Polynomifunktion kulku

Polynomifunktion kulkua voidaan tutkia derivaatan avulla. Koska derivaatta funktion tietyssä kohdassa on tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, voidaan derivaatan merkistä päätellä jo paljon. 

Kun funktion kuvaaja on kasvava, tulee kaikista tangenteista nousevia suoria, eli niiden kulmakerroin on positiivinen. Derivaatta on siis positiivinen, kun funktio kasvaa. 

Kun funktion kuvaaja on vähenevä, tulee kaikista tangenteista laskevia suoria, eli kulmakerroin on negatiivinen. Derivaatta on negatiivinen, kun funktio vähenee.

Kohdissa, joissa funktion kuvaaja muuttaa suuntaa tangentti on x-akselin suuntainen, eli sen kulmakerroin on 0. Funktio muuttaa suuntaansa siis derivaatan nollakohdissa.

Alapuolella on funktion f kuvaaja ja sille piirrettyjä tangentteja.

Kohdissa, joissa funktio muuttaa suuntaansa derivaatta on nolla. Tangentit piirretty kuvaan punaisella. Ennen ensimmäistä suunnanmuutosta funktio on kasvava ja sinne piirretyt tangentit ovat nousevia suoria. Kuvassa vihreä tangentti kohdassa -1. 

Suunnanmuutospaikkojen, eli derivaatan nollakohtien välissä funktion arvot vähenee. Tälle alueelle piirretyt tangentit ovat laskevia suoria. Kohtaan 0,5 piirretty sininen tangentti.

Voimme siis tutkia funktion kulkua tutkimalla sen derivaattaa.

Esimerkki 1

Milloin funktio f on kasvava ja milloin vähenevä?

Ratkaisu

Derivoidaan ja tutkitaan derivaatan merkkiä.

Derivaatan nollakohta on x=1. Derivaatan kuvaaja on nouseva suora

Derivaatta saa siis negatiivisia arvoja, kun x<1 ja positiivisia arvoja, kun x>1. Tästä voimme päätellä funktion kulun.

Kasvavuuteen ja vähenevyyteen otetaan yhtäsuuruus mukaan. Alapuolella funktion f kuvaaja sinisellä ja derivaatan f´ kuvaaja vihreällä.

Ääriarvoiksi kutsutaan funktion arvoja, jotka saavutetaan derivaatan nollakohdissa. Näitä kohtia kutsutaan ääriarvokohdiksi.

Esimerkki 2

Määritä funktion f ääriarvokohdat ja ääriarvot.

Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohdat

Derivaatan nollakohdat ovat x=-1 ja x=2. Nämä ovat ääriarvokohdat.

Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tehdään merkkikaavio.

Merkkikaavion alapuolelle merkitään funktion kulkukaavio. Kun derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa ja funktio vähenee, kun derivaatta on negatiivinen. Kohdassa -1 on derivaatan nollakohta. Funktio vaihtaa suuntaansa ja tämä on paikallinen maksimikohta. Toisessa derivaatan nollakohdassa, kohdassa 2, on paikallinen minimikohta.

Funktion ääriarvot

Esimerkki 3

Määritä funktion g ääriarvot

Ratkaisu

Derivoidaan funktio ja haetaan sen nollakohdat

Derivaatalla on vain yksi nollakohta x=2. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se ei saa negatiivisia arvoja missään. Tehdään funktion kulkukaavio.

Derivaatan nollakohdan jälkeen funktio jatkaa kasvamistaan. Funktiolla ei ole siis ollenkaan ääriarvokohtia. Kyseessä on satulapiste.

Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä, joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa, jotka ovat tällä välillä.

Esimerkki 4

Määritä funktio f  suurin ja pienin arvo välillä [2,4]

Derivoidaan

Kohdassa 4 funktio saa välin suurimman arvon 3, ja kohdassa 3 funktio saa pienimmän arvonsa -1. Alla funktion kuvaaja.

Aidosti kasvava ja vähenevä funktio

Aidosti kasvavuuden voi todeta myös derivaatan avulla. Kun derivaatta on positiivinen, funktio on kasvava. Eli, jos derivaatta on positiivinen ja nolla vain erillisissä välin pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti kasvava tällä välillä.

Samalla tavalla, jos derivaatta on negatiivinen ja nolla vain erillisissä pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti vähenevä tällä välillä.

Harjoituksia

Lisäksi tiedetään, että funktion p(x) kuvaaja kulkee origon ja pisteiden (−1,7) ja (2,−20) kautta.

1. Millä muuttujan x arvoilla p′(x) = 0?

2. Määritä funktio p(x). 

3. Määritä p′(x). 

YO syksy 2020

kun n = 0,1,2,3,...,1000.

Etsi derivaatan avulla sellainen indeksin k arvo, että lukujono (a0,…,ak) on kasvava ja lukujono (ak,…,a1000) on vähenevä. 

YO kevät 2019

Osion perustehtävät