Korkeamman asteen yhtälöt

Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Korkeamman asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöitä, jossa on on termejä, joiden aste on yli 2.

Kolmannen asteen yhtälö

Esimerkki 1

Ratkaise kolmannen asteen yhtälö

Otetaan yhteinen tekijä jolloin saamme tulon nollasäännöllä yhden nollakohdan x = 0 sekä toisen asteen yhtälön, josta saadaan loput ratkaisut

x = –1 ja x = 2.

Esimerkki 2

Ratkaise kolmannen asteen yhtälö

Nyt ei pysty ottamaan kaikista termeistä yhteistä tekijää. Käytetään ryhmittelyä.

Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu x = 2, sillä toisen asteen tekijällä ei ole nollakohtia.

Mikäli yhtälöä ei saa muokattua tulomuotoon tekijöiden avulla, eikä se ole potenssiyhtälömuotoa, ei meillä ole työkaluja yhtälön ratkaisemiseksi. Laskimet ja laskinohjelmistot toki ratkaisevat kaikki yhtälöt.

Neljännen asteen yhtälö

Esimerkki 3

Ratkaise neljännen asteen yhtälö

Merkitään t = x² ja sijoitetaan se yhtälöön

Saadaan toisen asteen yhtälö, jonka nollakohdat ovat t = 1 tai t = 4.

Tehdään takaisinsijoitus

Yhtälöllä on neljä ratkaisua. x = –2, x = –1, x = 1 ja x = 2

Extra

Mikäli juuret ovat kokonaislukuja ja jokin yhtälön juurista tunnetaan, on helppoa määritellä muut juuret ryhmittelyn avulla. Yhtälön juuret ovat vakiotermin tekijöitä.

Esimerkki 4

Tiedetään, että alapuolisen yhtälön eräs juuri on x = 1. Mitkä ovat muut juuret?

Koska eräs juuri on x = 1, voimme ryhmitellä termit siten, että saamme yhteiseksi tekijäksi x – 1

Muokataan termejä siten että kolmannen ja toisen asteen termeistä saamme yhteiseksi tekijäksi x – 1

Tämän jälkeen muokataan toisen ja ensimmäisen asteen termejä, jotta näistä myös saa yhteiseksi tekijäksi x – 1

Sitten vielä ensimmäisen asteen termistä ja vakiotermistä yhteinen tekijä

Nyt voimme ottaa x – 1 yhteiseksi tekijäksi

Tulon nollasäännöllä jompikumpi tulon tekijöistä on 0 tai molemmat.

Toisen asteen yhtälön ratkaisut

Josta tulon nollasäännöllä nähdään muut juuret, eli x = 5 ja x = 6

Esimerkki 5

Alapuolisen yhtälön eräs juuri on x = –2. Mitkä ovat muut juuret?

Muokataan yhtälöä siten, että saadaan yhteiseksi tekijäksi x + 2. Lisätään toisen asteen termi ja sama termi negatiivisena (eli lisättiin 0) ja jaetaan ensimmäisen asteen termi sopivasti.

Nyt jokaisesta termiparista saadaan yhteinen tekijä siten että sulkeisiin jää x + 2

Yhteiseksi tekijäksi x + 2

Tällöin

x = –2 tai toisen asteen yhtälöstä

Josta tulon nollasäännöllä saamme juuriksi x = –1 ja x = 3

Ratkaise alla oleva yhtälö käyttäen ryhmittelyä. Saat yhden ratkaisun näkyviin, mikäli haluat. Vastauksen näet Tarkista vastaus painikkeesta ja uuden yhtälön saat Uusi kysymys painikkeesta.