Tuloperiaate

Johdanto-esimerkki. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta Per-Ulf Heiskanen voi laittaa aamulla ylleen, kun hänellä on kaksi sukkaparia, kolmet housut ja kaksi paitaa mistä valita?

Muodostetaan tilanteesta kuva, joka havainnollistaa tuloperiaatteen ideaa:

Kuvassa S = sukkaparit, H = housut ja P = paidat.

Kuvan jokainen “reitti” tarkoittaa yhtä asukokonaisuutta. Asukokonaisuuksia on siis yhteensä 12 kpl. Tuloperiaatteen mukaan lasku voidaan laskea kertomalla jokaisen vaiheen vaihtoehtojen lukumäärät keskenään, eli

Esimerkkitehtävä 1. Per-Ulf heiskanen on innokas vakioveikkauksen pelaaja. Laske Per-Ulfin puolesta seuraavat tehtävät. Vakioveikkauksessa rivejä on yhteensä 13 ja jokaisessa voit valita kolmesta vaihtoehdosta

1 = Kotijoukkue voittaa

X = Tasapeli

2 = Vierasjoukkue voittaa

a) Montako erilaista vakioveikkausriviä on mahdollista tehdä?

b) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa kaikki oikein?

c) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa kaikki väärin?

d) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa ainakin yhden rivin oikein?

a) Vakioveikkausrivejä on mahdollista tehdä

Vastaus: Vakioveikkausrivejä on 1594323 erilaista.

b) Rivejä joissa on kaikki vastaukset oikein voi olla vain yksi kappale, joten

Vastaus: Todennäköisyys saada kaikki oikein on noin 0,00000063.

c) Jokaisessa rivissä on kaksi mahdollisuutta valita väärin, joten tuloperiaatteen mukaan rivejä, joissa on kaikki värin, on olemassa

Todennäköisyys, että yksikään veikkaus ei mene oikein, on

Vastaus: Todennäköisyys saada kaikki väärin on 0,0051

d) Lasketaan tehtävä vastatapahtuman avulla.

P("ainakin yksi oikein")=1-P("ei yhtään oikein")≈ 0,99

Vastaus: Todennäköisyys saada ainakin yksi rivi oikein on noin 0,99

Jos joukossa on n monta alkiota, niin se voidaan järjestää jonoon n! (luetaan n kertoma) erilaisella tavalla.

Esimerkkitehtävä 2. Perheessä viisi lasta, joista kaksi on poikia ja loput tyttöjä.

a) Monellako eri tavalla perheen viisi lasta voivat asettua jonoon?

b) Montako sellaista jonoa voidaan muodostaa, missä tytöt ovat peräkkäin?

a)

Pohdintaa:

1. Kun valitaan ensimmäinen lapsi jonoon, on 5 vaihtoehtoa mistä valita.

2. Kun valitaan toinen lapsi jonoon, on jäljellä 4 vaihtoehtoa jäljellä mistä valita.

3. Kun valitaan kolmas lapsi jonoon, on jäljellä 3 vaihtoehtoa mistä valita

4. Kun valitaan neljäs lapsi jonoon, on jäljellä 2 vaihtoehtoa mistä valita

5. Kun valitaan viides, eli viimeinen lapsi jonoon, on enää yksi vaihtoehto jäljellä.

Tuloperiaatteen mukaan, jokaisen vaiheen vaihtoehtojen lukumäärä kertotaan keskenään, eli

Vastaus: Lapset voivat asettua jonoon yhteensä 120:llä eri tavalla.

b)

Pohdintaa:

Mietitään aluksi montako erilaista tapaa on tyttöjen olla peräkkäin. Pohdinnassa T = tyttö ja P = poika. Luetellaan eri vaihtoehdot. TTTPP, PTTTP ja PPTTT. Vaihtoehtoja on yhteensä kolme.

Tytöt voivat asettua 3! eri järjestyksessä ja pojat puolestaan 2! eri järjestyksessä. Yhteensä eri vaihtoehtoja on siis tuloperiaatteen mukaan 3 · 3! · 2! = 36 kappaletta.

Vastaus: Lapset voivat asettua jonoon, niin, että tytöt ovat peräkkäin 36:lla eri tavalla.

Esimerkkitehtävä 3. Monellako eri tavalla voidaan valita Ylä-Härmälän kunnan hallitukseen puheenjohtaja, varapuheenjohtaja ja sihteeri, kun kunnanhallituksessa on 20 jäsentä mistä valita.

Pohdintaa:

1. Vaihtoehtoja on 20 valita puheenjohtaja

2. Vaihtoehtoja on 19 valita varapuheenjohtaja

3. Vaihtoehtoja on 18 valita sihteeri

Tuloperiaatteen mukaan vaihtoehtoja on yhteensä 20 · 19 · 18 = 6840 kappaletta.

Vastaus: Vaihtoehtoja on yhteensä 6840 kappaletta.

Kun joukosta valitaan alkioita niin, että niiden järjestyksellä ei ole väliä, puhutaan osajoukoista eli eri kombinaatioista.

Johdanto-esimerkki. Kuinka monella tavalla seitsemän oppilaan joukosta voidaan valita kolmen opiskelijan ryhmä.

1. 7 oppilasta voidaan asettaa 7! eri järjestykseen.

2. Tehtävässä meitä kiinnostaa valita vain kolmen oppilaan ryhmä, joten loput (7-3)! järjestystä voidaan jakaa pois laskuista. kolmen oppilaan järjestyksiä on siis yhteensä 7! jaettuna (7-3)! kappaletta.

3. Kolmen hengen ryhmä voidaan valita 3! eri järjestyksessä. Kun puhutaan ryhmistä, valintojen järjestyksellä ei ole väliä, joten erilaisia kolmen hengen ryhmiä on mahdollista valita

Vastaus: On 35 eri tapaa valita kolmen oppilaan ryhmä.

Osajoukkojen määrä saadaan selville laskimesta riippuen esim. seuraavilla komennoilla

1. CAS laskimella komento on yleensä nCr(n,r).

2. Funktiolaskimissa löytyy nCr näppäin ja komentoketju menee n + nCr-näppäin + r.

Tarkista edellisen johdanto-esimerkin tulos laskemalla se laskimella.

Esimerkkitehtävä 4. Kuinka monella tavalla voidaan valita 30 oppilaasta kolmen hengen ryhmä?

n = 30 (paljonko ryhmässä on kaikkiaan jäseniä)

r = 3 (kuinka monen jäsenen ryhmä halutaan valita)

Vastaus: 30 oppilaan joukosta voidaan valita kolmen hengen ryhmä 4060:llä eri tavalla.

Esimerkkitehtävä 5. Millä todennäköisyydellä saat pokeripelissä kolme ässää heti ensimmäisellä jaolla? Pokerissa sinulle jaetaan ensimmäisessä jaossa viisi korttia käteen.