Jaollisuus
Jaollisuus
Olkoon a ja b kokonaislukuja. Luku a on jaollinen luvulla b, jos on olemassa jokin sellainen kokonaisluku t, että a = tb. Jos luku a on jaollinen luvulla b niin merkitää b|a. Jakokorrelaatio luetaan "luku b jakaa luvun a" tai "a on luvun b monikerta". Jos luku a ei ole jaollinen luvulla b, niin merkitään b∤a. Luku on aina jaollinen itsellään sekä luvulla 1.
Esimerkiksi luku -6 on jaollinen kolmella koska 6 = 3 · (-2).
Luku -7 puolestaan ei ole jaollinen luvulla 3 mutta on jaollinen itsellään: -7 = -7 · 1 ja luvulla yksi: -7 = 1 · (-7). Siispä 3|-6 ja 3∤-7.
Osamäärä ja jakojäännös
Olkoon a ja b kokonaislukuja. Kun suoritetaan jakolasku a/b, niin tulos voidaan ilmaista osamäärän ja jakojäännöken avulla. Osamäärä ja jakojäännös ovat kokonaislukuja. Osamäärä kertoo kuinka monta kertaa luku a menee lukuun b ja jakojäännös kertoo kuinka paljon tästä jää jäljelle.
Tarkastellaan jakolaskua 6/3.
Koska 6 = 2 · 3, niin osamäärä on 2 ja jakojäännös on 0. Jakolaskun 7/3 tapauksesssa 7 = 2 · 3 + 1 eli osamäärä on 2 ja jakojäännös on 1. Jakojäännös on aina vähintään yhtä suuri kuin luku 0 ja pienempi kuin jakava luku. Jos jakojäännös on nolla, niin jaettava luku on jaollinen jakajalla.
Jakoyhtälö
Olkoon a ja b kokonaislukuja sekä b > 0. Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset luvut t ja r, että
a = tb + r,
missä t ja r ovat kokonaislukuja sekä 0 ≤ r < b. Luku t on osamäärä ja luku r on jakojäännös.
Jos valitaan esimerkiksi b = 3, niin jakoyhtälön määritelmän mukaan jokainen kokonaisluku voidaan ilmaista muodossa
t · b, t · b + 1 tai t · b + 2.
Kaikki parilliset luvut voidaan ilmaista luvun 2 moninkertana muodossa t · 2 ja parittomat luvut muodossa t · 2 + 1.
Jaollisuuden ominaisuuksia
Olkoon a ja b kokonaislukuja.
(i) Jos c|a ja c|b niin c|a+b
(ii) Jos c|a niin c|ta, kun t ∈ ℤ.
Todistus
(i) Oletuksena on että luvut a ja b ovat luvun c moninketoja. Täten a = jc ja b = kc, joillakin kokonaisluvuilla j ja k.
a + b = jc + kc = (j + k)c
Siispä c|a + b.
(ii)Oletuksena on, että a on luvun c moninkerta. Täten a = jc, jollakin kokonaisluvulla j.
ta = tjc
Siispä c|ta.
Esimerkki 1
Selvitä jakolaskun osamäärä ja jakojäännös sekä kirjoita vastaava jakoyhtälö, kun
Ratkaisu
a) 12345/678 = 18.20796...
Osamääräksi saadaan luku 18. Jakojäännös saadaan vähentämällä jaettavasta luvusta osamäärän ja jakajan tulo eli jakojäännös on
123455 – 18 · 678 = 141.
Jakoyhtälö on
12345 = 18 · 678 + 141.
b) -78/4 = -19.5
Koska jakojäännöksen tulee olla suurempi kuin nolla niin osamäärä on -20. Lasketaan jakojäännös kuten edellä
-78 – (-20 · 4) = 2.
Jakoyhtälö on
-78 = -20 · 4 + 2.
c)
Jaettava on jaollinen jakajalla, osamäärä on 5³⁷⁰ ja jakojäännös on 0. Jakoyhtälö on
5⁴⁶⁸ = 5³⁷⁰ · 5⁹⁸.
Esimerkki 2
Olkoon a ja b parittomia kokonaislukuja. Todista väite 4|(a² – b²)
Ratkaisu
Koska a ja b ovat parittomia kokonaislukuja niin niin ne voidaan ilmaista muodossa a = 2s + 1 ja b = 2t + 1.
