaatan määritelmä.

Funktion f derivaatta kohdassa a

2) Funktion f(x) erotusosamäärä kohdassa a on

Erotusosamäärä on siis sen suoran kulmakerroin, joka leikkaa funkton f(x) kuvaajan kohdassa a ja a + h

Funktion derivaatta kohdassa a on tämän kulmakertoimen raja-arvo kun x lähestyy kohtaa a.

Tehtävissä voi käyttää vapaasti kumpaa tahansa erotusosamäärän muodoista 1) tai 2).

Ratkaisu

a) Funktiolle f(x) voidaan piirtää tangentti kohtaan 0. Funktio on siis derivoituva kohdassa 0

b) Funktio ei ole jatkuva kohdassa 2. Funktiolle ei voida piirtää tangenttia kohtaan 2. Se ei olle derivoituva kohdassa 2.

c) Funktion kuvaajassa on "terävä kärki" kohdassa -1. Funktiolle ei voida piirtää tangenttia kohtaan -1. Se ei ole derivoituva kohdassa -1.

d) Funktio on derivoituva kohdassa -2

e) Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan 1. tangentin kulmakerroin on noin -2, eli f'(1) on noin -2.

Esimerkki 2

Osoita erotusosamäärän avulla, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 2

Ratkaisu

Muodostetaan erotusosamäärä kohdassa 2

Erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 2 on

Funktio f(x) on derivoituva kohdassa 2 ja f'(2)=4.

Joukossa, jossa funktio f(x) on derivoituva voidaan määritellä funktion f derivaattafunktio f'

Määritelmä

Funktio f' on funktion f derivaattafunktio, jos

derivaattafunkton f' arvo kohdassa a on siis funktion f derivaatan arvo kohdassa a. Derivaattafunktion määrittelyjoukko sisältyy aina funktion määrittelyjoukkoon. Usein derivoinnilla tarkoitetaan juuri derivaattafunktion määrittämistä derivoimissääntöjen avulla.

Todistus

Muistetaan, että funktio on jatkuva, jos

Oletetaan siis, että f(x) on derivoituva kohdassa a.

Tarkastellaan erotusta

joten

Nyt siis funktion raja-arvo kohdassa a on

Funktio f(x) on siis jatkuva kohdassa a.

Lauseesta siis seuraa, että jos funktio on derivoituva, se on myös jatkuva. Eli jos funktio ei ole jatkuva kohdassa a, se ei myöskään voi olla derivoituva kohdassa a.

Jos Funktio on määritelty paloittain, niin kohdassa, jossa funktion lauseke vaihtuu, on derivoituvuutta tutkittava erotusosamäärän toispuolisten raja-arvojen avulla.

Esimerkki 3

Osoita, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 1

Ratkaisu

Tutkitaan ensin, onko f(x) jatkuva kohdassa 1. Tarkastellaan funktion toispuolisisa raja-arvoja kohdassa 1

Koska toispuoliset raja-arvot kohdassa 1 ovat yhtäsuuret, funktio on jatkuva kohdassa 1.

Muodostetaan erotusosamäärien toispuoliset raja-arvot kohdassa 1. Kohdan 1 vasemmalla puolella

Kohdan 1 oikealla puolella

Määritelmä

Funktion erotusosamäärän vasemmanpuoleista raja-arvoa kohdassa a kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi derivaataksi kohdassa a. Siis

vasemmanpuoleinen derivaatta kohdassa a on

Vastaavasti funktion erotusosamäärän oikeanpuoleista raja-arvoa kohdassa a kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi derivaataksi kohdassa a. Siis

oikeanpuoleinen derivaatta kohdassa a on

Funktio on siis derivoituva kohdassa a, jos sen toispuoliset derivaatat kohdassa a ovat yhtäsuuret. Määritelmät voitaisiin tehdä yhtä hyvin käyttämällä erotusosamäärän vaihtoehtoista muotoa.

Jatkuvien ja derivoituvien funktioiden ominaisuuksia

Seuraavien lauseiden todistukset sivuutetaan.

Esimerkki 4

Osoita, että funktiolla f(x) on ainakin kaksi nollakohtaa välillä [-1,2]

Koska f(-1) = 2 ja f(0) = -1, funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]-1,0[. Koska f(0) = -1 ja f(2) = 17, funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]0,2[. Funktiola f(x) on siis ainakin kaksi nollakohtaa välillä [-1,2].

Esimerkki 5

Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä

Ratkaisu

Merkitään

Funktio f(x) on selvästi kaikkialla jatkuva. Lasketaan funktion arvot kohdissa -π ja 0

Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä ]-π,0[. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla.

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat

Harjoituksia

4. Määritä derivaatan määritelmän avulla funktion f(x) derivaatta kohdassa 2

5. Onko funktio f(x) derivoituva kohdassa 2?

6. Onko funktio f(x) kaikkialla derivoituva?

7. Onko funktio f(x) kaikkialla derivoituva?

8. Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa 5 käyttäen derivaatan määritelmää.

9. Onko funktio f(x) derivoituva?

10. Funktiosta f(x) tiedetään, että erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 0 on 3.

Mitä voidaan sanoa funktion

a) derivoituvuudesta kohdassa 0

b) funktion jatkuvuudesta kohdassa 0

c) funktion raja-arvosta kohdassa 0

d) funktion arvosta kohdassa 0?

11. Anna esimerkki funktiosta f : ℝ → ℝ, joka on jatkuva kohdassa 1 mutta ei ole derivoituva kohdassa 1. Piirrä funktion kuvaaja. Perusteluja ei vaadita.

12. Määritä vakiot ja a ∈ ℝ ja b ∈ ℝ siten, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa 1.

13. Funktio f : ℝ → ℝ määritellään alla olevalla kaavalla

1. Selvitä millä parametrin a ∈ ℝ arvoilla f on kaikkialla jatkuva.

2. Selvitä millä parametrin a ∈ ℝ arvoilla f on kaikkialla derivoituva.

YO kevät 2021/9

14. Anna esimerkki suljetulla välillä [0,1] määritellystä funktiosta f, jolla ei ole suurinta, eikä pienintä arvoa. Piirrä funktion kuvaaja. Voiko tällainen funktio olla kasvava?

YO syksy 1998/9

15. Konstruoi esimerkki funktiosta f : ℝ → ℝ, jolla on täsmälleen yksi epäjatkuvuuspiste ja jolla ei ole derivaattaa kahdessa pisteessä. Anna f(x):n lauseke ja piirrä f:n kuvaaja.

YO kevät 1995/10

16. Olkoon funktio f jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän avulla funktion

derivaatta origossa. Voidaanko tätä tulosta soveltaa funktioon

YO kevät 2005/12

17. a) Osoita erotusosamäärää tutkimalla, että funktio

on derivoituva kohdassa x = 0.

b) Olkoon

Osoita erotusosamäärää tutkimalla, ettei funktio g(x) ole derivoituva kohdassa x = 0.

YO kevät 2015/13

18. Funktion g(x) arvoille on voimassa

Osoita, että funktio

on derivoituva kohdassa x = 0.

YO kevät 2016/9.2

19. Funktio f(x) määritellään kaavalla

missä p(x) = ax² + c on toisen asteen polynomi. Onko olemassa sellaisia kertoimia a ja c, että f(x) on derivoituva?

20. Funktion keskeisdifferenssillä pisteessä x tarkoitetaan lauseketta

Laske keskeisdifferenssi, kun f(x) = x³ .

Osoita, että jokaiselle derivoituvalle funktiolle

21. Osoita Bolzanon lauseen avulla, että funktiolla f(x) on ainakin yksi nollakohta välillä [-1,1]

22. Osoita, että funktio f(x) saa arvon 2