Yksikköympyrä
ja suunnatut kulmat
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Yksikköympyrä
Määritetään koordinaatistoon ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on 1.
Moduulista MAA4 - Analyyttinen geometria ja vektorit, muistamme, että tällaisen ympyrän yhtälö on
Suunnatut kulmat yksikköympyrässä
Esimerkki 1
Valitaan yksikköympyrän kehältä piste A.
Pisteeseen A piirretyn säteen ja x-akselin välinen kulma on 𝛼.
Muodostetaan suorakulmainen kolmio siten, että
hypotenuusana on ympyrän säde.
Pisteen A koordinaatit ovat (0,8;0,6). Koska kolmion yksi kärki on origossa, muodostuu kolmion kateettien pituuksiksi suoraan kehäpisteen A koordinaattien arvot. Tässä tapauksessa kateettien pituudet ovat 0,8 ja 0,6 sekä hypotenuusan pituus on 1.
Nyt voisimme määrittää kulman 𝛼 käyttäen trigonometrisia funktioita sini tai kosini
Eli sin(36,9° )=0,6 ja cos(36,9° )=0,8 Voisimme ilmoittaa pisteen A koordinaatit kulman 𝛼 avulla A(cos(36,9° ),sin(36,9° )).
Merkitään kehäpisteen A koordinaatit (x,y) Tällöin kulmalle 𝛼 pätee
Esimerkki 2
Märitetään kehäpisteiden A, B ja C koordinaatit
Pistettä A vastaava kulma on 30°
Pistettä B vastaava kulma on 130°
Pistettä C vastaava kulma on 240°
Edellisen esimerkin perusteella
A(cos(30°),sin(30°)), B(cos(130°),sin(130°)), C(cos(240°),sin(240°))
Lasketaan koordinaatit yhden desimaalin tarkkuudella.
A(0,9;0,5)
B(-0,6;0,8)
C(-0,5;-0,9)
Sinin ja kosinin ominaisuuksia
Edellä on määritelty, että sini ja kosini ovat yksikköympyrällä kehäpisteen koordinaatteja. Sinin ja kosinin arvot vaihtelee siis välillä [-1,1]. Sini ja kosini saavat kaikki arvot välillä [-1,1].
Kaikilla kulman 𝛼 arvoilla
Sinin ja kosinin etumerkki määräytyy sen mukaan missä koordinaatiston neljänneksessä kehäpiste sijaitsee. Sini on y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti.
Sini
Kosini
Esimerkki 3
Millä kulmalla sin(𝛼)=0,5?
Koska y-koordinaatti on 0,5 kahdella kehäpisteellä, on oltava kaksi kulmaa, joiden sinin arvo on 0,5. Alla on merkittynä kehäpisteet A ja B joiden y-koordinaatti on 0,5.
Negatiivisen x-akselin sekä pisteeseen B piirretyn janan välille muodostuu kulma, joka on yhtä suuri kuin kulma 𝛼. Tämä voitaisi osoittaa esimerkiksi yhdenmuotoisuuden avulla.
On siis oltava
Ratkaistaan kulma, jolla sinin arvo on 0,5
Kulmalla 30° sinin arvo on 0,5. Edellä olevan mukaan myös kulmalla 180°-30°=150° sinin tulisi saada arvo 0,5.
Esimerkki 4
Millä kulmalla 𝛼
Kosini on kehäpisteen x-koordinaatti ja kahdella kehäpisteellä on x-koordinaatin arvo kysytyn arvon suuruinen.
Tästä muodostuu vastaava kolmio x-akselin alapuolelle ja kulma 𝛼 on suurudeltaan yhtä suuri kuin kulma 𝛽. Myötäpäivään kiertyvää kulmaa merkitään negatiivisena, joten 𝛽=-𝛼.
Tällöin 0° ja 360° välillä kosini saisi samat arvot kulmilla 𝛼 ja 360°-𝛼
Vastakulmat ja suplementtikulmat
Vastakulmat
Suplementtikulmat
Jaksollisuus
Jos kulmaan lisätään täyden kulman 360° moninkerta, säilyy kehäpiste ennallaan. Eli sini ja kosini saavat saman arvon aina 360° välein.
missä n on kokonaisluku. Tätä kutsutaan sinin ja kosinin jaksollisuudeksi.
Harjoituksia
1. Piirrä yksikköympyrä ja merkitse siihen kehäpisteet, jotka vastaavat kulmia
a) 30°
b) 270°
c) 90°
d) -135°
Vihje
(cos(𝛼),sin(𝛼))
2. Piirrä yksikköympyrä GeoGebralla. Ratkaise sen avulla kaikki kulmat, joille
a) sin(𝛼)=0,7
b) cos(𝛼)=-0,45
Vihje
Piirrä vastaavat suorat
a) y=0,7
b)x=0,45
Miten saat kulmaa vastaavat kehäpisteet?
3. Määritä sin(𝛼) ja cos(𝛼), kun kulman 𝛼 kehäpiste on
a) (-0,5;0,87)
b) (0,8;-0,6)
c) (0,1)
d) (0,13;-0,99)
Vihje
Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi
4. Määritä arvot ilman teknisiä apuvälineitä. Voit käyttää taulukoista löytyviä tarkkoja arvoja apunasi.
a) sin ( 36°)
b) sin(108°)
c) cos(150°)
d) cos(795°)
Vihje
Ilmoita kulmat jakson avulla.
5. Määritä sin(𝛼) kun kulman 𝛼 kehäpiste on
a) (-1/2, y)
b) (0,4;y)
c) (-1,y)
d) (0.135;y)
Vihje
Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi
6. Määritä cos(𝛼) kun kulman 𝛼 kehäpiste on
a) (x;-0,2)
b) (x;0,5)
c) (x,1/3)
d) (x,5/6)
Vihje
Käytä GeoGebraa ja yksikköympyrää apunasi
7. Määritä kehäpiste kulmille
a) 25°
b) 130°
c) 225°
d) 340°
Vihje
Kehäpiste (cos(𝛼),sin(𝛼))
8. Määritä kehäpiste kulmille
a) -135°
b) 630°
c) 2025°
d) -840°
Vihje
Ilmoita kulmat jakson avulla.
9. Millä kulmilla kehäpisteen koordinaatit ovat samat? Eli milloin cos(𝛼)=sin(𝛼)?
Vihje
Käytä hyväksesi yksisäteisen ympyrän yhtälöä.
10. Millä kulmilla kehäpisteen koordinaatit toteuttavat säännön y=2x?
Vihje
Missä on kehäpisteet, jotka toteuttavat säännön? (Eli ovat myös tuon suoran pisteitä.)