Siispä luku a² – b² on luvun 4 moninkerta ja näin ollen jaollinen luvulla 4.
Kongruenssi
Kongruenssin määritelmä
Olkoon n ∈ ℕ. Kokonaisluvut a ja b ovat kongruentteja modulo n, jos niiden erotus a – b on jaollinen luvulla n.
Jos a ja b ovat kongruentit modulo n, niin merkitään
a ≡ b (mod n).
Jos a ja b eivät ole kongruentit modulo n, niin merkitään
a ≢ b (mod n).
Merkinnän (mod n) voi jättää pois, jos luku n on asiayhteydestä muuten selvä.
Kongruenssin voi yhtä hyvin päätellä myös jakojäännöksestä: luvut a ja b ovat kongruentit modulo n jos ja vain jos niillä on sama jakojäännös kun ne jaetaan luvulla n.
Esimerkki 3
Osoita, että
a) 22 ≡ -18 (mod 4)
b) 574 ≡ 0 (mod 7)
Ratkaisu
a) 22 – (-18) = 40 = 10 · 4
Koska lukujen 22 ja -18 erotus on jaollinen luvulla 4, niin 22 ≡ -18 (mod 4).
b) Koska 574/7 = 82, niin luku 574 on jaollinen luvulla 7. Siispä 574 ≡ 0 (mod 7).
Kongruenssin laskusäännöt
Kongruenssilla on monia ominaisuuksia, jotka muistuttavat yhtälönratkaisussa käytettäviä laskusääntöjä. Esimerkiksi kongruenttien lukujen summat, erotukset ja tulot säilyvät kongruentteina.
Kongruenttien lukujen summa, erotus ja tulo
Olkoon a, b, c, d ∈ ℤ, n ∈ ℕ ja a ≡ b (mod n) sekä c ≡ d (mod n).
Tällöin
(i) a + c ≡ b + d (mod n),
(ii) a – c ≡ b – d (mod n),
(iii) ac ≡ bd (mod n),
(iv) aᵏ ≡ bᵏ (mod n).
Todistus
Todistetaan kohdat i-iii, kohdan iv todistus selitetään sanallisesti. Oletuksen perusteella tiedetään, että luvut a – b ja c – d ovat jaollisia luvlla n.
Täten a – b = jn ja c – d = kn, joillakin kokonaisluvuilla j ja k.
Saadaan a = jn + b ja c = kn + d.
Täten
Lukujen a + c ja b + d erotus on siis jaollinen luvulla n eli
a + c ≡ b + d (mod n).
Täten
Lukujen a – c ja b – d erotus on siis jaollinen luvulla n eli
a – c ≡ b – d (mod n).
Täten
Lukujen ac ja bd erotus on jaollinen luvulla n eli
ac ≡ bd (mod n).
(iv) Kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja. Ominaisuus saadaan seurauksena kertolaskusäännöstä koska xᵏ tarkoittaa luvun x kertomista itsellään k kertaa. Todistus tapahtuu induktiolla, joka sivuutetaan tässä kohtaa.
Esimerkki 4
Osoita 2020⁴⁴ + 17 ≡ 2023⁴⁴ – 4(mod 3)
Ratkaisu
Koska
niin kohdan (iv) perusteella
Koska
niin kohdan (i) perusteella
Jaollisuussääntöjä
Tavallinen lukujen merkintätapa on kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Kymmenjärjestelmä on kantalukujärjestelmä, jonka kantaluku on 10. Kymmenjärjestelmässä käytetään numeroita 0-9. Luvun numerot ovat luvun 10 potenssien ketoimia, esimerkiksi
68723 = 6 · 10⁴ + 8 · 10³ + 7 · 10² + 2 · 10¹ + 3 · 10⁰
Yleisesti ilmaistuna luku
aₙaₙ₋ₗ...a₁a₀= aₙ · 10ⁿ + aₙ₋ₗ · 10ⁿ⁻¹ +...+ a₁ · 10¹ + a₀ · 10⁰.
Jakojäännös, kun jakajana on luku 3
Kokonaisluvulla ja sen numeroiden summalla on sama jakojäännös, kun jaetaan luvulla 3.
