Eksponentti- ja logaritmifunktio

Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktiossa muuttuja x on potenssina 

Esimerkki 1

f(x) kuvaaja

g(x) kuvaaja

Eksponenttifunktion määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Kaikki eksponenttifunktiot kulkevat pisteen (0,1) kautta. Jos kantaluku a > 1 funktio on aidosti kasvava. Jos 0 < a < 1 funktio on aidosti vähenevä. Huomaa, että eksponenttifunktio saa vain positiivisia arvoja. 

Esimerkki 2

Tarkastellaan funktioita f(x)=2x ja g(x)=0,5x

a) Kumpi funktioista on kasvava ja kumpi vähenevä?

b) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat arvon 4?

c) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat yhtäsuuret arvot?

Ratkaisu

a) Funktion f kantaluku on suurempi kuin 1, joten funktio on kasvava. Funktion g kantaluku on nollan ja ykkösen välissä, joten funktio on vähenevä.

b) 

c) Ratkaistaan milloin funktiot ovat yhtä suuret. Tarkistetaan piirtämällä kuvaajat.

Esimerkki 3

Liisa-Petteri oli keksinyt keinon kloonata itsensä. Liisa-Petterien määrä kasvoi kolminkertaiseksi vuodessa. 

a) Kuinka monta Liisa-Petteri on viiden vuoden kuluttua?

b) Muodosta funktio, joka kuvaa Liisa-Petterien lukumäärää x vuoden kuluttua.

a) Joka vuosi määrä kolminkertaistuu, joten viiden vuoden aikana määrä 35 = 243 kertaistuu. Alussa Liisa-Pettereitä on vain yksi, joten 5 vuoden kuluttua heitä on 243.

b) Kantalukuna on kolme, joten funktio f(x) = 3x

Logaritmifunktio

Palautetaan mieleen logaritmin määritelmä.

Esimerkki 4

Kun halutaan ratkaista yhtälö

Voidaan päätellä, että x = 3. Matemaattisesti tätä merkitään 

Luetaan: “2-kantainen logaritmi luvusta 8” on siis se luku, johon 2 pitää korottaa, että saadaan 8.

Kymmenkantaista logaritmia merkitään yleensä lg (joissain laskimissa log). Siis 

Logaritmifunktion

määrittelyjoukko on

Esimerkki 5

Määritä alla olevien funktion kuvaajien avulla

a) Funktioiden nollakohdat

b) Funktioiden arvot muuttujan x arvolla 2

a) Kuvaajista nähdään, että molempien funktioiden nollakohdat on x = 1.

b) Kaksikantaisen logaritmifunktion arvo muuttujan x arvolla 2 on 1. 

0,5-kantaisen logaritmifunktion arvo muuttujan x arvolla 2 on -1.

Huomautus!

logkx on funktion kx käänteisfunktio 

Harjoituksia

1. Kumpi funktion arvoista f(-2,5) vai f(-2,4) on suurempi. Perustele.

Vihje

Onko funktio kasvava vai vähenevä?

2. Kumpi funktion arvoista f(-3,7) vai f(-3,6) on suurempi. Perustele.

Vihje

Minkälainen on kantaluku?

3. a) Laske funktion arvot kohdissa x = 2 ja x = -2

b) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat arvon 27?

c) Mitkä ovat funktioiden nollakohdat?

Funktiot ovat

Vihje

c-kohdassa: Piirrä funktiot Geogebralla.

4. Funktio f kuvaa Liisa-Petterin massaa, kun hän on aloittanut dieetin. Muuttuja x on vuorokaudet dieetin alusta.

a) Mikä on Liisa-Petterin massa dieetin alussa?

b) Mikä on Liisa-Petterin massa viikon kuluttua?

c) Kuinka monta prosenttia massa muuttuu vuorokaudessa?

Vihje

Mikä on vuorokausien määrä, eli x, a-kohdassa?

5. Muodosta funktio f, kun

a) f(0) = 5 ja funktion arvot kaksinkertaistuvat, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.

b) f(0) = -3 ja funktion arvot pienenevät 25%, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.

c) f(0) = 250 ja funktion arvo kasvavat 20%, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.

Vihje

funktiot ovat muotoa ax+b

6. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat

a) Milloin f(x)<g(x)?

b) Missä pisteissä funktiot leikkaavat y-akselin?

c) Määritä funktioiden nollakohdat.

Vihje

y-akselin leikkauskohdassa x=0

7.  Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat

a) Milloin f(x)<g(x)?

b) Missä pisteissä funktiot leikkaavat y-akselin?

c) Määritä funktioiden nollakohdat.

Vihje

Geogebraan syötetään logaritmi log(a,x), missä a on kantaluku.

8. Tutki GeoGebralla miten vakiot a, b ja c vaikuttavat funktion f kuvaajaan?

Vihje

Syötä geogebraan a*log(2,x+b)+c

9.  Määritä funktion f vakiot a ja b, kun tiedetään, että f(1) = 3 ja f(3) = 5

Vihje

Saat yhtälöparin

10.  Kaksikantainen logaritmifunktio saa arvon 2 muuttujan x arvolla 0 ja arvon 4 muuttujan x arvolla 2. Määritä funktion lauseke.

Vihje

log(2,x+a)+b

Osion perustehtävät