2. asteen sovellukset
Toisen asteen yhtälön sovellukset tarkoittavat sanallista ongelmia, joista saadaan muodostettua toisen asteen yhtälö. Rakentamisessa käytetään paljon paraabeleja, esimerkiksi sillan kaaret ovat paraabelin muotoisia.
Esimerkki 1
Liisa-Petteri tilasi sillan netistä, jotta hän pääsisi vierailemaan serkkunsa Klaus-Heidin luona viereisellä saarella.
Kiinalaisessa nettikaupassa sillat olivat merkitty vain paraabelein, joiden yksikkönä oli metri. Minkä sillan Liisa-Petterin tulisi tilata, kun saarien välille tarvitaan 30 metriä pitkä silta?
Kaupassa yksikkönä on metri, joten nollakohtien väli on sillan pituus. Ensimmäisen sillan nollakohdat ovat x=0 tai x=30, toisen nollakohdat x=0 tai x=32 ja kolmannen x=0 tai x=20.
Liisa-Petterin tulisi valita ensimmäinen silta.
Klaus-Heidi ei kuitenkaan uskalla mennä korkeille silloille, joten Liisa-Petterin tuli laskea sillan korkeus.
Sillan korkein kohta on paraabelin huipussa. Huippu taas on nollakohtien puolessa välissä, eli kun x=15.
Tällöin korkeus on 4,5 metriä
Esimerkki 2
Liisa-Petterillä oli tontti, jonka leveys oli 80 metriä ja pituus 120 metriä. Hän osti tonttiinsa lisätilaa siten, että leveys ja pituus kasvaa yhtä paljon. Uuden tontin pinta-ala on 11700 m2. Mitkä ovat uuden tontin mitat?
Hahmotellaan tilanne ja merkitään lisäystä kirjaimella x. Kyseessä on pituuden lisäys, joten x ≥ 0. Uuden tontin pinta-alaksi saadaan tällöin
(80 + x)(120 + x) = 11700.
Sulut avattuna ja sievennettynä tämä on
Toisen asteen yhtälö, jossa a = 1, b = 200 ja c = –2100. Sijoitetaan kaavaan
Ratkaisut x = –210 tai x = 10. Vain positiivinen kelpaa. Uudet mitat ovat siis leveys 90 metriä ja pituus 130 metriä.
Esimerkki 3
Liisa-Petterin rautatieyhtiö Vetelät runoilijat, lyhyemmin VR, suunnitteli lippuhintojen muuttamista. Peruslippu maksoi 6 € ja matkustajia oli päivässä 3850. Konsulttiyhtiö Kaikki rahat putsataan, lyhyemmin KRP, johtajansa Klaus-Heidin johdolla oli tehnyt tutkimuksen, jonka mukaan euron hinnankorotus vähensi matkustajia 72 päivässä. Lipun hinta tulisi olla kuitenkin alle 17 €. Kuinka monta euroa lipun hintaa tulisi korottaa, että päivämyynnin arvo olisi 38390 €?
Ratkaisu
Merkitään hinnankorotusta muuttujalla x. Tällöin uusi hinta on 6 + x ja matkustajia on 3850 – 72x.
Päivämyynti saadaan, kun kerrotaan lipun hinta matkustajien määrällä.
Avataan sulkeet ja viedään termit vasemmalle puolelle.
Toisen asteen yhtälön ratkaisut GeoGebralla
Näistä kelpaa vain x = 5. Eli hintaa tulisi korottaa 5 €, jolloin uusi lippu maksaisi 11 € ja matkustajia olisi päivässä 3850 – 72 · 5 = 3490.
Harjoituksia
1. Liisa-Petterin mökkitontin leveys on 90 metriä ja pituus 100 metriä. Hän myy kaistaleen tonttinsa leveydestä ja ostaa samanlevyisen kaistaleen tontin pituuteen. Hän tietää, että maksimaalinen pinta-ala on tällöin 8925 neliömetriä. Mikä tulisi olla tämän kaistaleen leveys, jotta maksimaalinen pinta-ala saavutetaan?
Vihje
Merkitse kaistaleen leveyttä x ja muodosta uusi pinta-ala.
2. Liisa-Petterillä on matolaatikoita, joissa on kaikissa yhtä monta matoa. Eräänä päivänä hän teki huomion, että jokaisessa laatikossa on 3 matoa vähemmän kuin laatikoita on. Kuinka monta matolaatikkoa on, kun matoja on yhteensä 1054?
Vihje
Merkitse laatikoiden määrää x, tällöin matojen määrä yhdessä laatikossa on x - 3
3. Liisa-Petteri sai töitä uuden asuinalueen kaavoittajana. Hänen tuli kaavoittaa tontteja, joiden pituus oli 15 metriä suurempi kuin leveys ja pinta-alan tuli olla 1350 neliömetriä. Mitkä oli tonttien mitat?
Vihje
Merkitse leveyttä muuttujalla x. Mikä on tällöin pituus ja pinta-ala?
4. Liisa-Petteri myi twiittauspalveluja ja hänen asiakkainaan oli lähinnä valtion päämiehiä. Yhden twiitin hinta oli 15 € ja päivän aikana hän myi 310 twiittiä. Liisa-Petteri tiesi, että yhden euron hinnankorotus alensi myytävien twiittien määrää kymmenellä. Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee päivämyynnin arvon. Piirrä funktion kuvaaja ja ratkaise millä hinnalla päivämyynti olisi suurimmillaan.
Vihje
Missä kohdassa funktion kuvaaja on korkeimmillaan? Eli missä funktio saa suurimman arvonsa?
5. Liisa-Petterin akvaario merimakkaroille oli leveydeltään 3,00 metriä ja pituudeltaan 5,00 metriä. Liisa-Petteri hankki lisää merimakkaroita ja hänen tulisi laajentaa akvaariota siten että sen pohjan pinta-ala olisi 20 neliömetriä. Hän päätti lisätä pituutta ja leveyttä saman verran. Mitkä ovat uuden akvaarion pohjan mitat?
Vihje
Merkitse lisäystä muuttujalla x ja muodosta yhtälö pohjan pinta-alalle.
6. Kun muutamien henkilöiden kesken jaettiin 247 mk, tuli jokainen saamaan 6 mk enemmän kuin oli henkilöitä. Montako henkeä oli?
YO 1885
Vihje
Merkitse henkilöiden lukumäärää x. Muodosta yhtälö yhden osuuden suuruudesta.
7. Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 192 euroa (€) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille. Jos jäseniä olisi 2 enemmän, jokainen saisi 8 € vähemmän. Montako jäsentä yhtyeessä on?
YO pitkä kevät 2000
Vihje
Jäseniä on x. Jos jäseniä on x+2 on yhden osuus 8 euroa pienempi.
8. Suoran maantietunnelin poikkileikkaus on paraabelin muotoinen. Tunnelin korkeus on 7,50 m ja leveys tienpinnan tasossa 8,10 m. Kuinka korkea, 260 cm leveä rekka-auto mahtuu ajamaan tunnelin läpi keskiviivan oikealla puolella pysyen?
YO pitkä syksy 1997
Vihje
Aseta tunneli koordinaatistoon siten, että huippu on y-akselilla. Mikä on tällöin vastaavan funktion vakiotermi? Voit muodostaa yhtälöparin nollakohtien avulla.