Yhdistetty funktio
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Yhdistetty funktio on funktio, joka voidaan tulkita kahtena (tai useampana) erillisenä funktiona. Yhdistetty funnktio tulkitaan yleensä ulko- ja sisäfunktioksi. Sisäfunktio on se funktio, joka on sijoitettu ulkofunktioon.
Esimerkki 1
Meillä on kaksi funktiota
Muodostetaan yhdistetty funktio siten, että funktio u on ulkofunktio ja s on sisäfunktio. Eli sijoitetaan funktio s funktioon u muuttujan x paikalle.
Edellisillä funktioilla voimme muodostaa yhdistetyn funktio myös toisinpäin. Eli funktio s ulkofunktioksi ja funktio u sisäfunktioksi.
Esimerkki 2
Tulkitaan funktio f yhdistetyksi funktioksi. Eli ilmoitetaan se funktioiden s ja u avulla
Sisäfunktio on se funktio, joka on sijoitettu toiseen funktioon muuttujan paikalle. Tässä se olisi
Ulkofunktio on se funktio, johon sisäfunktio on sijoitettu. Tässä se on
Yhdistettyä funktiota, jossa funktio u on ulkofunktio ja funktio s on sisäfunktio, merkitään
Tämä luetaan "u pallo s".
Esimerkki 3
Olkoon funktiot
Laske yhdistetyn funktion arvo (u⚬ s)(1)
Muodostetaan yhdistetty funktio
Arvo kohdassa 1
Esimerkki 4
Tulkitse funktio f yhdistetyksi funktioksi.
Selvästikin neliöjuuri on ulkofunktio, sillä sen sisälle on sijoitettu murtofunktio. Tällöin sisä- ja ulkofunktiot ovat
Harjoituksia
1. Muodosta yhdistetyn funktion lauseke u(s(x))
Vihje
Sijoita funktion u muuttujan paikalle funktio s
2. Muodosta yhdistetyn funktion lauseke u(s(x))
Vihje
Sijoita funktion u muuttujan paikalle funktio s
3. Ilmoita lausekkeet u(x) ja s(x)
Vihje
Mikä on ulkofunktio u ja sisäfunktio s?
4. Ratkaise yhtälö f(g(x))=g(f(x)), kun
Vihje
Muodosta yhdistetyt funktiot ja näiden avulla yhtälö
5. Muodosta funktio f(x+1) ja f(2x) ja ratkaise f(x+1)=f(2x), kun
Vihje
Sijoita muuttujan paikalle annettu funktio
6. Ratkaise f(2x+1)=f(3x), kun
Vihje
Sijoita x:n paikalle 2x+1 ja yhtälön toiselle puolelle 3x
7. Millä vakion a arvolla f(g(x)) = g(f(x))?
Vihje
Muodosta yhtälö. Millä ehdolla yhtälö on tosi?
8. Millä muuttujan x arvoilla yhdistetty funktio f(g(x)) ja g(f(x)) on määritelty, kun
Vihje
Muodosta yhdistetty funktio ja sen jälkeen määrittelyehto
9. Millä muuttujan x arvoilla yhdistetty funktio f(g(x)) ja g(f(x)) on määritelty, kun
Vihje
Muodosta yhdistetty funktio ja sen jälkeen määrittelyehto
10. Muodosta f(g(h(x))), kun
Vihje
Muodosta ensin g(h(x))
