Yhdistetyn funktion integroiminen

Monet integrointisäännöt saadaan suoraan derivaattasäännöistä. Kun derivoidaan yhdistettyjä funktioita, on tärkeää tunnistaa, mikä on “sisäfunktio” ja mikä on “ulkofunktio”. Esimerkiksi funktiossa

Neliöjuuri on ulkofunktio ja 1+2x on sisäfunktio, eli funktion f(x) voi kirjoittaa myös

Tämä täytyy ymmärtää hyvin ennen kuin voi mennä eteenpäin. Funktiota f(x) kutsutaan “yhdistetyksi funktioksi” ja se derivoidaan “ketjusäännöllä”

Tästä saadaan suoraan ns. yhdistetyn funktion integrointisääntö

Sama asia kirjoitetaan usein toisessa muodossa

[Voit aina tarkistaa integrointisäännöt ottamalla derivaatan yhtälön oikealta puolelta, tuloksena pitäisi olla integraalin sisällä oleva funktio.]

Tämä sääntö näyttää hankalalta, mutta sen ymmärtää esimerkkien ja harjoitustehtävien avulla paremmin. Tärkein juttu on, että integraali osataan laskea vain silloin, kun integraalin alta löytyy myös sisäfunktion derivaatta h’(x).

Esimerkki 1: Integroi

Nyt integraalin sisällä on neliöjuurilausekkeen sisäfunktion derivaatta 2x ja päästään käyttämään integraalisääntöä. Pitää enää löytää neliöjuuren integraalifunktio. Se tehdään jälleen murtopotenssin ja potenssifunktion integrointisäännön avulla.

Tämän ja muiden vastaavien integraalilaskujen tarkistaminen kannattaa tehdä derivoimalla saatua murtopotenssimuotoa (tämän esimerkin toiseksi viimeinen rivi).

Pidä yhdistetyn funktion integraalisääntö mielessä seuraavissa luvuissa, kun vastaan tulee eksponenttifunktiot ja trigonometriset funktiot.