Polynomifunktion kulku
Polynomifunktion kulkua voidaan tutkia derivaatan avulla. Koska derivaatta funktion tietyssä kohdassa on tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, voidaan derivaatan merkistä päätellä jo paljon.
Kun funktion kuvaaja on kasvava, tulee kaikista tangenteista nousevia suoria, eli niiden kulmakerroin on positiivinen. Derivaatta on siis positiivinen, kun funktio kasvaa.
Kun funktion kuvaaja on vähenevä, tulee kaikista tangenteista laskevia suoria, eli kulmakerroin on negatiivinen. Derivaatta on negatiivinen, kun funktio vähenee.
Kohdissa, joissa funktion kuvaaja muuttaa suuntaa tangentti on x-akselin suuntainen, eli sen kulmakerroin on 0. Funktio muuttaa suuntaansa siis derivaatan nollakohdissa.
Alapuolella on funktion f kuvaaja ja sille piirrettyjä tangentteja.
Kohdissa, joissa funktio muuttaa suuntaansa derivaatta on nolla. Tangentit piirretty kuvaan punaisella. Ennen ensimmäistä suunnanmuutosta funktio on kasvava ja sinne piirretyt tangentit ovat nousevia suoria. Kuvassa vihreä tangentti kohdassa -1.
Suunnanmuutospaikkojen, eli derivaatan nollakohtien välissä funktion arvot vähenee. Tälle alueelle piirretyt tangentit ovat laskevia suoria. Kohtaan 0,5 piirretty sininen tangentti.
Voimme siis tutkia funktion kulkua tutkimalla sen derivaattaa.
Esimerkki 1
Milloin funktio f on kasvava ja milloin vähenevä?
Ratkaisu
Derivoidaan ja tutkitaan derivaatan merkkiä.
Derivaatan nollakohta on x=1. Derivaatan kuvaaja on nouseva suora
Derivaatta saa siis negatiivisia arvoja, kun x<1 ja positiivisia arvoja, kun x>1. Tästä voimme päätellä funktion kulun.
Vähenevä
Kasvava
Kasvavuuteen ja vähenevyyteen otetaan yhtäsuuruus mukaan. Alapuolella funktion f kuvaaja sinisellä ja derivaatan f´ kuvaaja vihreällä.
Ääriarvot
Ääriarvoiksi kutsutaan funktion arvoja, jotka saavutetaan derivaatan nollakohdissa. Näitä kohtia kutsutaan ääriarvokohdiksi.
Esimerkki 2
Määritä funktion f ääriarvokohdat ja ääriarvot.
Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohdat
Derivaatan nollakohdat ovat x=-1 ja x=2. Nämä ovat ääriarvokohdat.
Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tehdään merkkikaavio.
Merkkikaavion alapuolelle merkitään funktion kulkukaavio. Kun derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa ja funktio vähenee, kun derivaatta on negatiivinen. Kohdassa -1 on derivaatan nollakohta. Funktio vaihtaa suuntaansa ja tämä on paikallinen maksimikohta. Toisessa derivaatan nollakohdassa, kohdassa 2, on paikallinen minimikohta.
Funktion ääriarvot
Esimerkki 3
Määritä funktion g ääriarvot
Ratkaisu
Derivoidaan funktio ja haetaan sen nollakohdat
Derivaatalla on vain yksi nollakohta x=2. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se ei saa negatiivisia arvoja missään. Tehdään funktion kulkukaavio.
Derivaatan nollakohdan jälkeen funktio jatkaa kasvamistaan. Funktiolla ei ole siis ollenkaan ääriarvokohtia. Kyseessä on satulapiste.
Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä
Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä, joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa, jotka ovat tällä välillä.
Esimerkki 4
Määritä funktio f suurin ja pienin arvo välillä [2,4]
Derivoidaan
Derivaatan nollakohdat ovat x=1 ja x=3. Näistä vain x=3 kuuluu välille [2,4]. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa, joka on välillä.
Kohdassa 4 funktio saa välin suurimman arvon 3, ja kohdassa 3 funktio saa pienimmän arvonsa -1. Alla funktion kuvaaja.
Aidosti kasvava ja vähenevä funktio
Funktio on aidosti kasvava tietyllä välillä, jos funktion arvot suurenevat, kun muuttujan arvot suurenevat.
