Itseisarvoepäyhtälö

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Esimerkki 1

Mitkä luvut sopivat x:n paikalle?

|x| < 3

Ratkaisu

Merkintä |x| < 3 tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys nollasta on pienempi kuin kolme. Ratkaisuna on väli -3 < x < 3

Esimerkki 2

Mitkä luvut sopivat x:n paikalle?

|x| > 3

Ratkaisu

Merkintä |x| > 3 tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys nollasta on suurempi kuin kolme. Ratkaisuna x < -3 tai x > 3

Lukusuoralle ratkaisua piirrettäessä pitää huomioida onko päätepiste, eli yhtäsuuruus, mukana, Mikäli yhtäsuuruus ei ole mukana, kuten ylläolevissa esimerkeissä, on päätepisteenä avoin pallo. Yhtäsuuruuden ollessa mukana merkitään päätepistettä kokonaan väritetyllä pallolla.

Ylläoleva epäyhtälö esitettynä lukusuoralla.

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö

|x – 3| < 2

Ratkaisu

Itseisarvojen sisällä on kaksi lukua, x ja 3. Ylläoleva merkintä tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys luvusta kolme on pienempi kuin kaksi. Alla ratkaisu merkittynä lukusuoralle, josta nähdään, että 1 < x < 5

Yhtälö voidaan ratkaista myös analyyttisesti. Merkinnässä |x – 3| < 2 itseisarvojen sisällä olevan laskutoimituksen on oltava suurempi kuin -2 ja pienempi kuin 2.

-2 < x – 3 < 2 || +3

-2 + 3 < x – 3 + 3 < 2 + 3

1 < x < 5

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö

|2x + 3| > 1

Ratkaisu

Itseisarvojen sisällä olevan laskutoimituksen on oltava suurempi kuin yksi tai pienempi kuin miinus yksi

2x + 3 > 1 tai 2x + 3 < -1

Kahdesta epäyhtälöstä saadaan x > -1 tai x < -2

Tässä tapauksessa epäyhtälöitä ei voida kirjoittaa yhteen, sillä epäyhtälöiden pitää pysyä totena alusta loppuun, kuten esimerkissä 3.

Kokeile

Saat uuden epäyhtälön näkyviin painikkeesta Uusi kysymys. Näytä ratkaisu painike näyttää analyyttisen ratkaisun sekä ratkaisun lukusuoralla.

Esimerkki 5

Ratkaise epäyhtälö

Epäyhtälö voidaan myös ratkaista korottamalla se puolittain toiseen. Sillä positiivisten lukujen suuruusjärjestys säilyy.

Jos a ja b ovat positiivisia, niin silloin

Korotetaan toiseen

Ratkaistaan vastaava yhtälö

Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten negatiivinen se on nollakohtien välissä. Tästä saadaan vastaus epäyhtälölle.

Harjoituksia

1. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Millä välillä itseisarvon sisällä olevan lausekkeen tulee olla?

2. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Voiko itseisarvo olla pienempää kuin nolla?

3. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Siirrä ensin kaikki termit epäyhtälön vasemmalle puolelle.

4. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Itseisarvot vasemmalle ja vastaava yhtälö.

5. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Käytä määritelmää suoraan epäyhtälöön.

6. Ratkaise epäyhtälö

Vihje

Vastaavan yhätlön kautta. Korota ensin toiseen, sievennä ja käytä sitten itseisarvon määritelmää. Muista, että itseisarvon tulos on aina positiivinen.