Paraabeli

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Paraabelin yhtälö

Paraabeli on tuttu jo aiemmilta kursseilta. Toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli.

Minkälaista pistejoukkoa paraabeli sitten kuvaa?

Esimerkki 1

Määritetään kaikki ne pisteet, jotka ovat yhtä etäällä pisteestä (2,4) ja suorasta y=-2. Merkitään näitä pisteitä (x,y).

Pisteen (x,y) etäisyys pisteestä (2,4)

Pisteen (x,y) etäisyys suorasta y=-2. Suora normaalimuodossa y+2=0

Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja korotetaan puolittain neliöön

Avataan sulkeet

Sievennetään ja ratkaistaan y

Saadaan pistejoukon yhtälö, jonka kuvaaja on paraabeli.

Leikkauspisteet lasketaan paraabelin tapauksessa, kuten muissakin. Paraabelin ja suoran, paraabelin ja ympyrän sekä paraabelin ja paraabelin leikkauspisteet saadaan muodostamalla yhtälöpari.

Kokeile

Voit liikuttaa polttopistettä ja johtosuoraa. Voit liikuttaa pistettä paraabelilla, jolloin näet kyseisen pisteen etäisyydeen polttopisteestä sekä johtosuorasta.

Harjoituksia

1. Määritä pistejoukon yhtälö, joka on yhtä etäällä pisteestä (1,3) ja suorasta y = -2

Vihje

Muodosta yhtälö etäisyyksistä ja sievennä.

2. Paraabeli kulkee origon sekä pisteiden (-2,-4) ja (-4,0) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.

Vihje

Muodosta yhtälöryhmä

3. Määritä paraabelin yhtälö, joka kulkee pisteiden (1,4), (-1,0) ja (-3,4) kautta.

Vihje

Muodosta yhtälöryhmä

4. Määritä alapuolisen suoran ja paraabelin leikkauspisteet.

Vihje

Ratkaise suorasta y ja sijoita paraabelin yhtälöön.

5. Määritä paraabelien leikkauspisteet

Vihje

Yhtälöpari ja sijoituskeino.

6. Määritä paraabelin ja ymyprän leikkauspisteet

Vihje

Ratkaise paraabelista x2 

7.  Määritä suoran y = 2x suuntainen tangentti alla olevalle paraabelille. Missä pisteessä tangentti sivuaa paraabelia?

Vihje

Tangentti on muotoa y=2x+b ja sillä on vain yksi leikkauspiste paraabelin kanssa.

8.  Paraabelin johtosuora on x + y + 2 = 0 ja polttopiste on (2,1). Määritä paraabelin yhtälö.

Vihje

Muodosta yhtälö etäisyyksistä.

9. Muodosta yhtälö käyrälle, jonka pisteiden etäisyys pisteestä (1,1) on kaksi kertaa niin suuri kuin suorasta y=-1.

Vihje

Muodosta eätisyydet ja merkitse näiden avulla yhtälö.

10. Pistejoukon yhtälön pisteet toteuttavat seuraavan ehdon

Vihje

Ratkaise t ja sijoita toiseen yhtälöön.

Minkä käyrän pisteet muodostavat muuttujan t käydessä läpi kaikki reaaliluvut? Piirrä käyrä.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Tasokäyrä K muodostuu niistä pisteistä (x, y), joiden etäisyys origosta on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta y = 2

a) Johda käyrän K yhtälölle muoto y = f(x)

b) Laske käyrän K ja x-akselin väliin jäävän rajoitetun tasoalueen pinta-ala. 

Syksy 2016

Huom! Vain a-kohta kuuluu tähän aiheeseen. Kohdassa b tarvitsemme integraalilaskentaa, joka tulee vasta myöhemmin.

a) y=-1/4x²+1

b) 8/3

2. Tasokäyrä kulkee pisteen (3 4) , kautta. Määritä käyrän yhtälö, kun kyseessä on 

a) origon kautta kulkeva suora 

b) origokeskinen ympyrä 

c) ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on origossa. 

Syksy 2015

a) y=4/3x

b) x²+y²=25

c) y=4/9x²

3. Funktion f(x) = ax² + bx + c kuvaaja kulkee pisteiden (−1, 12), (0, 5) ja (2, −3) kautta. Määritä lausekkeen a + b + c arvo.

Syksy 2010

a+b+c=0

4. Määrää niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä x-akselista ja ympyrästä x² + y² = 1. Piirrä kuvio.

Kevät 1970

y=x²/2-1/2 ja y=-x²/2+1/2

5. Määritä vakiot a ja b siten, että suora 2x – y – 2 = 0 sivuaa paraabelia y = ax² + bx + 2 pisteessä (2,2).

Kevät 1977

a=1 ja b =-2

6. Osoita, että alla olevat käyrät sivuavat toisiaan. Mikä on niiden yhteisen tangentin yhtälö?

Syksy 1977 (Lyhyt)

Vain yksi leikkauspiste.

Tangentti y=2x+1

7. Määritä ne kaksi vakion a arvoa, joilla paraabeli y = (x - a)² - 1 kulkee pisteen (2, 3) kautta, ja piirrä nämä paraabelit samaan koordinaatistoon.

Syksy 1994 (Lyhyt)

a=0 tai a=4

8. Tasamaalla sijaitsevalta räjäytystyömaalta lentää kivi 72 metrin päähän. Kivi katkaisee 48 metrin päässä olevan ohuen puun 13,5 metrin korkeudelta. Oletetaan, että kiven lentorata on paraabeli. Kuinka korkealla kivi käy? 

Syksy 1998

15,2 m