Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Logaritmille pätee seuraavat laskusäännöt
Perustellaan numeerisen esimerkin avulla näistä ensimmäinen
Esimerkki 1
Sievennetään
Esimerkki 2
Ratkaistaan yhtälö
Toisaalta esimerkin 2 yhtälöon voi ratkaista myös seuraavasti
Joten
Olemme siis vaihtaneet 3-kantaisen logaritmin 10-kantaiseksi logaritmiksi. Yleisesti pätee logaritmin kantaluvun vaihtamiselle
Esimerkki 3
Ratkaistaan yhtälö
Muutetaan yhtälön molemmat puolet luvun 4 potenssiksi.
Eksponenttifunktio 4x on aidosti kasvava, joten
Esimerkki 4
Ratkaistaan yhtälö
Yhtälön määrittelyehto on
Ratkaistaan yhtälö
Yhtälön ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon.
Esimerkki 5
Ratkaistaan yhtälö
Yhtälö on määritelty, kun
Nyt voimme ratkaista yhtälön
Yhtälön ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon
Esimerkki 6
Ratkaistaan epäyhtälö
Epäyhtälö on määritelty, kun x>0
Merkitään luku 3 5-kantaisena logaritmina
Kantaluku 5 > 1 eli funktio log5x on aidosti kasvava. siis epäyhtälön suunta säilyy.
Esimerkki 7
Kumpi luvuista on suurempi?
Laskimella ei tavallisesti pysty laskemaan näin suuria lukuja.
Voidaan kuitenkin laskea molemmille 2-kantainen logaritmi.
Laskimella saadaan alemman likiarvoksi
Koska log2 on aidosti kasvava funktio, edellä olevista luvuista suurempi on se, jonka 2-kantainen logaritmi on suurempi, eli luku 32000
Esimerkki 8
Absurdistan ja Manttijuu ovat vierekkäiset kaupungit.
Absurdistanin väkiluku oli vuonna 2020 38500 ja Manttijuun väkiluku 25600 samana vuonna. Vuosittainen väestönkasvu on ollut Absurdistanissa 2,5% ja Manttijuussa 4,0%.
Jos kasvu jatkuu molemmissa kaupungeissa samanlaisena, milloin niissä on yhtä monta asukasta?
Ratkaisu
Absurdistanin väkiluku 1,025-kertaistuu vuodessa ja Manttijuun väkiluku 1,04-kertaistuu vuodessa. Muodostetaan funktiot kuvaamaan väestönkasvua vuodesta 2020 alkaen.
Merkitään Absurdistanin funktiota f ja Manttijuun g ja x on vuodet vuodesta 2020 alkaen.
Ratkaistaan milloin funktiot, eli väkimäärä, ovat yhtäsuuret
Otetaan puolittain 10-kantainen logaritmi (lg).
Käytetään logaritmin laskukaavaa, kun numeruksessa on tulo.
Eksponentti voidaan tuoda eteen kertoimeksi.
Muuttujat x samalle puolelle.
Yhteinen tekijä.
Saadaan noin 28 vuotta, eli vuonna 2048 väkiluvut ovat yhtäsuureet.
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Esitä a-kohdassa saman kantaluvun avulla
2. Ratkaise yhtälöt
Vihje
b-kohdassa jaa ensin kerroin 2 pois
3. Ratkaise yhtälöt
Vihje
a-kohdassa käytä logaritmia apuna
4. Ratkaise yhtälö
Vihje
Logaritmin yhteenlasku
5. Ratkaise yhtälö
Vihje
Logaritmin määritelmä
6. Ratkaise yhtälö
Vihje
Ota puolittain logaritmi
7. Ratkaise epäyhtälöt
Vihje
Esitä 5 3-kantaisena logaritmina
8. Ratkaise epäyhtälöt
Vihje
a-kohdassa etsi yhteinen kantaluku
9. Ratkaise yhtälö
Vihje
Logartmin laskukaavat
YO syksy 2011
10. Ratkaise yhtälö
Vihje
Logaritmin laskukaavat
YO 2009 kevät
11. Liisa-Petteri sijoitti 1000 € säästötilille, jossa oli 1,5% vuosikorko ja 500 € rahastoon, jossa oli 2,0 % vuotuinen tuotto. Molemmissa tapauksessa saatu tuotto sijoitetaan, eli rahaa ei oteta ulos. Myöskään uusia talletuksia ei tehdä. Kuinka kauan kestää, että molemmat sijoitukset ovat arvoltaan yhtäsuuret? Kuinka paljon sijoitusten arvo tuolloin on?
Vihje
Muodosta funktiot, jotka kuvaavat sijoituksen kasvua.
Osion perustehtävät
Osion perustehtävät
Google Sites
Report abuse