Käänteisfunktio

Johdantoesimerkki

Lähestytään aihetta esimerkin avulla.

Kuvassa on funktio

Kyseisen funktion f kuvaaja on aidosti kasvava, eli jokaista funktion arvoa y vastaa täsmälleen yksi muuttujan arvo x. Esimerkiksi f(6) = 2.

Koska jokaista funktion arvoa y vastaa täsmälleen yksi muuttujan arvo x, voidaan kuvaajasta tulkita myös käänteisfunktion f⁻¹ arvoja. Nyt muuttujan arvot ovat y-akselilla ja funktion arvot x-akselilla. Esimerkiksi f⁻¹(2)=6 .

Kuten käänteisfunktio käsitteen nimestäkin voi jo päätellä, funktio f ja käänteisfunktio f⁻¹ ovat käänteisiä kuvauksia.

Funktion f käänteisfunktio saadaan ratkaistua selvittämällä funktion säännöstä muuttujan x lauseke

Käänteisfunktion lauseke on

Käänteisfunktion f⁻¹ arvojoukko on sama kuin funktion f määrittelyjoukko ja määrittelyjoukko sama kuin funktion f arvojoukko

Jotta saadaan piirrettyä funktiot samaan kuvaajaan, muutetaan käänteisfunktion muuttujaksi y:n tilalle x

Kuvasta havaitaan, että funktio f ja käänteisfunktio f⁻¹, ovat toistensa peilikuvat suoran y = x suhteen.

Käänteisfunktion määritelmä

Oletetaan, että on olemassa funktio f, jonka määrittelyjoukko on Mf ja arvojoukko Af. Jos funktio f: Mf → Af saa jokaisen arvonsa y vain yhdessä kohdassa x, on olemassa käänteisfunktio

Koska funktio ja käänteisfunktio ovat käänteisiä toimintoja keskenään, niin

Aidosti monotoninen funktio

Aidosti monotoninen funktio on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio saa arvojoukkonsa arvon y täsmälleen yhdessä määrittelyjoukkonsa kohdassa x.

Lause

Jos funktio f: Mf → Af on aidosti monotoninen, on sillä olemassa käänteisfunktio f⁻¹: Af → Mf .

Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajien piirtäminen samaan koordinaatistoon.

Kun halutaan piirtää funktion f ja käänteisfunktion f⁻¹ kuvaajat samaan koordinaatistoon, voidaan käänteisfunktion muuttujan y paikalle vaihtaa x. Funktioiden kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen, kuten johdantoesimerkissä huomattiin.

Esimerkki 1

Alla on kolmen funktion kuvaajat. Voidaanko kuvan funktiolle määrittää käänteisfunktio?

Kuva 1

Kuva 2

Kuva 3

KUVA 1. Funktiolle ei voida määrittää käänteisfunktiota, koska se ei ole aidosti monotoninen. Funktio voi saada välillä -1 ≤ x ≤ 1 kahdella määrittelyjoukkonsa arvolla saman arvojoukon arvon, eikä siksi ole aidosti monotoninen.

KUVA 2. Funktiolle voidaan määrittää käänteisfunktio, koska se on aidosti monotoninen. Funktiolla on ns. terassipiste kohdassa x0 = 0 , mutta se on aidosti kasvava, koska kun valitaan terassikohdan läheisyydestä mitkä tahansa arvot a < x0 < b , niin kaikilla a ja b pätee, että f(a) < f(x0) < f(b).

KUVA 3. Funktiolle voidaan määrittää käänteisfunktio, koska se on aidosti monotoninen.

Esimerkki 2

a) Tiedetään, että f on aidosti monotoninen. Määritä funktion käänteisfunktio.

b) Piirrä funktion ja käänteisfunktion kuvaajat samaan koordinaatistoon.

c) Päättele kuvaajasta funktion ja käänteisfunktion määrittely- ja arvojoukot.

a) Funktion käänteisfunktio saadaan selville ratkaisemalla muuttuja x yhtälöstä

HUOM. Logaritmin määritelmä

ja e-kantainen logaritmi

Käänteisfunktion lauseke on

Koska kuvaajat halutaan piirtää samaan koordinaatistoon, muutetaan käänteisfunktion muuttujaksi x.

b) Alla funktion ja käänteisfunktion kuvaajat samassa koordinaatistossa.

c) Funktion määrittelyjoukko on [1,∞[ sekä arvojoukko ℝ ja käänteisfunktiolla päinvastoin, määrittelyjoukko ℝ sekä arvojoukko [1,∞[.

Toisin sanoen funktio f : [1,∞[ → ℝ ja käänteisfunktio f⁻¹ : ℝ → [1,∞[

Esimerkki 3

a) Osoita, että funktiolle voidaan määrittää käänteisfunktio.

b) Määritä käänteisfunktion lauseke ja piirrä funktio sekä käänteisfunktio samaan koordinaatistoon.

Ratkaisu

a) Kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli. Tutkitaan derivaatan avulla onko funktio märittelyjoukossaan [0,∞[ aidosti monotoninen.

f'(x) = 2x

Derivaatan nollakohta on x = 0. Muodostetaan merkki- ja kulkukaavio

Funktio on määrittelyjoukossaan [0,∞[ aidosti kasvava, joten sille voidaan määrittää käänteisfunktio.

b) Ratkaistaan käänteisfunktion lauseke

Alkuperäisen funktion määrittelyjoukko on käänteisfunktion arvojoukko. Käänteisfunktio voi siis saada ainoastaan arvoja, jotka kuuluvat joukkoon [0,∞[. Tästä syystä vain positiivinen tulos kelpaa, joten

Muutetaan muuttujan paikalle x, jotta saadaan piirrettyä funktiot samaan koordinaatistoon

Geogebralla piirretyt kuvaajat

Käänteisfunktion derivaatan graafinen havainnollistaminen.

Kuvassa on funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat. Käänteisfunktion määritelmän mukaan, jos f(a) = b, niin f⁻¹ (b)=a. Kuvassa funktiolle f on piirretty tangettisuora kohtaan a ja sen käänteisfunktiolle kohtaan b.

Funktion derivaatan arvo kohdassa a on sama kuin kohtaan x = a piirretyn tangettisuoran kulmakerroin. Funktiolle f kohtaan a piirretyn tangettisuoran kulmakerrointa ratkaistaessa, merkitään y:n muutosta q:lla ja x:n muutosta p:llä, joten

Vastaavasti käänteisfunktion derivaatan arvo kohdassa x = b on sama kuin kohtaan b piirretyn tangettisuoran kulmakerroin. Käänteisfunktion kulmakerrointa ratkaistaessa y:muutos on p ja x:n muutos q, joten

Käänteisfunktion derivaatta

Johdetaan käänteisfunktion derivointikaava. Tiedetään, että funktio f ja sen käänteisfunktio kumoavat toisensa, eli

Koska molemmin puolin yhtälöä on sama funktio, täytyy niiden derivaattojen olla myös samat. Derivoidaan molemmat funktiot.

Käänteisfunktion derivointikaava

Käänteisfunktio ei ole derivoituva funktion f derivaatan nollakohdissa.

Esimerkki 4

a) Osoita, että funktiolla f on olemassa käänteisfunktio.

b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa x = -1

c) Määritä ne kohdat, joissa käänteisfunktio ei ole derivoituva.

Ratkaisu

a) Funktiolla on käänteisfunktio, jos se on aidosti monotoninen määrittelyjoukossaan. Tutkitaan asiaa derivaatan avulla

Muokataan derivaatan lauseketta

Tulon nollasäännön mukaan f'(x) = 0, kuin x + 2 = 0, eli x = -2.

Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli jolla on vain yksi nollakohta. Tutkitaan funktion kulkua merkki- ja kulkukaavion avulla.

Kohta x = -2 on funktion niin sanottu terassikohta. Funktio f on siis aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan ja sille voidaan märittää käänteisfunktio.

b) Käänteisfunktion f⁻¹ derivaatta kohdassa x = -1 on

Tiedetään, että

Ratkaistaan laskentaohjelman avulla millä muuttujan x arvolla f(x) = -1 ja saadaan tulokseksi kohta x = -1, joten

joten

c) Käänteisfunktio ei ole derivoituva funktion f derivaatan nollakohdissa. Kyseisessä tehtävässä derivaattafunktion ainut nollakohta on x = -2, joten

käänteisfunktio ei ole derivoituva kohdassa x = -2.

Esimerkki 5

Määritä funktion f (x) = x³ käänteisfunktion derivatta käänteisfunktion derivointikaavan avulla. Missä kohdassa käänteisfunktio ei ole derivoituva?

Funktio f on määrittelyjoukoissaan aidosti monotoninen, joten sille voidaan määrittää käänteisfunktio

Ratkaistaan funktion f derivaatta

Käänteisfunktion derivointikaavan mukaan

Käänteisfunktio ei ole derivoituva funktion f derivaatan nollakohdassa x = 0.

Harjoituksia

1. Määritä aidosti kasvavan funktion f käänteisfunktio

2. Tiedetään, että funktio f on aidosti monotoninen.

a) Määritä funktion f käänteisfunktio.

b) Piirrä funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat geogebralla samaan koordinaatistoon.

c) Pättele kuvaajasta funktion ja sen käänteisfunktion määrittely- ja arvojoukot.

3. Vastaa kuvaajien perusteella mille seuraavista funktioista voidaan määrittää käänteisfunktio ja mille ei.

4. Vastaa perustellusti, että voidaanko seuraaville funktiolle määrittää käänteisfunktio.

5. Määritä käänteisfunktio niille tehtävän 4 funktiolle, mille se on mahdollista tehdä ja piirrä geogebralla funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon.

6. a) Osoita, että funktiolle voidaan määrittää käänteisfunktio.

b) Määritä käänteisfunktion lauseke ja piirrä funktio sekä käänteisfunktio samaan koordinaatistoon.

c) Määritä funktion ja sen käänteisfunktion määrittely- ja arvojoukot.