Jaollisuus

Jaollisuus

Olkoon a ja b kokonaislukuja. Luku a on jaollinen luvulla b, jos on olemassa jokin sellainen kokonaisluku t, että a = tb. Jos luku a on jaollinen luvulla b niin merkitää b|a. Jakokorrelaatio luetaan "luku b jakaa luvun a" tai "a on luvun b monikerta". Jos luku a ei ole jaollinen luvulla b, niin merkitään b∤a. Luku on aina jaollinen itsellään sekä luvulla 1.

Esimerkiksi luku -6 on jaollinen kolmella koska 6 = 3 · (-2).

Luku -7 puolestaan ei ole jaollinen luvulla 3 mutta on jaollinen itsellään: -7 = -7 · 1 ja luvulla yksi: -7 = 1 · (-7). Siispä 3|-6 ja 3∤-7.

Osamäärä ja jakojäännös

Olkoon a ja b kokonaislukuja. Kun suoritetaan jakolasku a/b, niin tulos voidaan ilmaista osamäärän ja jakojäännöken avulla. Osamäärä ja jakojäännös ovat kokonaislukuja. Osamäärä kertoo kuinka monta kertaa luku a menee lukuun b ja jakojäännös kertoo kuinka paljon tästä jää jäljelle.

Tarkastellaan jakolaskua 6/3.

Koska 6 = 2 · 3, niin osamäärä on 2 ja jakojäännös on 0. Jakolaskun 7/3 tapauksesssa 7 = 2 · 3 + 1 eli osamäärä on 2 ja jakojäännös on 1. Jakojäännös on aina vähintään yhtä suuri kuin luku 0 ja pienempi kuin jakava luku. Jos jakojäännös on nolla, niin jaettava luku on jaollinen jakajalla.

Jakoyhtälö

Olkoon a ja b kokonaislukuja sekä b > 0. Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset luvut t ja r, että

a = tb + r,

missä t ja r ovat kokonaislukuja sekä 0 ≤ r < b. Luku t on osamäärä ja luku r on jakojäännös.

Jos valitaan esimerkiksi b = 3, niin jakoyhtälön määritelmän mukaan jokainen kokonaisluku voidaan ilmaista muodossa

t · b, t · b + 1 tai t · b + 2.

Kaikki parilliset luvut voidaan ilmaista luvun 2 moninkertana muodossa t · 2 ja parittomat luvut muodossa t · 2 + 1.

Esimerkki 1

Selvitä jakolaskun osamäärä ja jakojäännös sekä kirjoita vastaava jakoyhtälö, kun

Ratkaisu

a) 12345/678 = 18.20796...

Osamääräksi saadaan luku 18. Jakojäännös saadaan vähentämällä jaettavasta luvusta osamäärän ja jakajan tulo eli jakojäännös on

123455 – 18 · 678 = 141.

Jakoyhtälö on

12345 = 18 · 678 + 141.

b) -78/4 = -19.5

Koska jakojäännöksen tulee olla suurempi kuin nolla niin osamäärä on -20. Lasketaan jakojäännös kuten edellä

-78 – (-20 · 4) = 2.

Jakoyhtälö on

-78 = -20 · 4 + 2.

c)

Jaettava on jaollinen jakajalla, osamäärä on 5³⁷⁰ ja jakojäännös on 0. Jakoyhtälö on

5⁴⁶⁸ = 5³⁷⁰ · 5⁹⁸.

Esimerkki 2

Olkoon a ja b parittomia kokonaislukuja. Todista väite 4|(a² – b²)

Ratkaisu

Koska a ja b ovat parittomia kokonaislukuja niin niin ne voidaan ilmaista muodossa a = 2s + 1 ja b = 2t + 1.

Siispä luku a² – b² on luvun 4 moninkerta ja näin ollen jaollinen luvulla 4.

