Ympyrän leikkauspisteitä

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Suoran ja ympyrän leikkauspisteet

Suoralla ja ympyrällä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään leikkauspistettä.

Kaksi leikkauspistettä

Suora kulkee ympyrän läpi.

Yksi leikkauspiste

Suora sivuaa ympyrää. Tätä kutsutaan ympyrän tangentiksi.

Ei leikkauspisteitä

Suora ohittaa ympyrän täysin.

Esimerkki 1

Määritä alla olevan suoran ja ympyrän leikkauspisteet.

Muokataan suora ratkaistuun muotoon.

Sijoitetaan tämä ympyrän yhtälöön muuttujan y paikalle.

Avataan sulkeet.

Lasketaan samanmuotoiset termit yhteen.

Toisen asteen yhtälön ratkaisut esimerkiksi yhteisen tekijän avulla.

Leikkauspisteiden y-koordinaatit saadaan, kun sijoitetaan x-koordinaatit suoran yhtälöön. Kun x=-4, y=-4+4=0. Kun x=0, y=0+4=4. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (-4,0) ja (0,4).

Kokeile

Kirjoita suoran yhtälö laatikkoon. Voit muuttaa ympyrän kokoa ja paikkaa pisteistä C ja D

Esimerkki 2

Määritä pisteen (0,5) kautta kulkeva tangentti origokeskeiselle ympyrälle, jonka säde on 2.

Suoran yhtälö

Origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 2

Tangentilla ja ympyrällä on vain yksi leikkauspiste. Sijoitetaan suoran yhtälö ympyrän yhtälöön

Koska leikkauspisteitä on vain yksi, tulee tällä toisen asteen yhtälöllä olla vain yksi ratkaisu. Eli diskriminantti on nolla.

Saatiin kaksi arvoa kulmakertoimelle, joten suorat ovat

Origokeskeinen kaksisäteinen ympyrä ja sen tangentit pisteestä (0,5)

Kahden ympyrän leikkauspisteet

Kaksi leikkauspistettä

Yksi leikkauspiste

Ei leikkauspisteitä

Esimerkki 3

Määritetään alla olevien ympyröiden leikkauspisteet

Muodostetaan yhtälöpari ja vähennetään yhtälöt toisistaan.

Saadan suoran yhtälö, joka kulkee ympyröiden leikkauspisteen kautta. Ratkaistaan yhtälöstä x.

Sijoitetaan x ensimmäiseen ympyrän yhtälöön.

Saadaan toisen asteen yhtälö.

Yhtälön ratkaisut ovat y=0 tai y=1

Leikkauspisteen x-koordinaatit saadaan sijoittamalle y suoran yhtälöön.

Kun y=0, x=3∙ 0+1=1

Kun y=1, x=3∙ 1+1=4

Ympyröiden leikkauspisteet (1,0) ja (4,1)

Kokeile

Voit muuttaa ympyröiden kokoa pisteistä A,B,C ja D. Saat näkyviin ympyröiden leikkauspisteet valintaruudusta.

Harjoituksia

1. Origokeskeisen ympyrän säde on 3. Määritä tämän ympyrän ja suoran y = 2x + 1 leikkauspisteet.

Vihje

Muodosta yhtälöpari

2. Ympyrän keskipiste on (-2,5). Mikä pitää olla ympyrän säde, että se leikkaa suoran y = 2x – 5 kahdessa kohdassa?

Vihje

Sijoita suoran yhtälö ympyrän yhtälöön. Kuinka monta ratkaisua tulee saadulla yhtälöllä olla?

3. Ympyrän keskipiste on (9,3). Määritä ympyrän yhtälö, kun se sivuaa alapuolella olevaa ympyrää.

Vihje

Keskipisteiden välinen etäisyys.

4. Ympyrän keskipiste on (1,0) ja säde on 4. Määritä suoran y = -x + b vakiotermi b siten, että suora on ympyrän tangentti.

Vihje

Tee sijoitus. Kuinka monta ratkaisua tulee saadulla yhtälöllä olla?

5. Määritä ympyröiden leikkauspisteet

Vihje

Muodosta yhtälöpari.

6. Määritä ympyröiden leikkauspisteet

Vihje

Muodosta yhtälöpari.

7. Liisa-Petterin talo sijaitsee koordinaatistossa pisteessä (5,7) Koordinaatiston yksikkkö on yksi kilometri. Liisa-Petteri asensi talonsa katolle tutkan, joka näkee joka puolelle 10 km päähän. Talon lähellä kulkee päätie pitkin suoraa 8x –  16y –  8 = 0. Kuinka pitkä osa tietä näkyy tutkassa?

Vihje

Leikkauspisteiden välinen etäisyys.

8. Osoita, että alapuolisella suoralla ja ympyrällä on aina yksi ratkaisu, riippumatta säteen r arvosta.

Vihje

Tee sijoitus ja tutki diskriminanttia.

9. Mitkä ovat suoran y = 2x suuntaisten tangenttien yhtälöt alapuoliselle ympyrälle?

Vihje

Tangentin ovat muotoa y = 2x + b

10. Mikä alapuolisen ympyrän pisteistä on lähinnä origoa?

Vihje

Muodosta suora origon ja keskipisteen kautta.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

a) Määritä kulmakertoimen k kaikki mahdolliset arvot. 

b) Määritä suurempaa kulmakerrointa vastaavan sivuamispisteen koordinaatit.

Syksy 2018

a) k=3/4 tai k=4/3

b) x=21/5, y=28/5

2. Määritä ympyrän x²+y²+4x−2y+1 = 0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen (1,3) kautta.

Syksy 2007

y = 3 ja 12x − 5y + 3 = 0. 

3. Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y =½x ja joka sivuaa x-akselia ja suoraa 4x + 3y − 24 = 0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.

Kevät 2006

x² + y² − 16x − 8y + 64 = 0 ja x² + y² − 6x − 3y + 9 = 0

4. Olkoon x₀² + y₀² = 1. Osoita, että x₀x + y₀y = 1 on ympyrän x² +y² = 1 tangentti. Mitkä ovat sivuamispisteen koordinaatit?

Kevät 2003

Tangentilla ja ympyrällä on vain yksi leikkauspiste. D=0.

Leikkauspiste (x₀,y₀)

5. Laske origosta ympyrälIe x² + y² −  10x + 6y + 30 = 0 piirrettyjen tangenttien välinen kulma 0,10 :n tarkkuudella.

Kevät 1974 (Lyhyt)

40,1 astetta

6. Origokeskisen ympyrän säde on 9. Selvitä, voidaanko pisteestä (-4,8) piirtää ympyrälle tangentti. 

Kevät 1989 (Lyhyt)

Ei voida. Piste on ympyrän sisällä.

Osion perustehtävät