Tason vektorit
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
xy-tasolla merkitään kirjaimella i x-akselin suuntaista yksikkövektoria ja kirjaimella j y-akselin suuntaista yksikkövektoria. Nämä ovat xy-tason kantavektorit.
Kaikki xy-tason vektorit voidaan ilmoittaa kantavektoreiden i ja j avulla.
Vektoreita yhteenlaskettaessa samansuuntaiset komponentit lasketaan yhteen.
Esimerkki 1
Lasketaan alla olevat vektorit yhteen.
Esimerkki 2
Laske vektorin a pituus
Vektorin pituudelle on suoraan kaava, joka löytyy MAOL-taulukoista. Kaava tulee pythagoraan lauseesta. Vektorin komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion kateetit ja vektori on hypotenuusa.
Missä ax on vektorin a x-suuntaisen komponentin kerroin ja ay on y-suuntaisen komponentin kerroin
Esimerkki 3
Määritä vektori pisteestä (2,3) pisteeseen (4,6)
Merkitään vektoria kirjaimella a. Pisteiden (2,3) ja (4,6) x-suuntainen siirtymä on 2 ja y-suuntainen siirtymä 3. Tällöin vektori on
Vektori pisteestä (x1,y1) pisteeseen (x2,y2)
Paikkavektori
Paikkavektori on origosta pisteeseen asetettu vektori. Alla pisteden A(-3,2), B(1,4) ja C(4,3) paikkavektorit. Koska paikkavektori lähtee origosta, nähdään komponentit suoraan päätepisteistä. Esimerkiksi pisteeseen (4,3) siirtymä origosta on x-akselia pitkin 4 ja y-akselia pitkin 3.
Paikkavektorit
Esimerkki 4
Pisteestä A(1,3) kuljetaan vektorilla a pisteeseen B. Määritä piste B.
Määritetään pisteen B paikkavektori.
Tällöin saadaan
Piste B on siis (4,6)
Yksikkövektori
Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Eli voimme muodostaa tietyn vektorin suuntaisen yksikkövektorin jakamalla vektori omalla pituudellaan.
Esimerkki 5
Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori.
Lasketaan vektorin pituus
Nyt voimme määrittää yksikkövektorin
Esimerkki 6
Pisteestä (2,4) kuljetaan 2 yksikköä vektorin a suuntaan ja 3 yksikköä vektorin b suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään?
Merkitään piste A(2,4) ja kysytty piste on B. Määritetään pisteen B paikkavektori.
Määritetään vektorien pituudet ja yksikkövektorit
Nyt pisteen B paikkavektori
Eli päädytään pisteeseen (9/5,14/5).
Harjoituksia
1. Määritä vektori pisteestä (2,5) pisteeseen
a) (4,8)
b) (-2,6)
c) (0,-4)
Vihje
2. Määritä vektori pisteestä (-1,-3) pisteeseen
a) (-4,-3)
b) (1,3)
c) (-6,0)
Vihje
3. Laske vektorin
a) a + b
b) a – b
pituus.
Vihje
Muodosta ensin summavektori
4. Laske vektorin
a) 2a + b
b) a – 2b
pituus.
Vihje
Muodosta ensin summavektori
5. Vektorilla a kuljetaan pisteestä A(1,3) pisteeseen B. Määritä piste B.
Vihje
Määritä pisteen B paikkavektori
6. Vektorilla a kuljetaan pisteestä A pisteeseen B(2,8). Määritä piste A.
Vihje
Määritä pisteen A paikkavektori
7. Määritä vektori AB, kun pisteiden A ja B paikkavektorit ovat
Vihje
OB=OA+AB
8. Origosta kuljetaan pisteeseen (5,5) ja sen jälkeen vektorin a suuntaan 4 yksikön verran. Mihin pisteeseen päädytään?
Vihje
Muodosta vektorin a yksikkövektori
9. Pisteestä A(2,-1) kuljetaan pisteen A ja B(-3,5) välisen vektorin suuntaan 10 yksikköä pisteeseen C. Määritä pisteen C paikkavektorin pituus.
Vihje
Muodosta vektorin AB yksikkövektori
10. Vektori a on pisteiden (1,-8) ja (2,3) välisen vektorin suuntainen. Pisteestä (1,1) kuljetaan vektorin a vastakkaiseen suuntaan 5 yksikön verran. Kuinka kaukana tämä piste on origosta?
Vihje
Muodosta vektori pisteiden välille.