Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Tason koordinaatisto

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Tason koordinaatisto muodostuu (x,y) -pistepareista. Koordinaatistossa x-akseli on vaakasuora ja y-akseli on pystysuora. Akselien leikkauskohtaa, eli pistettä (0.0) kutsutaan origoksi. Koordinaatisto on tuttu jo edelliseltä kurssilta.

Kahden pisteen välinen etäisyys, eli pisteiden välisen janan pituus.

Esimerkki 1

Määritetään pisteiden (2,3) ja (5,7) välinen etäisyys.

Koordinaatistossa voimme muodostaa pisteiden kautta suorakulmaisen kolmion. Kolmion hypotenuusan pituus on pisteiden välinen etäisyys. Kuvassa hypotenuusaa on merkitty kirjaimella h.

Voimme siis ratkaista pisteiden välisen etäisyyden käyttäen pythagoraan lausetta. Koska kyseessä on pituus, vain positiivinen ratkaisu kelpaa. Pisteiden välinen etäisyys on 5.

Taulukoista löytyvä pisteiden välinen etäisyys -kaava tulee pythagoraan lauseesta.

Pisteiden (x₁,y₁) ja (x₂,y₂) välinen etäisyys (janan pituus)

Esimerkki 2

Määritetään janan keskipiste, kun janan päätepisteet ovat (0,2) ja (6,6)

Janan keskipiste löytyy puolivälistä vaakasuoraa sekä pystysuoraa muutosta. x-koordinaattien erotus on 6, joten keskipisteen vaakasuora etäisyys alkupisteestä on 3. y-koordinaattien erotus on 4, joten pystysuora etäisyys alkupisteestä on 2. Keskipiste on siis (3,4). Janan keskipiste on päätepisteiden keskiarvo.

Yleisesti janan keskipiste saadaan, kun tunnetaan päätepisteet (x₁,y₁) ja (x₂,y₂)

Kokeile

Voit muuttaa janan pituutta ja paikkaa vetämällä päätypisteistä A ja B. Saat näkyviin janan keskipisteen ja pituuden valintaruuduista.

Esimerkki 3

Määritä se piste y-akselilta, jonka etäisyys pisteestä (3,3) on 5.

Ratkaisu

Nyt meillä on kaksi mahdollista pistettä y-akselilla, joiden etäisyys pisteestä (3,3) on viisi. Merkitään tätä pistettä (0,y)

Tällöin etäisyys

Ratkaistaan y

Pisteet ovat siis (0,-1) ja (0,7)

Harjoituksia

26. Laske origon etäisyys pisteistä (3,-4) ja (-3,4).

Vihje

Pisteiden välinen etäisyys.

27. Määritä luku a, siten että pisteen (a,3) etäisyys origosta on 5.

Vihje

Muodosta yhtälö pisteiden välisestä etäisyydestä.

28. Määritä janan, jonka päätepisteet ovat (2,4) ja (5,6), keskipisteen etäisyys janan, jonka päätepisteet ovat (-2,-2) ja (0,3) keskipisteestä.

Vihje

Laske keskipisteet ensin.

29. Janan keskipiste on (-3,5) ja toinen päätepiste on (1,2). Mikä on janan toinen päätepiste?

Vihje

Merkitse toista päätepistettä (x,y) ja muodosta kaksi yhtälöä.

30. Kolmion kärjet ovat pisteissä (-9,5), (-5,7) ja (-3,3). Osoita, että kolmio on suorakulmainen.

Vihje

Pythagoraan lause.

31. Määritä luku a siten, että pisteiden (a,3) ja (2a,5) etäisyys on 10.

Vihje

Pisteiden välinen etäisyys. Vain a on tuntematon.

32. Piste sijaitsee x-akselilla siinä kohdassa, missä etäisyys y-akselin kohdasta 3 on 5. Mikä tämä piste on?

Vihje

x-akselin piste on (x,0)

33. Minkälaisen käyrän muodostavat ne pisteet, joiden etäisyys pisteestä (1,1) on 3? Piirrä käyrä GeoGebralla.

Vihje

Merkitse pistettä (x,y) ja muodosta pisteiden välinen etäisyys.

34. Etsi se y-akselilla oleva piste, jonka etäisyys pisteestä (3,5) on yhtäsuuri kuin pisteestä (-2,1)

Vihje

Y-akselin piste on (0,y)

35. Etsi se x-akselilla oleva piste, jonka etäisyys pisteestä (11,4) on puolet pisteen (20,8) etäisyydestä.

Vihje

Toinen pituus on kaksinkertainen toiseen nähden.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

36. Näytä, että kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (1, √3) ja (2, 0), on tasasivuinen. Piirrä kuvio.

Kevät 1996

Jokaisen janan pituus kärkipisteiden välillä on 2

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse