Sinifunktio
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Esimerkki 1
Liisa-Petterin kesämökin rannassa vuorovesi muutti veden syvyyttä noin 12 tunnin jaksoissa. Liisa-Petteri mittasi suurimman syvyyden eräänä yönä 0.30 ja se oli 1,5 metriä. Aamulla 6.30 veden syvyys oli vain 0,3 metriä.
Merenrantahuvilansa vuorovesi noudatti Liisa-Petterin tutkimusten mukaan kaavaa
missä t ilmaisee ajan tunteina keskiyöstä. Määritetään funktiosta a, b, c ja d
Vakio a
Vakio a ilmaisee funktion amplitudin. Sinin arvot vaihtelevat välillä [-1,1] ja kertomalla siniä jollain luvulla, muuttaa se pienintä sekä suurinta arvoa saman verran. Vakio a on siis puolet suurimman ja pienimmän arvon erotuksesta.
Vakio b
Vakio b muuttaa funktion perusjaksoa. Sinin perusjakso on 2𝜋, joten
Vuoroveden jakso on 12 tuntia. Tällöin saadaan
Vakio d
Vakio d liikuttaa kuvaajaa pystysuunnassa. Funktion amplitudi on 0,6 ja suurin arvo on 1,5 sekä pienin 0,3, tulee kuvaajan tasapainoaseman olla kohdassa 0,9
1,5-0,6=0,9
0,3+0,6=0,9
Tällöin vakio d=0,9
Vakio c
Vakio c liikuttaa kuvaajaa vaakasuunnassa.
Tiedämme, että puolituntia keskiyön jälkeen veden korkeus on 1,5 metriä, eli f(0,5)=1,5 ja funktiomme on nyt
Rajataan ratkaisu perusjaksolle, eli vakio c kuuluu välille [0,12]
Tästä saamme laskimella vakion c arvoksi noin 9,5.
Funktio, joka määrittää veden korkeuden t tunnin kuluttua keskiyöstä, on
Harjoituksia
1. Funktion f suurin arvo on 6 ja pienin 2. Ratkaise vakio a
Vihje
Amplitudi
2. Funktion f arvojoukko on [5,9]. Ratkaise vakiot a ja d
Vihje
Määritä tasapainoasema. Kuinka paljon funktiota on siirretty y-suuntaisesti?
3. Liisa-Petterin pahuudenkarkoitusheiluri oli valmis. Neljän sekunnin jälkeen heiluri oli yhden metrin korkeudella, joka oli matalin kohta. Kahdeksan sekunnin kohdalla heiluri oli korkeimmassa kohdassaan neljän metrin korkeudella.
Muodosta funktio f(t) ratkaisemalla vakiot.
Vihje
Katso esimerkki yläpuolella.
4. Tutki kuinka monta funktion f(x)=3sin(2x) jaksoa mahtuu 2π mittaisen välin sisälle.
Vihje
Määritä jakson pituus.
5. Piirrä funktion f kuvaaja. Muokkaa funktiota f siten että f(0)=1. Eli mitä funktioon pitää lisätä, että saat siirrettyä sen kuvaajaa?
Vihje
Merkitse 3sin(3x-b)-2 ja ratkaise yhtälö käyttäen annettua tietoa.
6. Piirrä funktion f kuvaaja. Muokkaa funktiota f siten että
a) f(0)=1.
b) f(0)=-1
Eli mitä funktioon pitää lisätä, että saat siirrettyä sen kuvaajaa?
Vihje
Merkitse 4sin(1/2x-b)-1 ja ratkaise yhtälö
7. Tutki kuinka monta funktion f(x)=2sin(3x)-1 jaksoa mahtuu 2π mittaisen välin sisälle.
Vihje
Ratkaise jakso
8. Tutki kuinka monta nollakohtaa funktiolla f(x)=4sin(5x) on välillä [0,π]
Vihje
Ratkaise nollakohdat
9. Määritä funktion f(x)=2 sin(3 x)-2 suurin ja pienin arvo.
Vihje
Amplitudi
10. Millä muuttujan x arvoilla funktio f saa suurimman ja pienimmän arvonsa?
Vihje
Amplitudi. Ratkaise yhtälöt jotka saat kun merkitset funktion yhtä suureksi pienimmän ja suurimman arvon kanssa.
