Yhdistetty funktio

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Yhdistetty funktio on funktio, joka voidaan tulkita kahtena (tai useampana) erillisenä funktiona. Yhdistetty funnktio tulkitaan yleensä ulko- ja sisäfunktioksi. Sisäfunktio on se funktio, joka on sijoitettu ulkofunktioon.

Esimerkki 1

Meillä on kaksi funktiota

Muodostetaan yhdistetty funktio siten, että funktio u on ulkofunktio ja s on sisäfunktio. Eli sijoitetaan funktio s funktioon u muuttujan x paikalle.

Edellisillä funktioilla voimme muodostaa yhdistetyn funktio myös toisinpäin. Eli funktio s ulkofunktioksi ja funktio u sisäfunktioksi.

Esimerkki 2

Tulkitaan funktio f yhdistetyksi funktioksi. Eli ilmoitetaan se funktioiden s ja  u avulla

Sisäfunktio on se funktio, joka on sijoitettu toiseen funktioon muuttujan paikalle. Tässä se olisi

Ulkofunktio on se funktio, johon sisäfunktio on sijoitettu. Tässä se on

Yhdistettyä funktiota, jossa funktio u on ulkofunktio ja funktio s on sisäfunktio, merkitään

Tämä luetaan "u pallo s".

Esimerkki 3

Olkoon funktiot

Laske yhdistetyn funktion arvo (u⚬ s)(1)

Muodostetaan yhdistetty funktio

Arvo kohdassa 1

Esimerkki 4

Tulkitse funktio f yhdistetyksi funktioksi.

Selvästikin neliöjuuri on ulkofunktio, sillä sen sisälle on sijoitettu murtofunktio. Tällöin sisä- ja ulkofunktiot ovat

Harjoituksia

1. Muodosta yhdistetyn funktion lauseke u(s(x))

Vihje

Sijoita funktion u muuttujan paikalle funktio s

2. Muodosta yhdistetyn funktion lauseke u(s(x))

Vihje

Sijoita funktion u muuttujan paikalle funktio s

3. Ilmoita lausekkeet u(x) ja s(x)

Vihje

Mikä on ulkofunktio u ja sisäfunktio s?

4. Ratkaise yhtälö f(g(x))=g(f(x)), kun

Vihje

Muodosta yhdistetyt funktiot ja näiden avulla yhtälö

5. Muodosta funktio f(x+1) ja f(2x) ja ratkaise f(x+1)=f(2x), kun

Vihje

Sijoita muuttujan paikalle annettu funktio

6. Ratkaise f(2x+1)=f(3x), kun

Vihje

Sijoita x:n paikalle 2x+1 ja yhtälön toiselle puolelle 3x

7. Millä vakion a arvolla f(g(x)) = g(f(x))?

Vihje

Muodosta yhtälö. Millä ehdolla yhtälö on tosi?

8.  Millä muuttujan x arvoilla yhdistetty funktio f(g(x)) ja g(f(x))  on määritelty, kun

Vihje

Muodosta yhdistetty funktio ja sen jälkeen määrittelyehto

9. Millä muuttujan x arvoilla yhdistetty funktio f(g(x)) ja g(f(x))  on määritelty, kun

Vihje

Muodosta yhdistetty funktio ja sen jälkeen määrittelyehto

10. Muodosta f(g(h(x))), kun

Vihje

Muodosta ensin g(h(x))

Osion perustehtävät