Murtoluvut

Murtoluvut, eli rationaaliluvut, ovat lukuja, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Ylhäällä olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja alapuolella olevaa nimittäjäksi.

Murtolukujen ja desimaalilukijen välillä on yhteys.

Esimerkiksi yksi kahdesosaa, ½ , tarkoittaa puolikasta. Desimaalilukuna tämä olisi 0,5

Murtoluku kolme viidesosaa, ⅗, olisi desimaalilukuna 0,6

Molemmilla esimerkeillä on "täsmällinen" vastine, joka on päättyvä desimaaliluku. Aina murtoluvun desimaaliksi muuttaminen ei anna täsmällistä vastausta vaan tulos voi olla päättymätön desimaaliluku.

Esimerkiksi murtoluku yksi kuudesosaa, ⅙, olisi desimaalilukuna 0,1666666..., jossa kutosten määrä jatkuu äärettömyyksiin.

Tämä on päättymätön desimaaliluku. Koska numero kuusi toistuu luvussa, on tämä jaksollinen desimaaliluku.

Esimerkki 1

Ilmoita luku 0,125 murtolukuna.

Ratkaisu

Merkitään luku murtolukumuotoon ja lavennetaan niin, että osoittajaan tulee kokonaisluku.

Laventaminen tarkoittaa, että kerromme sekä osoittajan että nimittäjän samalla luvulla. Laventaminen merkitään murtoluvun vasemmalle puolelle. Tällöin luku ei käytännössä muutu, sillä esimerkiksi

Kaikki edellä olevat murtoluvut ovat samansuuruisia, eli puolikkaita.

Tämä toimii myös toiseen suuntaan, eli jos on olemassa jokin luku, jolla sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia, voidaan murtoluku supistaa. Supistaminen merkitään murtoluvun oikealle puolelle. Edellisessä esimerkissä osoittaja ja nimittäjä jaettiin luvulla 125, jolloin päästiin lopulliseen vastaukseen yksi kahdeksasosa.

Esimerkki 2

Esitä päättymätön jaksollinen desimaaliluku 0,363636.... murtolukuna.

Ratkaisu

Merkitään a = 0,363636....

Tällöin 100 · a = 36,3636....

Vähennetään yhtälöt puolittain, jolloin saadaan

Katso esimerkin ratkaisu selityksineen

Desimaaliluku 0,363636.... murtolukuna on neljä yhdestoistaosaa (4/11).

Harjoituksia

1. Esitä desimaaliluku 0,23 murtolukuna.

Vihje

Katso esimerkki 1

Vastaus

23/100

2. Esitä desimaaliluku 0,648 murtolukuna.

Vihje

Katso esimerkki 1. Muista supistaminen.

Vastaus

81/125

3. Esitä päättymätön jaksollinen desimaaliluku 0,612612... murtolukuna.

Vihje

Katso esimerkki 2.

Vastaus

68/111

4. Kumpi luvuista 2/9 ja 21/99 on suurempi?

Vihje

Tarkastele lukuja desimaalimuodossa.

Vastaus

2/9 = 0,2222...

21/99 = 0,212121....

Tästä nähdään, että 2/9 on suurempi.

HUOM! Yleensä tälläinen tehtävä tulisi ratkaista esimerkiksi murtolukujen laskutoimituksella. Katso tehtävä 5.

Murtolukujen laskutoimitukset

Murtolukuja voidaan laskea yhteen, mikäli ne ovat samannimiset, eli nimittäjänä on sama luku. Tämä saavutetaan laventamalla. Laventaminen tarkoittaa, että kerromme sekä osoittajan että nimittäjän. Laventaminen merkitään murtoluvun vasemmalle puolelle.

Kertolaskussa kerrotaan sekä osoittaja että nimittäjä keskenään

Käänteisluvuksi kutsutaan lukua, jossa osoittaja ja nimittäjä on vaihdettu toisin päin.

Jakolaskussa ensimmäinen murtoluku kerrotaan jälkimmäisen käänteisluvulla. Jos meillä on luku 2/5 ja jaamme sen luvulla 2, siitä jää jäljelle vain 1/5 . Jos kerromme saman luvun puolikkaalla, eli luvulla 1/2 , toisin sanoen otamme siitä puolet, jää jäljelle myös 1/5 . Kahdella jakaminen on sama kuin puolikkaalla kertominen. Luvun 2 käänteisluku on 1/2 . Myös puolikkaalla jakaminen on sama kuin kahdella kertominen.

Kokonaisluvulla kertoessa kerrotaan aina vain osoittaja. Jos meillä on luku 2/5 ja kerromme sen luvulla 2, saadaan 4/5 . Aluksi meillä on kaksi kappaletta viidesosia ja "otamme" niitä kaksi kertaa, tulos on neljä kappaletta viidesosia.