Raja-arvo ja jatkuvuus

FUNKTION RAJA-ARVO

Raja-arvolla on erittäin keskeinen rooli differentiaali- ja integraaalilaskennassa. Siihen perustuu mm. jatkuvuuden, derivaatan ja integraalin käsitteet.

Raja-arvoa käsiteltiin jo moduulissa MAA6

Raja-arvon määritelmä

Funktiolla f on kohdassa a raja-arvo b, jos muuttujan x lähestyessä kohtaa a, funktion f arvot lähestyvät arvoa b. Tämä merkitään seuraavasti

Tämä voidaan merkitä myös toisella tavalla seuraavasti

Ratkaisu

a) Funktiota ei ole määritelty kohdassa x = 2. Oletetaan, että x ≠ 2. Supistetaan funktion lauseketta

Funktion x + 2 arvot lähestyvät selvästi arvoa 4, kun x lähestyy kohtaa 2. Täten myös f(x) lähestyy arvoa 4, kun x lähestyy kohtaa 2.

Eli

Huomautus. Laskentaohjelmat esittävät yleensä molemmat ylläolevista kuvaajista samanlaisina.

b) Funktio f(x) on määritelty kohdassa -2. Tällöin rationaalifunktion f(x) raja-arvo on sama kuin funktion arvo.

Toispuoliset raja-arvot

Sanomme, että funktiolla f on vasemmanpuoleinen raja-arvo b kohdassa a, jos muuttujan x lähestyessä vasemmalta kohtaa a, funktion f arvot lähestyvät arvoa b. Tämä merkitään seuraavasti

Tai toisella tavalla seuraavasti

Vastaavasti sanomme, että funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo b kohdassa a, jos muuttujan x lähestyessä oikealta kohtaa a, funktion f arvot lähestyvät arvoa b. Tämä merkitään seuraavasti

Tai toisella tavalla seuraavasti

Esimerkki 2

Määritä kuvan perusteella funktion f vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdissa x = -1, x = 3 ja x = 5

Huomaa, että kohdassa x = 5 funktion vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat samat. Tällöin funktiolla on raja-arvo kohdassa 2. Tämä pätee myös yleisesti.

Funktiolla f on raja-arvo kohdassa a, jos ja vain jos sillä on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa a ja nämä toispuoliset raja-arvot ovat yhtäsuuret.

Esimerkki 3

Määritä funktion f(x), x ≠ 1 vasemman- oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa 1. Onko funktiolla raja-arvoa kohdassa 1 ?

Kun lähestytään kohtaa 1 vasemmalta funktion lauseke on 2x, joten

Kun lähestytään kohtaa 1 oikealta funktion lauseke on -x + 3, joten

Koska funktiolla on toispuoleiset raja-arvot kohdassa 1 ja ne ovat yhtäsuuret, niin

Esimerkki 4

Onko funktiolla raja-arvoa kohdassa x = 2 ?

Tutkitaan milloin itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on epänegatiivinen.

Muodostetaan funktion lauseke paloittain

Määritetään toispuoliset raja-arvot

Koska toispuoliset raja-arvot ovat yhtäsuuret, funktiolla f on raja-arvo 0 kohdassa 2.

Esimerkki 5

Määritä vakio a siten, että funktiolla f(x) on raja-arvo kohdassa x = 2.

Lasketaan toispuoliset raja-arvot kohdassa 2

Jotta funktiolla olisi, raja-arvo kohdassa 2, niin toispuolisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret.

FUNKTION JATKUVUUS

Jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen katkeamaton käyrä.

Funktion jatkuvuus voidaan määritellä raja-arvon avulla.

Määritelmä

Jatkuvuus kohdassa a. Oletetaan, että funktio on määritelty kohdassa a ja jossain kohdan a ympäristössä.

Funktio on jatkuva kohdassa a, jos

Funktio on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva joukon A jokaisessa pisteessä. Jos funktio on jatkuva koko reaalilukujen joukossa ℝ, sanomme, että funktio on jatkuva koko ℝ:ssä tai, että funktio on kaikkialla jatkuva. Jos funktio on jatkuva joukossa A, sen täytyy siis olla määritelty joukossa A.

Huomautus. Sanomme, että funktio on epäjatkuva kohdassa a, jos se ei ole jatkuva kohdassa a, mutta funktio on kuitenkin määritelty kohdassa a. Jos funktiota ei ole määritelty kohdassa a, emme voi päätellä mitään funktion jatkuvuudesta tässä kohdassa.

Esimerkki 6

Onko funktio f(x) jatkuva kohdassa 3? Mikä on laajin ℝ:n osajoukko, jossa funktio f(x) on jatkuva?

Funktio ei ole jatkuva kohdassa 3, koska sitä ei ole määritelty kohdassa 3. Funktion määrittelyjoukko on ℝ∖{3}, eli se on määritelty kaikkialla paitsi kohdassa 3.

Kun x ≠ 3, funktion lauseketta voidaan sieventää

Tarkastellaan jatkuvuutta kohdassa a ≠ 3

Funktio on siis jatkuva kaikissa pisteissä a ≠ 3. Joten se on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Huomautus. Käytännössä melkein kaikki koulumatematiikassa esiintyvät funktiot ovat määrittelyjoukossaan jatkuvia, paitsi mahdollisesti paloittain määritellyt funktiot. Jatkuvia funktioita ovat mm. polynomifunktiot, rationaalifunktiot, juurifunktiot, eksponentti- ja logaritmifunktiot sekä trigonometriset funktiot. Lisäksi kaikki näistä muodostetut summat, erotukset, tulot, osamäärät ja yhdistetyt funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan. Jos funktio on määrittelyjoukossaan jatkuva, sanotaan lyhyesti, että funktio on jatkuva.

Toispuolinen jatkuvuus

Funktio f on vasemmalta jatkuva, jos

Funktio f on oikealta jatkuva, jos

Funktio f on jatkuva kohdassa a, jos ja vain jos se on sekä vasemmalta, että oikealta jatkuva kohdassa a. Funktio on jatkuva suljetulla välillä [a,b], jos se on jatkuva välin jokaisessa sisäpisteessä ja oikealta jatkuva välin vasemmassa päätepisteessä a, sekä vasemmalta jatkuva välin oikeassa päätepisteessä b.

Ratkaisu

a) f(x) on vasemmalta jatkuva kohdassa 0

b) f(x) ei ole oikelta jatkuva kohdassa 0

c) f(x) ei ole jatkuva kohdassa 0

d) f(x) on jatkuva välillä [-1,0]

e) f(x) ei ole jatkuva välillä [0,2]

f) f(x) ei ole jatkuva välillä [-1,2]

g) f(x) on jatkuva välillä ]-2,0[

Esimerkki 8

Määritä vakio a siten, että funktio f(x) on jatkuva kohdassa 2. Onko funktio tällöin kaikkialla jatkuva?

Joten vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa 2

Kohdan 2 oikealla puolella funktion lauseke on ax – 1, joten oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa 2

Jotta funktio olisi jatkuva, tulee toispuolisten raja-arvojen olla samat. Muodostetaan yhtälö

Tällöin funktio on jatkuva kohdassa 2 ja polynomifunktiona se on jatkuva kaikilla x ≠ 2. Se on siis kaikkialla jatkuva.

Piirretään vielä funktion kuvaaja vakion a arvolla 3/2.

Harjoituksia

1. Kuvassa on funktion f(x) kuvaaja. Päättele kuvan perusteella

2. Tarkastellaan tehtävän 1 funktiota. Päättele kuvaajan perusteella.

a) Onko funktio f(x) vasemmalta jatkuva kohdassa 2?

b) Onko funktio f(x) oikealta jatkuva kohdassa 2?

c) Onko funktio jatkuva kohdassa 1?

d) Onko funktio jatkuva kohdassa 2?

3. Funktion f(x) määrittelyjoukko on x > -3, x ≠ 2. Kuvassa on funktion f(x) kuvaaja. Päättele kuvan perusteella

4. Kuvassa on funktion f(x) kuvaaja. Päättele kuvan perusteella yksidesimaalinen likiarvo raja-arvolle

5. Tarkastellaan tehtävän 4 funktiota f(x). Onko f(x) jatkuva välillä

a) [-1,1]

b) ]-1,1]

c)]-1,1[

d) [0,1]?

6. Määritä funktion f(x) raja-arvo kohdassa a) 1 b) 4

7. Määritä funktion f(x) raja-arvo kohdassa a) 0 b) -3

8. Määritä funktion f(x) toispuoliset raja-arvot kohdassa 1. Onko funktiolla raja-arvoa kohdassa 1?

9. Määritä funktion f(x) toispuoliset raja-arvot kohdassa 0. Onko funktiolla raja-arvoa kohdassa 0?

10. Määritä

11. Kuvassa on funktion f(x) kuvaaja. Päättele kuvan perusteella

12. Määritä sellainen vakion a arvo, että funktiolla f(x) on raja-arvo kohdassa 2. Onko f(x) tällöin jatkuva kohdassa 2?

13. Määritä sellainen vakion a arvo, että funktiolla f(x) on raja-arvo kohdassa 1. Onko f(x) tällöin jatkuva kohdassa 1?

14. Määritä sellaiset vakion a ja b arvot, että funktiolla f(x) on raja-arvo 1 kohdassa x = -1

15. Onko funktio f(x) kaikkialla jatkuva? Piirrä funktion kuvaaja.

16. Anna esimerkki funktiosta, f : ℝ → ℝ, jolla f(0) = 1 ja f ei ole jatkuva kohdassa 0.

17. Anna esimerkki funktiosta f : ℝ → ℝ, jolla on raja-arvo 1 kohdassa 0 mutta f ei ole jatkuva kohdassa 0. Piirrä funktion kuvaaja.

18. Onko funktiolla f : ℝ∖{-2} → ℝ raja-arvoa kohdassa -2 ?

19. Onko funktiolla f : ]0,∞[∖{1} → ℝ raja-arvoa kohdassa 1?

20. Määritä sellaiset vakioiden a ja b arvot, että funktio f(x) on kaikkialla jatkuva.

21. Määritä

22. Määritä

YO syksy 1982/7b

23. Määritetään funktiot f, g ja h seuraavasti:

b) Määritä funktion g nollakohdat

c) Tutki, mitä arvoja funktio g saa välillä [-0,01; 0,01]

e) Onko funktio h jatkuva origossa?

Perustele vastauksesi lyhyesti.