Määrätty integraali

Nyt osaamme integroida polynomifunktioita. Muut tutut funktiot käsitellään myöhemmissä luvuissa. Katsotaan tähän väliin [luvut 3&4] mitä hyötyä integraalifunktiosta meille on.

Funktion derivaatta(funktio) kertoo meille alkuperäisen funktion muutoksesta. Jos derivaatan arvo jossain kohdassa on suuri positiivinen luku, funktio kasvaa nopeasti. Tai jos derivaatta on pieni negatiivinen luku, funktio vähenee hitaasti jne.

Tässä ja seuraavassa luvussa opimme, että integraalifunktion avulla voi laskea funktion kuvaajan alle jäävän pinta-alan jollain välillä. Integraali kuvaa siis jonkinlaista määrää tai “kertymää” - kuinka paljon “funktiota” on esimerkiksi välillä [0,1].

Fysiikassa opitaan, että nopeus tarkoittaa paikkafunktion muuttumisnopeutta - eli nopeusfunktio on paikkafunktion derivaatta. Integraalille pätee käänteinen suhde, jos tunnemme nopeusfunktion, saamme kuljetun matkan integroimalla nopeutta.

Funktion ja x-akselin rajaama pinta-ala

Idea on seuraava: katsotaan funktion f(x) ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa ja yritetään arvioida kuinka suuri se on jollain välillä. Arviointia helpottaaksemme jaetaan se tasavälein viipaleiksi. Kuvassa on jokin esimerkkifunktio, jonka rajaaman alueen haluamme selvittää välillä [0,1].

Yksi tapa muodostaa karkea arvio on ajatella että yhden viipaleen pinta-ala on sen suorakulmion pinta-ala, jossa kanta on välin leveys ja korkeus on funktion f(x) arvo välin keskipisteessä [tai alkupisteessä, tai loppupisteessä, tällä ei ole lopputuloksen kannalta merkitystä], eli suurinpiirtein

Oheisessa kuvassa esimerkiksi viidennen viipaleen pinta-ala olisi siis

ja välin leveys on

Joten pinta-ala on

Sama pätee muiden viipaleiden pinta-alalle. Koko pinta-ala saadaan tietenkin näiden summana, jonka voi muodollisesti kirjoittaa näin:

Summa kulkee jokaisen viipaleen yli. Yllä olevassa kuvassa on yhdeksän viipaletta, joten i saa arvot i=1,2,3,...,9. Mitä pienemmiksi viipaleiksi alueen jaamme, sitä tarkemman arvion pinta-alasta saamme. Tarkka arvo saadaan raja-arvona, kun väli kutistuu nollaksi ja viipaleita on ääretön määrä. Aivan kuten derivaatta määriteltiin erotusosamäärän raja-arvona, kun välin pituus lähestyy nollaa, määritellään ns. “määrätty integraali” yllä olevan summan raja-arvona.

Yläsumma ja alasumma

Pinta-alaa arvioidaan myös yläsumman ja alasumman avulla. Yläsumma saadaan, kun otetaan funktion suurin arvo osavälillä ja alasumma taas saadaan kun otetaan funktion pienin arvo osavälillä. Tämän jälkeen lasketaan suorakulmioiden pinta-alat yhteen.

Yläsumma välillä [1,5]. A = 17

Alasumma välillä [1,5]. A = 13

Keskipistesäännössä suorakulmioden korkeus otetaan osavälien keskipisteistä.

Keskipistesumma välillä [1,5]. A=15,5

Suorakaidesääntö

Funktio f(x) ≥ 0 kaikilla muuttujan x arvoilla välillä [a,b]. Funktion kuvaajan ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala voidaan laskea likimäärin

Osavälin pituus on Δx .

Välien lukumäärä on n.

Funktion arvot ovat valitusta välin laskentapisteestä.

Määrätty integraali

Otetaan positiivinen jatkuva funktio f(x) ja yleinen väli [a,b], funktion määrätty integraali on

Integraalimerkkikin on alunperin tullut juuri tuosta summa-symbolista. Onkin aina hyödyllistä ajatella, että integroidessa summataan jotain konkreettista.

Näin saataisiin siis positiivisen funktion rajaama pinta-ala, mutta miten tuo integraali sitten lasketaan? Siihen käytämme seuraavaa tulosta, niin sanottua “analyysin peruslausetta”, jonka todistus löytyy alempaa:

Keskimmäisessä välivaiheessa on käytetty ns. “sijoitusviivaa”, joka helpottaa laskuja koska määrätyn integraalin lasku kulkee käytännössä seuraavasti:

Katsotaan integraalirajat ja funktio f(x) tehtävänannosta.
Integroidaan funktio f(x) eli etsitään sen kaikki integraalifunktiot.
Sijoitetaan saatuun integraalifunktioon ensin välin loppupiste b ja sitten välin alkupiste a. Lasketaan näiden kahden erotus.

Esimerkki 1

Huomaa, kuinka integrointivakio C supistuu laskusta pois. Määrätyissä integraaleissa sen voi tästä syystä jättää kirjoittamatta.

Analyysin peruslauseen todistus

Ennen kuin ruvetaan laskemaan määrättyjä integraaleja, tehdään kaksi asiaa. Perustellaan tulos, jonka mukaan funktion f(x) integraalifunktio F(x) on sellainen, jonka derivaatta palauttaa alkuperäisen funktion, eli

Lisäksi johdetaan määrätyn integraalin ja integraalifunktion välinen yhteys eli “analyysin peruslause”.

Tutkitaan jälleen funktion f(x) rajaamaa pinta-alaa summan avulla. Lähdetään nollasta ja summataan viipaleita johonkin kohtaan x asti. Näin voimme määritellä “pinta-alafunktion” tai “kertymäfunktion”

Pinta-alojen summa

Viipaletta merkkaava muuttuja vaihdettiin t:ksi, ettei se menisi sekaisin välin päätepistettä merkkaavan x:n kanssa. Nyt siis pinta-ala kasvaa sitä suuremmaksi, mitä pidemmälle x viedään.

Integraali

Pienelle välille x -> 0 saadaan siis integraali

Joka riippuu välin päätepisteestä x.

Palataan viipaleisiin ja lisätään pieni pala yllä olevan summafunktion loppuun ja katsotaan kuinka paljon pinta-ala kasvaa.

Koska ollaan välin päässä, saadaan pinta-alan lisäykselle arvio

Tästä ratkaistaan pinta-alan suhde välin pituuden muutokseen

Vasemman puolen lauseke on pinta-alafunktio A(x):n erotusosamäärä, joten ottamalla pienen välin raja-arvo saadaan sen derivaatta (samalla alkuperäisestä arviosta tulee tarkka tulos).

Saimme siis näytettyä, että pinta-alafunktion derivaatta palauttaa alkuperäisen funktion, joten pinta-alafunktio on sen integraalifunktio.

Jatketaan vielä hieman. Jos kerran pinta-alafunktio on funktion f(x) integraalifunktio, sille pätee

Lisäämällä integrointivakio C ensimmäiselle riville saadaan tulos

Vaihdetaan vielä kaavassa olevia symboleja, siten että x → b ja t → x , tämä ei muuta mitään muuta kuin symboleiden nimet. Vaihdetaan vielä voisimme aloittaa pinta-alan kertymisen nollan sijasta kohdasta a, jolloin integroinnin alkupiste lähtee siitä. Kokonaisuudessaan olemme todistaneet “Analyysin peruslauseen” [Todistusta ei tarvitse muistaa, mutta se auttaa hahmottamaaan määrättyjä integraaleja ja on osa matematiikan yleissivistystä]

Harjoituksia

1. Laske kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala jakamalla väli

a) 5 osaväliin.

b) 10 osaväliin.

Ratkaise käyttäen alasummaa, yläsummaa ja keskipistesääntöä. Ratkaise ilman CAS-ohjelmia.

Vihje

Yläsummassa tulee funktion suurin arvo osavälillä ja alasummassa funktion pienin arvo osavälillä.

Hahmottele suorakulmiot kuvaajalle.

2. Laske yläsumma, alasumma ja keskipistesumma funktiolle f(x) välillä [1,6] jakamalla väli 5 osaväliin.

Ratkaise ilman CAS-ohjelmia.

Vihje

Hahmottele kuvaaja. Missä kohtaa on paraabelin huippu?

3. Laske yläsumma, alasumma ja keskipistesumma funktiolle f(x) välillä [1,6] jakamalla väli 10 osaväliin.

Ratkaise ilman CAS-ohjelmia.

Vihje

Funktio on aidosti kasvava tarkasteluvälillä.

Mistä löytyy välin suurin arvo ja mistä pienin arvo osavälillä?.

4. Laske yläsumma, alasumma ja keskipistesumma funktiolle f(x) välillä [1,6] jakamalla väli

a) 5 osaväliin.

b) 10 osaväliin.

c) 100 osaväliin.

Vihje

Käytä apuna GeoGebraa

5. Laske suorakaidesäännön avulla funktion f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan arvio välillä [0,5]. Osavälejä on 5 ja laskentapisteenä on välin keskipiste.

Vihje

f(0,5),f(1,5) jne.

6. Laske suorakaidesäännön avulla funktion f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan arvio välillä [0,4]. Osavälejä on 4 ja laskentapisteenä on välin keskipiste.

Vihje

f(0,5),f(1,5) jne.