Funktio
Mikä on funktio? Matemaattisesti funktio kuvaa suureen riippuvuutta toisesta suureesta. Toisaalta funktio on sääntö, joka antaa meille arvon tietyllä muuttujan arvolla. Voidaan ajatella, että jos syötämme funktioon jonkun luvun antaa funktio meille ulos toisen luvun. Funktio muuttaa lukuamme tietyn säännön mukaan.
Esimerkki 1
Mikä on funktio, eli mikä on sääntö, jolla lukumme muuttuu alla olevissa taulukoissa?
Huomataan, että luku näyttäisi kaksinkertaistuvan, eli viimeiseen kohtaan tulisi 2x. Funktiomme siis kaksinkertaistaa syöttämämme luvun.
Funktio näyttäisi kertovan luvun kahdella ja lisäävän tuloon yhden. Eli 2x + 1.
Funktiota merkitään yleensä jollakin kirjaimella. Esimerkiksi kirjaimella f. Merkintä f(x) tarkoittaa, että kyseessä on funktio f, jonka muuttuja on x. Yleisimmin käytetyt kirjaimet funktioille ovat f, g ja h. Ei ole kuitenkaan mitään väliä millä kirjaimella funktiota merkitsemme. Voimme merkitä vaikka n(x), tällöin kyseessä on funktio n ja sen muuttuja on x. Kirjain, jolla funktion esitämme on kyseisen funktion nimi.
Esimerkki 2
Laske funktion f(x) = 2x + 2 arvo muuttujan x arvoilla 2, 3 ja -5.
Lasketaan siis f(2), f(3) ja f(-5).
f(2) = 2 · 2 + 2 = 6
f(3) = 2 · 3 + 2 = 8
f(-5) = 2 · (– 5) + 2 = – 10 + 2 = –8
Millä muuttujan arvolla funktion f(x) = 2x + 2 arvoksi tulee 0?
Eli milloin f(x) = 0.
f(x) = 0
2x + 2 = 0 ||−2
2x = −2 || : 2
x = −1
Kun x = −1 saa funktio arvon 0. Tämä on funktion nollakohta.
Millä muuttujan arvolla funktion f(x) = 2x + 2 arvoksi tulee 4?
f(x) = 4
2x + 2 = 4 ||−2
2x = 2 || : 2
x = 1
Kun x = 1 saa funktio arvon 4.
Esimerkki 3
Laske funktion f(x) arvo muuttujan x arvoilla -2, 0 ja 2. Millä muuttujan x arvoilla funktio saa arvon 16?
Ratkaisu
Lasketaan aluksi f(-2), f(0) ja f(2)
Merkitään funktion arvo 16 ja ratkaistaan saatu yhtälö
Esimerkki 4
Autovuokraamo A perii kiinteää perusmaksua 150 mk/vrk ja lisäksi kilometrimaksua 1,80 mk/km. Autovuokraamo B perii ainoastaan kilometrimaksua, joka on 2,50 mk/km. Kummasta on edullisempaa vuokrata auto yhdeksi vuorokaudeksi, jos arvioitu ajomatka on 400 km?
YO lyhyt 1990s/1
Ratkaisu
Muodostetaan funktiot kuvaamaan vuorokauden vuokramaksua. Merkitään kilometrimäärää x
A(x) = 150 + 1,80x
B(x) = 2,50x
Lasketaan funktioiden arvot muuttujan x arvolla 400.
A(400) = 150 + 1,80 · 400 = 870
B(400) = 2,50 · 400 = 1000
400 km ajomatkalla vuokraamo A tulee edullisemmaksi.
Esimerkki 5
Kumpi funktioista f ja g saa arvon 6?
Ratkaisu
Merkitään funktioden arvoksi 6 ja ratkaistaan yhtälöt
Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Toisella yhtälöllä on ratkaisu x = 3, joten funktio g saa arvon 6, g(3) = 6.
Harjoituksia
1. Ratkaise f(2) + f(3)
Vihje
Sijoita luvut ja laske funktio arvot.
2. Ratkaise f(x) = 4
Vihje
Muodosta yhtälö
3. Osoita, että f(2) + f(3) ≠ f(5)
Vihje
≠ -merkki tarkoittaa erisuurta. Hae funktion arvot kohdissa 2, 3 ja 5. Ja osoita, että f(2) + f(3) ei ole yhtä suuri kuin f(5)
4. Ratkaise f(x) = g(x)
Vihje
Muodosta yhtälö merkitsemällä funktiot yhtäsuuriksi.
5. Taksiyrityksellä A on lähtömaksu 3,50 € ja 0,80 € kilometriveloitus. Taksiyrityksellä B on lähtömaksu 2,00 € ja kilometrimaksu 0,85 €. Kuinka pitkä matka tulee yrityksillä samanhintaisiksi?