Todistus
Koska 10 ≡ 1 (mod 3) ja kohdan (iv) perusteella tiedetään, että kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja, niin
Tästä seuraa luvun 3 jaollisuussääntö
Kokonaisluku on kongruentti modulo 3, jos ja vain jos sen numeroiden summa on kongruentti modulo 3.
Myös luvulle 9 on löydettävissä vastaavanlaiset ominaisuudet.
Jakojäännös, kun jaetaan luvulla 9
Kokonaisluvulla ja sen numeroiden summalla on sama jakojäännös, kun jaetaan luvulla 9.
Todistus
Koska myös 10 ≡ 1 (mod 9), niin yhtälailla
Tästä saadaan seurauksena luvun 9 jaollisuussääntö
Kokonaisluku on kongruentti modulo 9, jos ja vain jos sen numeroiden summa on kongruentti modulo 9.
Myös luvulle 11 on löydettävissä eräs yksinkertainen jaollisuussääntö, joka jätetään harjoitustehtäväksi.
Harjoituksia
1. Kello on 18 yli 5 iltapäivällä. Paljonko kello on
a) 123 tunnin
b) 546 sekunnin kuluttua?
Vihje
Kuinka monta tuntia/sekuntia menee vuorokauteen (osamäärä)? Paljonko jää yli (jakojäännös)?
2. Onko seuraavat kongruenssiyhtälöt totta, jos eivät, niin mikä on jakojäännöksien erotus?
Vihje
Kongruenttien lukujen laskusäännöt. Kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja.
3. Olkoon m luonnollinen luku. Selvitä jakolaskun osamäärä ja jakojäännös sekä kirjoita vastaava jakoyhtälö, kun
a) (5m-2)²/m
b) (9ᵐ+1)/3
Vihje
Kerro yhtälöt ensin auki.
4. Etsi sellainen kokonaisluku a, joka toteuttaa yhtälön
b³ ≡ a (mod 2),
kun b on jokin pariton kokonaisluku.
Vihje
Pariton luku esitetään muodossa
b=2n+1, missä n ∈ ℤ.
5. Olkoon a ja b parittomia kokonaislukuja. Todista väite
8|(a²– b²).
Vihje
Ota mallia esimerkistä 2 ja mieti mahdollisia lukujen s ja t arvoja.
6. Olkoon k mielivaltainen luonnollinen luku. Todista
Vihje
Laskusääntö: kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja.
7. Käytä hyväksi tietoa 10 ≡ -1 (mod 11) ja määritä luvulle 11 jaollisuussääntö: "Kokonaisluku on kongruentti modulo 11, jos ja vain jos ...."
Vihje
Ota mallia lukujen 3 ja 9 jaollisuussääntöjen muodostamisesta.
8. Onko luku jaollinen luvulla 3, 9 tai 11? Ratkaise ilman laskinta.
a) 23392632
b) 8418822522
c) 97766311203
Vihje
Lukujen 3 ja 9 jaollisuussäännöt sekä luomasi edellisen tehtävän sääntö luvulle 11.
9. Oleteaan että h, i, j, k ∈ ℤ, m∈ℕ ja h ≡ i (mod m) sekä j ≡ k (mod m).
Todista
Vihje
Kongruenttien lukujen laskusäännöt.
10. Olkoon a ≡ b (mod 6). Määritä pienin mahdollinen luku a ∈ ℕ kun
a) b = 3 · 170 – 2
b) b = 821 + (-5)²³³
c) b = 347 – 83 · 12
Vihje
Vihje: Mikä on luvun b jakojäännös, kun jaetaan luvulla 6.
11. Luonnollisia lukuja a, b ja c sanotaan Pythagoraan luvuiksi, jos on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivujen pituudet ovat a, b ja c. Määritä kaikki peräkkäiset luonnolliset luvut, jotka ovat Pythagoraan lukuja.
YO 1997/syksy
Vihje
Miten merkitset kolme peräkkäistä lukua?
12. Funktion f kertoimet toteuttavat ehdot c ≠ 0, d ≠ 0 ja ad = bc. Osoita, että f on vakiofunktio määrittelyjoukossaan. Mikä tämä vakioarvo on?
YO 1992/kevät
Vihje
Aloita osoittamalla, että ax+b=s(cx+d), jollakin vakiolla s ∈ℝ
