Ristitulo
Toinen vektorien kertolasku on nimeltään ristitulo. Toisin kuin pistetulo, ristitulon tulos on vektori.
Nollasta eroavien vektorien a ja b ristitulo on
Missä n on vektoreita a ja b kohtisuora yksikkövektori ja α näiden vektorien välinen kulma.
Ristitulo antaa siis vektorin, joka on kohtisuorassa molempia vektoreita a ja b vastaan.
Vektorin pituus on
Vektorin suunnan voi muistaa oikean käden säännöllä.
Etusormi on vektori a, keskisormi vektori b ja peukalo muodostaa tällöin ristitulon a × b.
Ristitulo b × a antaisi vektorin, joka on vastakkaiseen suuntaan kuin edellä.
Ristitulon laskeminen
Olkoon vektorit
Ristitulo lasketaan determinantin avulla
Komponentin i kerroin saadaan seuraavasti. Otetaan kertoimet komponenttien j ja k alapuolelta ja lasketaan ristiin
aybz - azby
Komponentin j kerroin saadaan seuraavasti. Otetaan kertoimet komponenttien i ja k alapuolelta ja lasketaan ristiin
axbz - azbx
HUOM! Tällä tavalla laskiessa kertoimen eteen tulee miinusmerkki.
Komponentin k kerroin saadaan seuraavasti. Otetaan kertoimet komponenttien i ja j alapuolelta ja lasketaan ristiin
axby - aybx
Tason normaalivektori
Esimerkki 1
Palataan hieman kappaleen Suora ja taso esimerkkeihin 4 ja 5. Siellä oli taso, jonka suuntavektorit ovat AB ja AC
Tason normaalivektori on sellainen vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan. Ristitulon avulla saamme erään tason normaalivektorin, sillä ristitulon tulovektorihan on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan.
Ristitulon laskeminen laskimella
Ristitulon saa laskettua myös laskimella, kuten GeoGebralla.
Syötetään vektori GeoGebraan ja annetaan komento ristitulo.
Tässä vektori AB = u ja AC = v.
GeoGebra antaa vastaukseksi vektorin w, joka on sama kuin edellä saatiin ristitulon tuloksena.
Ristitulon voi laskea laskimella sovellustehtävissä, eli aina ei tarvitse käyttää determinanttia.
KOKEILE
Voit käännellä tasoa hiirellä. Näet tasaon suuntavektorit AB ja AC sekä tason normaalivektorin (punainen).
Tason normaalimuotoinen yhtälö
Saimme esimerkissä 5 tasolle yhtälön
2x + 8y – z – 10 = 0
Tason normaalimuotoisesta yhtälöstä näemme suoraan erään tason normaalivektorin. Tästä juontaa myös nimi tälle yhtälömuodolle.
Vektori saadaan muuttujien kertoimista.
Merkitään tason normaalivektoria n.
Muodostimme tasolle normaalivektorin kahdella tavalla. Ristitulon avulla sekä normaalimuotoisen yhtälön avulla.
Molemmat vektori ovat normaalivektoreita kyseiselle tasolle ja ovat kohtisuorassa tasoa vastaan. (Nämä kyseiset vektorit ovat toistensa vastavektoreita.)
Esimerkki 2
Suora ja taso -kappaleessa oli vanha YO-tehtävä:
"Osoita, ettei taso, jonka määräävät origosta lähtevien vektoreiden a, b, ja c kärjet, millään x:n arvolla ole vektorin v suuntainen.
Kevät 1983 (Muokattu tehtävänantoa.)"
Ratkaisussa todettiin, että vektori v ei ole tason suuntavektori. Tehtävän voi ratkaista myös osoittamalla, että vektori v ei ole kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan.
Määritetään tason suuntavektorit ja merkitään tason pisteitä kirjaimilla A,B ja C
Muodosteaan tason normaalivektori n
Taso on vektorin v suuntainen, jos tason normaalivektori on kohtisuorassa vektoria v vastaan. Eli pistetulon tulisi olla 0.
Pistetuloksi saatiin kaksi, eli vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Taso ei ole vektorin v suuntainen millään x:n arvoilla.
Ristitulon geometrinen merkitys
Ristitulon itseisarvo kahdelle vektorille on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, joden sivuina nämä vektorit ovat.
Skalaarikolmitulo
Esimerkki 3
Vektorit a,b ja c ovat suuntaissärmiön erisuuntaisina särminä. Määritä kertoimet x, y ja z siten, että särmiö on suorakulmainen, ja laske tämän särmiön tilavuus.
YO pitkä 1978s/5a
(Tämä oli harjoitustehtävänä kappaleessa pistetulo.)
Jotta särmiö on suorakulmainen, tulee särmävektorien olla kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Pistetulojen tulee olla 0.
Saadaan yhtälöryhmä
Yhtälöryhmän ratkaisu on x = -1, y = -7/2 ja z = 1/2, jolloin vektorit ovat
Vektorit ovat särmiön särminä. Lasketaan särmiön tilavuus käyttäen pistetulon ja ristitulon yhdistelmää, jota kutsutaan skalaarikolmituloksi.
b · (a × c)
Skalaarikolmitulon itseisarvo on sellaisen särmiön tilavuus, jonka särminä vektorit ovat.
V = |b · (a × c)|
(Tehtävän voi toki ratkaista myös vektorien pituuksien avulla, kuten harjoitustehtävien ratkaisussa kappaleessa pistetulo, sillä kyseessä on suorakulmainen särmiö.)
Lasketaan ensin ristitulo
Tilavuudeksi saadaan
Harjoituksia
1. Laske vektorien ristitulo determinantin avulla
Vihje
Huomioi j:n kerroin vektorissa b
2. Laske vektorien ristitulo GeoGebran avulla
3. Taso kulkee pisteiden (0,1,2), (2,1,1) ja (3,0,1) kautta. Määritä vektori, joka on tasoa vastaan kohtisuorassa ja jonka pituus on 1.
Vihje
Määritä aluksi tason normaalivektori.
4. Origo sekä pisteet (3,-1,-2) ja (4,-1,0) muodostavat tason. Millä vakion t arvolla vektori s on tason normaalivektori?
Vihje
Muodosta tason normaalivektori ristitulon avulla.
5. Määritä vektori, joka on kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan ja jonka pituus on 1.
YO pitkä 1980k/6a
Vihje
Muodosta tason normaalivektori.
6. Vektorit a ja b määräävät tason. Ratkaise vakio z siten, että vektori n on tason normaalivektori.
Vihje
Muodosta ristitulo
7. Särmiön sivusärminä on samasta pisteestä lähtevät vektorit a, b ja c. Määritä särmiön tilavuus.
Vihje
Skalaarikolmitulo
8. Pisteet (2,3,a), (-1,1,b) ja (c, -2,-2) määräävät tason. Tutki GeoGebran avulla millä vakioiden a, b ja c kokonaislukuarvoilla tason eräs normaalivektori on vektori n.
Vihje
Syötä pisteet GeoGebraan, jolloin vakioista tulee liukusäätimet. Luo suuntavektorit ja laske ristitulo. Ratkaisu alla olevalla videolla.