Vihje
Merkitse kilometrimäärää muuttujalla x ja muodosta funktiot matkan hinnalle. Milloin nämä funktiot ovat yhtä suuret?
Funktio tallentaminen laskimeen
Funktio voidaan tallentaa laskimeen, jolloin sen arvoja on helppo hakea laskimen avulla. Esimerkiksi SpeedCrunch laskimeen voi talletaa funktion muistiin kirjoittamalle sen syöttökenttään.
SpeedCrunch laskin on ilmainen laskin, joka on käytössä myös YO-koe järjestelmässä. https://speedcrunch.org/
Alla laskimeen talletetaan funktio g(x)=3x − 2
Funktio tallentuu laskimen muistiin ja voimme laskea esimerkiksi g(4)
Laskimen muistissa on funktiot f(x) = 2x + 3 ja g(x) = 3x − 2. Lasketaan g(4) + f(-3)
Myös GeoGebraan saa tallennettua funktion, jolloin voidaan laskea esimerkiksi funktion nollakohta tai muuttujan arvoja.
Vieressä on GeoGebraan syötetty funktio f(x) = 2x² – 18
Komennolla Nollakohta(f) saadaan funktion nollakohdat, jotka ovat x = -3 ja x = 3. Näissä kohdissa funktion kuvaaja leikkaa x-akselin.
Komennolla Ratkaise(f=14) on ratkaistu millä muuttujan arvolla funktio saa arvon 14, eli yhtälö f(x) = 14.
Esimerkki 6
Alapuolella on erään funktion kuvaaja. Määritetään kuvaajasta funktion arvo x:n arvolla 2.
Mennään koordinaatistossa kohtaan, jossa x=2. Katsotaan missä funktion kuvaaja on tässä kohdassa ja luetaan funktion arvo y-akselilta. Funktion arvo on 2, eli f(2)=2
Funktion arvot ovat yksikäsitteisiä
Funktio voi saada vain yhden arvon tietyllä muuttujan arvolla. Alapuolella oleva kuvaaja ei ole minkään funktion kuvaaja sillä esimerkiksi kohdassa x = 0, kuvaaja kulkee pisteiden (0,2) ja (0,-2) kautta.
Toisin sanoen funktiolla olisi kohdassa x = 0 kaksi arvoa.
Harjoitus
Alla on funktioiden f(x) (punainen) ja g(x) (oranssi) kuvaajat. Molemmissa kuvaajissa on funktion erääseen pisteeseen merkitty pallot. Pääset liikuttamaan näitä palloja funktion kuvaajilla. Vihreä nuoli osoittaa aina funktion arvoa y-akselilla ja sininen muuttujan arvoa x-akselilla.
Tutki kuvaajia ja etsi vastaukset seuraaviin kysymyksiin.
f(2) ja g(5)
f(x) = g(x)
Molempien funktioiden nollakohdat.
Milloin funktion g(x) arvot ovat positiivisia? Entä funktion f(x)?
Kuvaajalta luetut arvot ovat aina likiarvoja.
Harjoituksia
6. Alla on funktion f kuvaaja. Mitkä ovat funktion nollakohdat?
Vihje
Missä kohtaa kuvaaja leikkaa x-akselin?
Vastaus
x =-1
7. Alla on erään funktion kuvaaja. Millä muuttujan x arvoilla funktio saa positiivisa arvoja?
Vihje
Funktion arvot ovat positiivisia, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Vastaus
0,25<x<1 ja x>1,65
8. Alla on funktioiden f ja g kuvaajat. Millä muuttujan x arvoilla funktiot saavat yhtä suuren arvon? Mikä tämä arvo on?
Vihje
Tässä kohtaa funktioiden kuvaajat leikkaavat toisensa.
Vastaus
Kun x =3 molemmat saavat arvno 1
9. Funktiosta tiedetään, että sen nollakohta on x =2 ja f(3) = 3. Alapuolella on funktioiden f ja g kuvaajat.
a) Kumpi funktio on f?
b) Ratkaise f(x) = g(x)
c) Määritä f(x) = 0 ja g(x) = 0
Vihje
a) Kumpi funktio täyttää ehdon f(3) = 3?
b) Missä kohdissa funktiot leikkaavat?
c) Nollakohdat.
Vastaus
a) Punainen
b) x = 1 ja x =2
c) Funktion f nollakohdat x = 0 ja x = 2, funktion g nollakohta x = 2
10. Piirrä GeoGebralla funktioiden f ja g kuvaajat.
Vihje
Piirrä ensin kuvaajat ja katso likimääräiset vastaukset. Tarkista sitten Ratkaise-komennolla saitko ratkaisut oikein.
Määritä kuvaajien perusteella seuraavien yhtälöiden ratkaisut.
