Vektori
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Vektorilla on suunta ja pituus. Fysiikassa vektoreilla kuvataan suureita, joilla on tietty suunta ja suuruus, kuten voimia. Vektori esitetään nuolena. Vektorilla ei ole alkupaikkaa, eli saman suuntaiset ja yhtäpitkät vektorit ovat sama vektori.
Vektori nimetään yleensä jollakin kirjaimella ja kirjaimen päälle piirretään viiva merkitsemään, että kyseessä on vektori. Kuvassa on vektori a. Joskus kirjaimen päällä voidaan käyttää myös nuolta viivan sijaan. Vektorin pituutta merkitään itseisarvolla. Yksikkövektorilla tarkoitetaan vektoria, jonka pituus on 1.
Merkintöjä
Vektori voidaan nimetä myös alku- ja loppupisteen avulla. Vieressä on vektori, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B. Luetaan vektori A:sta B:hen tai vektori AB.
Esimerkki 1
Mikäli vektorit ovat samansuuntaiset ja yhtäpitkä, kyseessä on sama vektori. Kuvassa on vektorit a ja b, joiden molempien pituus on 3. Vektorit ovat yhdensuuntaiset, joten kyseessä on sama vektori.
Vektorin kertominen luvulla
Esimerkki 2
Vektori kaksi kertaa peräkkäin muodostaa vektorin, jonka pituus on kaksinkertainen alkuperäiseen nähden ja samansuuntainen. Kuvassa vektorin a, jonka pituus on 3, jälkeen asetetaan uudestaan vektori a. Saadaan vektori 2a, jonka pituus on 6.
Vektorin kertominen positiivisella luvulla muuttaa vain sen pituutta, ei suuntaa. Negatiivisella luvulla kerrottaessa vektorin suunta muuttuu vastakkaiseksi.
Vektorien summa
Vektorien yhteenlaskussa vektorit asetetaan peräkkäin. Summavektori on vektori ensimmäisen vektorin alkupisteestä viimeisen vektorin loppupisteeseen.
Esimerkki 3
Vektorin a pituus on 5 ja vektorin b pituus on 2. Vektorit ovat samansuuntaisia.
Laske vektorin a + b ja a – b pituus.
Ratkaisu
Koska vektorit ovat samansuuntaisia summavektorien pituudet ovat
|a + b| = |a| + |b| = 5 + 2 = 7
ja
|a – b| = |a| - |b| = 5 – 2 = 3
Esimerkki 4
Määritä vektorin a + b pituus.
Summavektori a + b muodostuu, kun asetetaan vektorit peräkkäin. Eli siirretään vektori b alkamaan vektorin a lopusta.
Tällöin vektoreista muodostuu kolmio. Summavektorin vastainen kulma on 124 astetta.
Voimme ratkaista summavektorin pituuden kosinilauseella
Merkitään suorakulmaisen särmiön sivusärmiä vektoreilla a, b ja c. Voimme sanoa särmiön lävistäjävektorin ja pohjan lävistäjävektorin särmävektorien avulla.
Tässä moduulissa emme muutoin käsittele kolmiulotteisia vektoreita. Vektorit avaruudessa tulevan moduulissa MAA10.
Harjoituksia
1. Mitkä alapuolelle olevista vektoreista ovat
a) sama vektori?
b) vastakkaissuuntaiset?
c) samansuuntaiset?
d) yhdensuuntaiset?
Vihje
Voit käyttää apunasi ruudukkoa.
2. Vektorin a pituus on 12. Määritä seuraavien vektorien pituudet
Vihje
Mitä tapahtuu vektorille, kun se kerrotaan luvulla?
3. Vektorit a ja b ovat samansuuntaiset. Vektorin a pituus on 2 ja vektorin b pituus on 3. Määritä vektorin
a) a + b
b) a – b
c) 2a + 2b
pituus.
Vihje
Piirrä vektorit.
4. Vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Vektorin a pituus on 3 ja vektorin b pituus on 4. Määritä vektorin
a) a + b
b) a – b
c) 2a + 2b
pituus.
Vihje
Piirrä vektorit.
5. Määritä vektorin a + b pituus
Vihje
Piirrä vektorit peräkkäin sekä näiden summavektori.
6. Liisa-Petteri lähti uimaan joen yli kohtisuorasti. Virtaamattomassa vedessä Liisa-Petterin uintinopeus on 1,0 m/s. Joki virtaa 0,8 m/s. Laske Liisa-Petterin nopeusvektorin suuruus.
Vihje
Piirrä nopeusvektorit ja näiden summavektori.
7. Määritä jokaisessa tapauksessa vektorin a + b + c pituus.
Vihje
Aseta vektorit peräkkäin ja hahmottele summavektori. Pituuden saat ruutujen avulla.
8. Liisa-Petteri lentää lentokoneella tyynellä säällä nopeudella 900 km/h suoraan kohti etelää. Hetken lennettyään alkaa tuulla idästä nopeudella 25 m/s. Mihin suuntaan lentokone lentää, jos ohjausta ei muuteta? Mikä on lentokoneen nopeus maanpintaan nähden?
Vihje
Muodosta kolmio vektoreista.
9. Liisa-Petteri haluaa lentää suoraan kohti pohjoista. Tuulen nopeus on 20 m/s itää kohti. Mihin suuntaan koneen nokka on suunnattava, jotta kone kulkisi suoraan kohti pohjoista? Mikä tulisi olla lentokoneen nopeus, jotta se kulkisi 900 km/h maanpintaan nähden?
Vihje
Muodosta kolmio vektoreista.
10. Yksikkövektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Määritä vektorin c pituus, kun
Vihje
Piirrä vektorit. Summasta tulee nollavektori, eli se päättyy samaan pisteeseen, mistä se alkaa.
YO kevät 1983