Funktiota kutsutaan kasvavaksi, jos funktion arvot suurenevat tai ovat yhtäsuuria, kun muuttujan arvot suurenevat
Aidosti kasvava
Kasvava
Aidosti kasvavuuden voi todeta myös derivaatan avulla. Kun derivaatta on positiivinen, funktio on kasvava. Eli, jos derivaatta on positiivinen ja nolla vain erillisissä välin pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti kasvava tällä välillä.
Funktio on aidosti vähenevä tietyllä välillä, jos funktion arvot pienenevät, kun muuttujan arvot pienenevät.
Funktiota kutsutaan väheneväksi, jos funktion arvot vähenevät tai ovat yhtäsuuria, kun muuttujan arvot pienenevät.
Aidosti vähenevä
Vähenevä
Samalla tavalla, jos derivaatta on negatiivinen ja nolla vain erillisissä pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti vähenevä tällä välillä.
Harjoituksia
1. Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä?
Vihje
Tee merkkikaavio
2. Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä?
Vihje
Etsi huippu
3. Missä funktio f on aidosti kasvava?
Vihje
Milloin derivaatta on positiivinen?
4. Missä funktio f on aidosti vähenevä?
Vihje
Milloin derivaatta on negatiivinen?
5. Tutki funktion f kulkua
Vihje
Tee kulkukaavio
6. Tutki funktion f kulkua
Vihje
Tee kulkukaavio
7. Määritä funktion f ääriarvot ja ääriarvokohdat
Vihje
Ääriarvokohdat = derivaatan nollakohdat
Ääriarvot = Funktion arvot derivaatan nollakohdissa
8. Määritä funktion f ääriarvot ja ääriarvokohdat
Vihje
Muista perustella minimi ja maksimi
9. Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä
a) [4,6]
b) [1,6}
Vihje
Välin päätepisteet ja välille kuuluvat derivaatan nollakohdat
10. Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä
a) [2,5]
b) [-2,5]
Vihje
Välin päätepisteet ja välille kuuluvat derivaatan nollakohdat
11. Millä vakion a arvolla funktion f(x) pienin arvo on 0?
YO kevät 2014
Vihje
Ratkaise derivaatan nollakohta. Nollakohdassa on a mukana. Sijoita tämä funktioon jolloin funktion arvoksi tulee 0.
12. Mitä arvoja funktio f(x) saa välillä [0,2]?
YO kevät 2014
Vihje
Suurin ja pienin arvo.
13. Määritä funktion f(x) suurin ja pienin arvo välillä [-1,2]
YO syksy 2011
Vihje
Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä.
14. Lukuun 10 lisätään erään positiivisen luvun neliön ja kuution erotus. Määritä derivaatan avulla suurin mahdollinen arvo, joka näin voidaan saada.
YO kevät 2022
Vihje
Muodosta funktio ja derivoi se
15. Tutkitaan kolmannen asteen polynomifunktiota p(x)=ax3+bx2+cx+d. Funktion derivaatan merkkikaavio on seuraavanlainen:
Vihje
Muodosta kohdassa 2. yhtälöryhmä. Sijoita pisteet funktioon ja derivaatan nollakohdat derivaattaan. Ratkaise yhtälöryhmä GeoGebralla.
Lisäksi tiedetään, että funktion p(x) kuvaaja kulkee origon ja pisteiden (−1,7) ja (2,−20) kautta.
1. Millä muuttujan x arvoilla p′(x) = 0?
2. Määritä funktio p(x).
3. Määritä p′(x).
YO syksy 2020
16. Selvitä derivaatan avulla, missä välin −1 ≤ x ≤ 3 kohdassa funktio f(x) = 2x2 − x + 5 vähenee nopeimmin.
YO kevät 2020
Vihje
Derivaatan pienin arvo kyseisellä välillä.
17. Tarkastellaan lukuja
Vihje
Muodosta funktio f(x) ja tutki sen kulkua välillä [0,1000]
kun n = 0,1,2,3,...,1000.
Etsi derivaatan avulla sellainen indeksin k arvo, että lukujono (a0,…,ak) on kasvava ja lukujono (ak,…,a1000) on vähenevä.
YO kevät 2019