Kolmio

Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Kolmion ominaisuuksia

Kolmiossa on kolme kulmaa ja kolme sivua. Kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Tasakylkinen kolmio on kolmio, jossa kyljet ovat yhtä pitkät. Tällöin myös kantakulmat ovat yhtä suuret. Yläpuolisista kolmioista ensimmäinen on tasakylkinen kolmio. Sen kyljet ovat 8 ja kantakulmat ovat 67 astetta. Kulmaa α kutsutaan huippukulmaksi ja sen suuruus on 

Toinen kolmio yläpuolella on tasasivuinen kolmio, jossa jokainen sivu on yhtä pitkä. Tällöin myös jokainen kulma on yhtäsuuri, eli kulmat ovat 60 astetta tasasivuisessa kolmiossa.

Kolmion korkeus

Kolmion korkeus on aina kohtisuora etäisyys kärkipisteestä sen vastakkaiseen sivuun. Korkeutta merkitään yleensä kirjaimella h

Kokeile

Kolmion korkeusjanat leikkaavat samassa pisteessä. Voit muuttaa kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä.

Kulmanpuolittajat

Kulmanpuolittaja jakaa kulman kahdeksi yhtäsuureksi kulmaksi.

Kulmanpuolittajasuorat jakavat kulman vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Voit muutta kolmion kokoa ja muotoa vetämällä kolmion kärjistä.

Kulmanpuolittajien leikkauspiste on kolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste.

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa yhden kulman suuruus on 90 astetta.

Pisintä sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja lyhempiä sivuja kateeteiksi. Eli yläpuolisessa kuviossa kateetit a ja b sekä hypotenuusa c. 

Trigonometriset funktiot

Suorakulmaisen kolmion kulmilla ja sivuilla on yhteys.  Kulman sini on kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan, kosini on kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan ja tangentti on kulman vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin.

Esimerkki 1

alapuolisessa kolmiossa on kateettien pituudet 3 ja 4 sekä hypotenuusa 5

Jokaisella trigonometrisella funktiolla on käänteisfunktio.  Niitä kutsutaan arkusfunktioiksi - arkussini, arkuskosini ja arkustangentti. Kulman määrittämisessä tarvitsemme näitä arkusfunktioita. Laskimissa ne on merkittynä yleensä potenssilla -1. 

Lasketaan edellisen kolmion kulman 𝞪 suuruus.

Samaan tulokseen päädyttäisi myös käyttäen kosinia tai tangenttia.

Kokeile

Voit muuttaa kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä. Saat sinin, kosinin ja tangentin näkymään molempien terävien kulmien suhteen klikkaamalla painiketta.

Esimerkki 2

Laske sivun x pituus

Hypotenuusa tunnetaan ja kulman vastaista kateettia kysytään. Käytetään siniä.

Esimerkki 3

Laske sivun x pituus

Viereinen kateetti tunnetaan ja vastaista haetaan. Käytetään tangenttia.

Harjoituksia

Vihje

Voit ratkaista yhden kulman tangentin avulla. Muut saat kolmion kulmien summalla.

2. Suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 32 astetta. Hypotenuusan pituus on 12. Ratkaise kateettien pituudet.

Vihje

Piirrä mallikuva ja merkitse kulma sekä hypotenuusan pituus. 

3. Tasakylkisen kolmion huippukulman suuruus on 78 astetta. Laske kantakulmien suuruus.

Vihje

Kuinka suuria kantakulmat ovat suhteessa toisiinsa?

4. Tasakylkisen kolmion huippukulman suuruus on kaksinkertainen kantakulmaan nähden. Laske kolmion kulmien suuruudet.

Vihje

Merkitse kantakulmaa α ja käytä kolmion kulmien summaa.

5. Tasakylkisen kolmion kantakulma on 42 astetta ja kannan pituus on 14. Mikä on kolmion korkeus?

Vihje

Piirrä mallikuva. Mihin muodostuu suorakulmainen kolmio?

6.  Lipputangon varjo oli kahdeksan metriä pitkä, kun aurinko paistoi 42 asteen korkeudella. Laske lipputangon korkeus.

Vihje

42 asteen kulma muodostuu maanpinnan ja auringon säteiden välille.

7. Parvekekaiteen korkeus on 1,2 metriä. Parvekkeen syvyys on 2,4 metriä. Millä kulmalla auringon paistaessa parvekekaide varjostaa koko parvekkeen lattian?

Vihje

Piirrä mallikuva sivusta. Hahmottele suorakulmainen kolmio.

8. Liisa-Petterillä oli vain viiden metrin mitta ja kulmamitta. Hän halusi mitata puun etäisyyden pihatieltään. Hän merkkasi paikan pihatieltä, joka oli kohtisuoraan puun kohdalla. Sitten hän siirtyi viisi metriä tietä pitkin ja mittasi puun olevan 26,5 asteen kulmassa tiehen nähden. Kuinka kaukana puu oli tiestä?

Vihje

Hahmottele kuva ylhäältä päin.

9. Television koko on 85 tuumaa ja suhde 16:9. Laske television leveys ja korkeus senttimetrein. yksi tuuma on 2,54 cm.

Vihje

Leveyden suhde korkeuteen on 16:9. Tuumakoko on lävistäjä, josta muodostuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.

10. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a ja a+2. Eräs kolmion kulmista on 36,9 astetta. Ratkaise a.

Vihje

Muodosta yhtälö, jossa a on tuntematon, tangentin avulla. 

11. Liisa-Petteri tarkkailee lentokoneita kahden kerrostalon välissä.Hän seisoo tarkalleen talojen puolessa välissä. Kerrostalojen korkeudet ovat 20 metriä ja niiden välimatka on 12 metriä. Kuinka pitkän matkan lentokone kulkee, kun se on Liisa-Petterin näkökentässä? Lentokoneen korkeus on 10 km suoraan Liisa-Petterin kohdalla.

Vihje

Ratkaise ensin kulma, jossa lentokone näkyy.

Vanhoja YO-tehtäviä Pitkä matematiikka

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 30 astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin.

Kevät 2018

Suhde on 1:2

2. Viisi kilometriä pitkän rantaa pitkin kulkevan suoran tieosuuden alkupisteessä kulkija näkee majakan etuviistossa 65 asteen kulmassa tiehen nähden. Tieosuuden loppupisteessä hän näkee saman majakan takaviistossa 54 asteen kulmassa tiehen nähden. Kuinka etäällä majakka on tiestä? Mikä tien piste on lähinnä majakkaa?

Syksy 2007

Majakan etäisyys noin 4,2 km, lähin piste 1,95 km tien alusta.

3. Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: AD = BC = a. Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella.

Kevät 2005

52 astetta ja 38 astetta

4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa hypotenuusan suhteessa 3 : 7. Määritä kateettien pituuksien suhde.

Kevät 2004

√3:√7 

5. Tasaisella maanpinnalla sijaitsevan tornin huippu näkyy eräästä paikasta katsottuna 3,5 asteen kulmassa vaakasuoraan tasoon nähden. Tasan puoli kilometriä kauempaa katsottuna kulma on 2,5 astetta. Mikä on tornin korkeus, ja mitkä ovat katseluetäisyydet?

Syksy 2000

Tornin korkeus on 76,3 m ja etäisyydet 1250 m ja 1750 m.

6. Tasakylkisen kolmion piiri on 15 cm. Sen kyljet ovat 1,5 cm pitemmät kuin kanta. Laske kolmion ala.

Kevät 2000

Noin 10,2 cm²

7. Tasamaalla kasvavan pystysuoran puun varjon pituus on 37 metriä, kun aurinko näkyy 28 asteen kulmassa horisontin yläpuolella. Mikä on puun pituus?

Syksy 1999

Noin 20 m

Vanhoja YO-tehtäviä Lyhyt matematiikka

Kevät 2012

36 metriä

2. Itä-Iänsisuuntaisen kadun leveys on 15 m. Sen molemmin puolin on 18 m korkeat talot. Etelästä paistavan auringon säteet muodostavat 40° kulman vaakatason suhteen. Osuvatko auringonsäteet kadun pohjoispuolella olevaan ikkunaan, jonka yläreuna on 4,0 m korkeudella kadun pinnasta?

Syksy 91 

Eivät osu. Osuvat noin 5,4 metrin korkeudelle.

3. Tasakylkisen kolmion kylki on 90 m ja kanta 40 m. Laske huippukulma asteen tarkkuudella.

Syksy 2013 3a 

26 astetta

4. Purjehdittaessa näkyi majakka suoraan veneen edessä 2°:n kulmassa veden pintaan nähden. Kun oli edetty majakkaa kohti 250 m, se näkyi 3°:n kulmassa. Kuinka kaukana vene oli nyt majakasta, ja mikä oli majakan korkeus?

Syksy 98 

Etäisyys 500 m (499 m) Korkeus 26 m

5. Kaksi autoilijaa ajaa peräkkäin vaakasuoraa tietä. Toinen näkee 5,0 m silmänkorkeutta ylempänä olevat ryhmittymismerkit noin 15 asteen kulmassa ja toinen noin 35 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Kuinka kaukana autoilijat ovat toisistaan?

Syksy 2009 

11,5 metriä

6. Kolmion muotoisen viheralueen kaksi lyhintä sivua ovat 70,0 m ja 86,5 m. Jälkimmäisen vastainen kulma on 35,0 astetta . Laske viheralueen muiden kulmien suuruudet ja alueen pinta-ala. Piirrä kuvio.

Syksy 2003 

Kulmat ovat 27,7 astetta ja 117,3 astetta sekä ala 2689 m² 

Tehtävien ratkaisut alapuolisella videolla.

Osion perustehtävät