Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Tason vektorit

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

xy-tasolla merkitään kirjaimella i x-akselin suuntaista yksikkövektoria ja kirjaimella j y-akselin suuntaista yksikkövektoria. Nämä ovat xy-tason kantavektorit.

Kaikki xy-tason vektorit voidaan ilmoittaa kantavektoreiden i ja j avulla.

Vektoreita yhteenlaskettaessa samansuuntaiset komponentit lasketaan yhteen.

Esimerkki 1

Lasketaan alla olevat vektorit yhteen.

Esimerkki 2

Laske vektorin a pituus

Vektorin pituudelle on suoraan kaava, joka löytyy MAOL-taulukoista. Kaava tulee pythagoraan lauseesta. Vektorin komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion kateetit ja vektori on hypotenuusa.

Missä ax on vektorin a x-suuntaisen komponentin kerroin ja ay on y-suuntaisen komponentin kerroin

Esimerkki 3

Määritä vektori pisteestä (2,3) pisteeseen (4,6)

Merkitään vektoria kirjaimella a. Pisteiden (2,3) ja (4,6) x-suuntainen siirtymä on 2 ja y-suuntainen siirtymä 3. Tällöin vektori on

Vektori pisteestä (x1,y1) pisteeseen (x2,y2)

Paikkavektori

Paikkavektori on origosta pisteeseen asetettu vektori. Alla pisteden A(-3,2), B(1,4) ja C(4,3) paikkavektorit. Koska paikkavektori lähtee origosta, nähdään komponentit suoraan päätepisteistä. Esimerkiksi pisteeseen (4,3) siirtymä origosta on x-akselia pitkin 4 ja y-akselia pitkin 3.

Paikkavektorit

Esimerkki 4

Pisteestä A(1,3) kuljetaan vektorilla a pisteeseen B. Määritä piste B.

Määritetään pisteen B paikkavektori.

Tällöin saadaan

Piste B on siis (4,6)

Yksikkövektori

Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Eli voimme muodostaa tietyn vektorin suuntaisen yksikkövektorin jakamalla vektori omalla pituudellaan.

Esimerkki 5

Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori.

Lasketaan vektorin pituus

Nyt voimme määrittää yksikkövektorin

Esimerkki 6

Pisteestä (2,4) kuljetaan 2 yksikköä vektorin a suuntaan ja 3 yksikköä vektorin b suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään?

Merkitään piste A(2,4) ja kysytty piste on B. Määritetään pisteen B paikkavektori.

Määritetään vektorien pituudet ja yksikkövektorit

Nyt pisteen B paikkavektori

Eli päädytään pisteeseen (9/5,14/5).

Harjoituksia

1. Määritä vektori pisteestä (2,5) pisteeseen

a) (4,8)

b) (-2,6)

c) (0,-4)

Vihje

2. Määritä vektori pisteestä (-1,-3) pisteeseen

a) (-4,-3)

b) (1,3)

c) (-6,0)

Vihje

3. Laske vektorin

a) a + b

b) a – b

pituus.

Vihje

Muodosta ensin summavektori

4. Laske vektorin

a) 2a + b

b) a – 2b

pituus.

Vihje

Muodosta ensin summavektori

5. Vektorilla a kuljetaan pisteestä A(1,3) pisteeseen B. Määritä piste B.

Vihje

Määritä pisteen B paikkavektori

6. Vektorilla a kuljetaan pisteestä A pisteeseen B(2,8). Määritä piste A.

Vihje

Määritä pisteen A paikkavektori

7. Määritä vektori AB, kun pisteiden A ja B paikkavektorit ovat

Vihje

OB=OA+AB

8. Origosta kuljetaan pisteeseen (5,5) ja sen jälkeen vektorin a suuntaan 4 yksikön verran. Mihin pisteeseen päädytään?

Vihje

Muodosta vektorin a yksikkövektori

9. Pisteestä A(2,-1) kuljetaan pisteen A ja B(-3,5) välisen vektorin suuntaan 10 yksikköä pisteeseen C. Määritä pisteen C paikkavektorin pituus.

Vihje

Muodosta vektorin AB yksikkövektori

10. Vektori a on pisteiden (1,-8) ja (2,3) välisen vektorin suuntainen. Pisteestä (1,1) kuljetaan vektorin a vastakkaiseen suuntaan 5 yksikön verran. Kuinka kaukana tämä piste on origosta?

Vihje

Muodosta vektori pisteiden välille.

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse