Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Yksikköympyrä

ja suunnatut kulmat

Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Yksikköympyrä

Määritetään koordinaatistoon ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on 1.

Moduulista MAA4 - Analyyttinen geometria ja vektorit, muistamme, että tällaisen ympyrän yhtälö on

Suunnatut kulmat yksikköympyrässä

Esimerkki 1

Valitaan yksikköympyrän kehältä piste A.

Pisteeseen A piirretyn säteen ja x-akselin välinen kulma on 𝛼.

Muodostetaan suorakulmainen kolmio siten, että

hypotenuusana on ympyrän säde.

Pisteen A koordinaatit ovat (0,8;0,6). Koska kolmion yksi kärki on origossa, muodostuu kolmion kateettien pituuksiksi suoraan kehäpisteen A koordinaattien arvot. Tässä tapauksessa kateettien pituudet ovat 0,8 ja 0,6 sekä hypotenuusan pituus on 1.

Nyt voisimme määrittää kulman 𝛼 käyttäen trigonometrisia funktioita sini tai kosini

Eli sin(36,9° )=0,6 ja cos(36,9° )=0,8 Voisimme ilmoittaa pisteen A koordinaatit kulman 𝛼 avulla A(cos(36,9° ),sin(36,9° )).

Merkitään kehäpisteen A koordinaatit (x,y) Tällöin kulmalle 𝛼 pätee

Esimerkki 2

Märitetään kehäpisteiden A, B ja C koordinaatit

Pistettä A vastaava kulma on 30°

Pistettä B vastaava kulma on 130°

Pistettä C vastaava kulma on 240°

Edellisen esimerkin perusteella

A(cos(30°),sin(30°)), B(cos(130°),sin(130°)), C(cos(240°),sin(240°))

Lasketaan koordinaatit yhden desimaalin tarkkuudella.

A(0,9;0,5)

B(-0,6;0,8)

C(-0,5;-0,9)

Sinin ja kosinin ominaisuuksia

Edellä on määritelty, että sini ja kosini ovat yksikköympyrällä kehäpisteen koordinaatteja. Sinin ja kosinin arvot vaihtelee siis välillä [-1,1]. Sini ja kosini saavat kaikki arvot välillä [-1,1].

Kaikilla kulman 𝛼 arvoilla

Sinin ja kosinin etumerkki määräytyy sen mukaan missä koordinaatiston neljänneksessä kehäpiste sijaitsee. Sini on y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti.

Sini

Kosini

Esimerkki 3

Millä kulmalla sin(𝛼)=0,5?

Koska y-koordinaatti on 0,5 kahdella kehäpisteellä, on oltava kaksi kulmaa, joiden sinin arvo on 0,5. Alla on merkittynä kehäpisteet A ja B joiden y-koordinaatti on 0,5.

Negatiivisen x-akselin sekä pisteeseen B piirretyn janan välille muodostuu kulma, joka on yhtä suuri kuin kulma 𝛼. Tämä voitaisi osoittaa esimerkiksi yhdenmuotoisuuden avulla.

On siis oltava

Ratkaistaan kulma, jolla sinin arvo on 0,5

Kulmalla 30° sinin arvo on 0,5. Edellä olevan mukaan myös kulmalla 180°-30°=150° sinin tulisi saada arvo 0,5.

Esimerkki 4

Millä kulmalla 𝛼

Kosini on kehäpisteen x-koordinaatti ja kahdella kehäpisteellä on x-koordinaatin arvo kysytyn arvon suuruinen.

Tästä muodostuu vastaava kolmio x-akselin alapuolelle ja kulma 𝛼 on suurudeltaan yhtä suuri kuin kulma 𝛽. Myötäpäivään kiertyvää kulmaa merkitään negatiivisena, joten 𝛽=-𝛼.

Tällöin 0° ja 360° välillä kosini saisi samat arvot kulmilla 𝛼 ja 360°-𝛼

Vastakulmat ja suplementtikulmat

Vastakulmat

Suplementtikulmat

Jaksollisuus

Jos kulmaan lisätään täyden kulman 360° moninkerta, säilyy kehäpiste ennallaan. Eli sini ja kosini saavat saman arvon aina 360° välein.

missä n on kokonaisluku. Tätä kutsutaan sinin ja kosinin jaksollisuudeksi.

Harjoituksia

1. Piirrä yksikköympyrä ja merkitse siihen kehäpisteet, jotka vastaavat kulmia

a) 30°

b) 270°

c) 90°

d) -135°

Vihje

(cos(𝛼),sin(𝛼))

2. Piirrä yksikköympyrä GeoGebralla. Ratkaise sen avulla kaikki kulmat, joille

a) sin(𝛼)=0,7

b) cos(𝛼)=-0,45

Vihje

Piirrä vastaavat suorat

a) y=0,7

b)x=0,45

Miten saat kulmaa vastaavat kehäpisteet?

3. Määritä sin(𝛼) ja cos(𝛼), kun kulman 𝛼 kehäpiste on

a) (-0,5;0,87)

b) (0,8;-0,6)

c) (0,1)

d) (0,13;-0,99)

Vihje

Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi

4. Määritä arvot ilman teknisiä apuvälineitä. Voit käyttää taulukoista löytyviä tarkkoja arvoja apunasi.

a) sin ( 36°)

b) sin(108°)

c) cos(150°)

d) cos(795°)

Vihje

Ilmoita kulmat jakson avulla.

5. Määritä sin(𝛼) kun kulman 𝛼 kehäpiste on

a) (-1/2, y)

b) (0,4;y)

c) (-1,y)

d) (0.135;y)

Vihje

Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi

6. Määritä cos(𝛼) kun kulman 𝛼 kehäpiste on

a) (x;-0,2)

b) (x;0,5)

c) (x,1/3)

d) (x,5/6)

Vihje

Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi

7. Määritä kehäpiste kulmille

a) 25°

b) 130°

c) 225°

d) 340°

Vihje

Kehäpiste (cos(𝛼),sin(𝛼))

8. Määritä kehäpiste kulmille

a) -135°

b) 630°

c) 2025°

d) -840°

Vihje

Ilmoita kulmat jakson avulla.

9. Millä kulmilla kehäpisteen koordinaatit ovat samat? Eli milloin cos(𝛼)=sin(𝛼)?

Vihje

Käytä hyväksesi yksisäteisen ympyrän yhtälöä.

10. Millä kulmilla kehäpisteen koordinaatit toteuttavat säännön y=2x?

Vihje

Missä on kehäpisteet, jotka toteuttavat säännön? (Eli ovat myös tuon suoran pisteitä.)

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse