Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Sinifunktio

Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Esimerkki 1

Liisa-Petterin kesämökin rannassa vuorovesi muutti veden syvyyttä noin 12 tunnin jaksoissa. Liisa-Petteri mittasi suurimman syvyyden eräänä yönä 0.30 ja se oli 1,5 metriä. Aamulla 6.30 veden syvyys oli vain 0,3 metriä.

Merenrantahuvilansa vuorovesi noudatti Liisa-Petterin tutkimusten mukaan kaavaa

missä t ilmaisee ajan tunteina keskiyöstä. Määritetään funktiosta a, b, c ja d

Vakio a

Vakio a ilmaisee funktion amplitudin. Sinin arvot vaihtelevat välillä [-1,1] ja kertomalla siniä jollain luvulla, muuttaa se pienintä sekä suurinta arvoa saman verran. Vakio a on siis puolet suurimman ja pienimmän arvon erotuksesta.

Vakio b

Vakio b muuttaa funktion perusjaksoa. Sinin perusjakso on 2𝜋, joten

Vuoroveden jakso on 12 tuntia. Tällöin saadaan

Vakio d

Vakio d liikuttaa kuvaajaa pystysuunnassa. Funktion amplitudi on 0,6 ja suurin arvo on 1,5 sekä pienin 0,3, tulee kuvaajan tasapainoaseman olla kohdassa 0,9

1,5-0,6=0,9

0,3+0,6=0,9

Tällöin vakio d=0,9

Vakio c

Vakio c liikuttaa kuvaajaa vaakasuunnassa.

Tiedämme, että puolituntia keskiyön jälkeen veden korkeus on 1,5 metriä, eli f(0,5)=1,5 ja funktiomme on nyt

Rajataan ratkaisu perusjaksolle, eli vakio c kuuluu välille [0,12]

Tästä saamme laskimella vakion c arvoksi noin 9,5.

Funktio, joka määrittää veden korkeuden t tunnin kuluttua keskiyöstä, on

Harjoituksia

1. Funktion f suurin arvo on 6 ja pienin 2. Ratkaise vakio a

Vihje

Amplitudi

2. Funktion f arvojoukko on [5,9]. Ratkaise vakiot a ja d

Vihje

Määritä tasapainoasema. Kuinka paljon funktiota on siirretty y-suuntaisesti?

3. Liisa-Petterin pahuudenkarkoitusheiluri oli valmis. Neljän sekunnin jälkeen heiluri oli yhden metrin korkeudella, joka oli matalin kohta. Kahdeksan sekunnin kohdalla heiluri oli korkeimmassa kohdassaan neljän metrin korkeudella.

Muodosta funktio f(t) ratkaisemalla vakiot.

Vihje

Katso esimerkki yläpuolella.