Kongruenssi

Kongruenssin määritelmä

Olkoon n ∈ ℕ. Kokonaisluvut a ja b ovat kongruentteja modulo n, jos niiden erotus a – b on jaollinen luvulla n.

Jos a ja b ovat kongruentit modulo n, niin merkitään

a ≡ b (mod n).

Jos a ja b eivät ole kongruentit modulo n, niin merkitään

a ≢ b (mod n).

Merkinnän (mod n) voi jättää pois, jos luku n on asiayhteydestä muuten selvä.

Kongruenssin voi yhtä hyvin päätellä myös jakojäännöksestä: luvut a ja b ovat kongruentit modulo n jos ja vain jos niillä on sama jakojäännös kun ne jaetaan luvulla n.

Kongruenssin laskusäännöt

Kongruenssilla on monia ominaisuuksia, jotka muistuttavat yhtälönratkaisussa käytettäviä laskusääntöjä. Esimerkiksi kongruenttien lukujen summat, erotukset ja tulot säilyvät kongruentteina.

Kongruenttien lukujen summa, erotus ja tulo

Olkoon a, b, c, d ∈ ℤ, n ∈ ℕ ja a ≡ b (mod n) sekä c ≡ d (mod n).

Tällöin

(i) a + c ≡ b + d (mod n),

(ii) a – c ≡ b – d (mod n),

(iii) ac ≡ bd (mod n),

(iv) aᵏ ≡ bᵏ (mod n).

Todistus

Todistetaan kohdat i-iii, kohdan iv todistus selitetään sanallisesti. Oletuksen perusteella tiedetään, että luvut a – b ja c – d ovat jaollisia luvlla n.

Täten a – b = jn ja c – d = kn, joillakin kokonaisluvuilla j ja k.

Saadaan a = jn + b ja c = kn + d.

Esimerkki 4

Osoita 2020⁴⁴ + 17 ≡ 2023⁴⁴ – 4(mod 3)

Ratkaisu

Koska

niin kohdan (iv) perusteella

Koska

niin kohdan (i) perusteella

Jaollisuussääntöjä

Tavallinen lukujen merkintätapa on kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Kymmenjärjestelmä on kantalukujärjestelmä, jonka kantaluku on 10. Kymmenjärjestelmässä käytetään numeroita 0-9. Luvun numerot ovat luvun 10 potenssien ketoimia, esimerkiksi

68723 = 6 · 10⁴ + 8 · 10³ + 7 · 10² + 2 · 10¹ + 3 · 10⁰

Yleisesti ilmaistuna luku

aₙaₙ₋ₗ...a₁a₀= aₙ · 10ⁿ + aₙ₋ₗ · 10ⁿ⁻¹ +...+ a₁ · 10¹ + a₀ · 10⁰.

Jakojäännös, kun jakajana on luku 3

Kokonaisluvulla ja sen numeroiden summalla on sama jakojäännös, kun jaetaan luvulla 3.

Todistus

Koska 10 ≡ 1 (mod 3) ja kohdan (iv) perusteella tiedetään, että kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja, niin

Tästä seuraa luvun 3 jaollisuussääntö

Kokonaisluku on kongruentti modulo 3, jos ja vain jos sen numeroiden summa on kongruentti modulo 3.

Myös luvulle 9 on löydettävissä vastaavanlaiset ominaisuudet.

Jakojäännös, kun jaetaan luvulla 9

Kokonaisluvulla ja sen numeroiden summalla on sama jakojäännös, kun jaetaan luvulla 9.

Todistus

Koska myös 10 ≡ 1 (mod 9), niin yhtälailla

Tästä saadaan seurauksena luvun 9 jaollisuussääntö

Kokonaisluku on kongruentti modulo 9, jos ja vain jos sen numeroiden summa on kongruentti modulo 9.

Myös luvulle 11 on löydettävissä eräs yksinkertainen jaollisuussääntö, joka jätetään harjoitustehtäväksi.

Harjoituksia

Osion perustehtävät