Eksponentti- ja logaritmifunktio
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktiossa muuttuja x on potenssina
Esimerkki 1
f(x) kuvaaja
g(x) kuvaaja
Eksponenttifunktion määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Kaikki eksponenttifunktiot kulkevat pisteen (0,1) kautta. Jos kantaluku a > 1 funktio on aidosti kasvava. Jos 0 < a < 1 funktio on aidosti vähenevä. Huomaa, että eksponenttifunktio saa vain positiivisia arvoja.
Esimerkki 2
Tarkastellaan funktioita f(x)=2x ja g(x)=0,5x
a) Kumpi funktioista on kasvava ja kumpi vähenevä?
b) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat arvon 4?
c) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat yhtäsuuret arvot?
Ratkaisu
a) Funktion f kantaluku on suurempi kuin 1, joten funktio on kasvava. Funktion g kantaluku on nollan ja ykkösen välissä, joten funktio on vähenevä.
b)
c) Ratkaistaan milloin funktiot ovat yhtä suuret. Tarkistetaan piirtämällä kuvaajat.
Esimerkki 3
Liisa-Petteri oli keksinyt keinon kloonata itsensä. Liisa-Petterien määrä kasvoi kolminkertaiseksi vuodessa.
a) Kuinka monta Liisa-Petteri on viiden vuoden kuluttua?
b) Muodosta funktio, joka kuvaa Liisa-Petterien lukumäärää x vuoden kuluttua.
a) Joka vuosi määrä kolminkertaistuu, joten viiden vuoden aikana määrä 35 = 243 kertaistuu. Alussa Liisa-Pettereitä on vain yksi, joten 5 vuoden kuluttua heitä on 243.
b) Kantalukuna on kolme, joten funktio f(x) = 3x
Logaritmifunktio
Palautetaan mieleen logaritmin määritelmä.
Esimerkki 4
Kun halutaan ratkaista yhtälö
Voidaan päätellä, että x = 3. Matemaattisesti tätä merkitään
Luetaan: “2-kantainen logaritmi luvusta 8” on siis se luku, johon 2 pitää korottaa, että saadaan 8.
Kymmenkantaista logaritmia merkitään yleensä lg (joissain laskimissa log). Siis
Logaritmifunktion
määrittelyjoukko on
Esimerkki 5
Määritä alla olevien funktion kuvaajien avulla
a) Funktioiden nollakohdat
b) Funktioiden arvot muuttujan x arvolla 2
a) Kuvaajista nähdään, että molempien funktioiden nollakohdat on x = 1.
b) Kaksikantaisen logaritmifunktion arvo muuttujan x arvolla 2 on 1.
0,5-kantaisen logaritmifunktion arvo muuttujan x arvolla 2 on -1.
Huomautus!
logkx on funktion kx käänteisfunktio
Harjoituksia
1. Kumpi funktion arvoista f(-2,5) vai f(-2,4) on suurempi. Perustele.
Vihje
Onko funktio kasvava vai vähenevä?
2. Kumpi funktion arvoista f(-3,7) vai f(-3,6) on suurempi. Perustele.
Vihje
Minkälainen on kantaluku?
3. a) Laske funktion arvot kohdissa x = 2 ja x = -2
b) Millä muuttujan arvoilla funktiot saavat arvon 27?
c) Mitkä ovat funktioiden nollakohdat?
Funktiot ovat
Vihje
c-kohdassa: Piirrä funktiot Geogebralla.
4. Funktio f kuvaa Liisa-Petterin massaa, kun hän on aloittanut dieetin. Muuttuja x on vuorokaudet dieetin alusta.
a) Mikä on Liisa-Petterin massa dieetin alussa?
b) Mikä on Liisa-Petterin massa viikon kuluttua?
c) Kuinka monta prosenttia massa muuttuu vuorokaudessa?
Vihje
Mikä on vuorokausien määrä, eli x, a-kohdassa?
5. Muodosta funktio f, kun
a) f(0) = 5 ja funktion arvot kaksinkertaistuvat, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.
b) f(0) = -3 ja funktion arvot pienenevät 25%, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.
c) f(0) = 250 ja funktion arvo kasvavat 20%, kun muuttuja x kasvaa yhdellä.
Vihje
funktiot ovat muotoa ax+b
6. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat
a) Milloin f(x)<g(x)?
b) Missä pisteissä funktiot leikkaavat y-akselin?
c) Määritä funktioiden nollakohdat.
Vihje
y-akselin leikkauskohdassa x=0
7. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat
a) Milloin f(x)<g(x)?
b) Missä pisteissä funktiot leikkaavat y-akselin?
c) Määritä funktioiden nollakohdat.
Vihje
Geogebraan syötetään logaritmi log(a,x), missä a on kantaluku.
8. Tutki GeoGebralla miten vakiot a, b ja c vaikuttavat funktion f kuvaajaan?
Vihje
Syötä geogebraan a*log(2,x+b)+c
9. Määritä funktion f vakiot a ja b, kun tiedetään, että f(1) = 3 ja f(3) = 5
Vihje
Saat yhtälöparin
10. Kaksikantainen logaritmifunktio saa arvon 2 muuttujan x arvolla 0 ja arvon 4 muuttujan x arvolla 2. Määritä funktion lauseke.
Vihje
log(2,x+a)+b