Diskriminantti
Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Diskriminantiksi kutsutaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa osaa.
Diskriminantin arvosta nähdään suoraan kuinka monta ratkaisua toisen asteen yhtälöllä on. Diskriminantin ollessa positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Kun diskriminantti on nolla, ratkaisuja on yksi ja mikäli diskriminantti on negatiivinen ei yhtälöllä ole ratkaisuja ollenkaan.
Esimerkki 1
Määritetään kuinka monta ratkaisua alla olevalla yhtälöllä on
Kertoimet ovat a = 1, b = –3 ja c = 2. Lasketaan diskriminantin arvo
Diskriminantti on positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi ratkaisua.
Jos piirrämme vastaavan funktion kuvaajan, näemme että sillä on kaksi nollakohtaa.
Esimerkki 2
Määritetään ratkaisujen lukumäärä alla olevalle yhtälölle
Kertoimet ovat a = 1, b = –3 ja c = 3. Lasketaan diskriminantin arvo
Diskriminantti on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Vastaavan funktion kuvaaja ei leikkaa x-akselia.
Diskriminanttia merkitään kirjaimella D
Esimerkki 2
Määritä vakio t siten että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, kun t ≠ 0
Jotta yhtälöllä olisi tasan yksi ratkaisu, tulee diskriminantin olla 0.
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö
Koska t ≠ 0, niin vain t = -16 kelpaa
Kokeile
Voit muuttaa kertoimien a, b ja c arvoja liu'uilla. Näet nollakohdat ja diskriminantit sekä funktion kuvaajan.
Harjoituksia
1. Osoita että funktio f(x) ei saa arvoa -2
Vihje
Muodostuvalla yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
2. Osoita, että yhtälöllä on aina kaksi ratkaisua riippumatta vakion p arvosta.
Vihje
Mitä voit sanoa diskriminantin merkistä?
3. Osoita, että funktio f(x) saa arvon 30
Vihje
Muodostuvalla yhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu.
4. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on?
Vihje
Muokkaa yhtälön oikealle puolelle 0
5. Monta ratkaisua yhtälöllä on?
Vihje
Muokkaa yhtälön oikealle puolelle 0.
6. Millä vakion a arvolla yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri?
YO Kevät 2014
Vihje
D = 0
7. Millä a:n arvoilla yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri?
YO Kevät 1981 Lyhyt
Vihje
D = 0
8. Tarkastellaan yhtälöä (1) parametrin t ≠ 0 eri arvoilla
a) Ratkaise yhtälö, kun t =1.
b) Määritä kaikki ne parametrin t ≠ 0 arvot, joilla yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu x ∈ R
YO Kevät 2015
Vihje
kohdassa b diskriminantin tulee olla suurempi tai yhtäsuuri kuin 0
9. Millä a:n arvoilla funktio saa vain negatiivisia arvoja?
YO Syksy 2005
Vihje
Muodosta epäyhtälö diskriminantin avulla
