Yhtälöpari

Lisätään yhtälöön toinen muuttuja y.

Pitäisi löytää muuttuja x ja y, joiden summa on 4

2 + 2 = 4

1 + 3 = 4

3 + 1 = 4

4 + 0 = 4

-1 + 5 = 0

Huomataan, että mahdollisia ratkaisuja on äärettömän paljon.

Tarvitsemme siis lisää tietoa näistä muuttujista, eli toisen yhtälön.

Edellisistä ratkaisuista vain x = 3 ja y = 1 toteuttavat myös tämän yhtälön.

Tätä kutsutaan yhtälöpariksi. Jos meillä on kaksi muuttujaa, tarvitsemme kaksi yhtälöä niiden ratkaisemiseksi. Oheisen yhtälöparin ratkaisu on x = 3 ja y = 1.

Yhtälöparissa meillä on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta. Yhtälöparin ratkaisu touteuttaa molemmat yhtälöt.

Yhteenlaskukeino

Yhteenlaskukeinossa on aina samat vaiheet

1. Viedään muuttujat yhtälön vasemmalle ja vakiot oikealle puolelle

2. Valitaan toinen muuttujista

3. Muokataan valitun muuttujan eteen vastaluvut yhtälöihin

4. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen

5. Ratkaistaan jäljelle jäänyt muuttuja

6. Sijoitetaan ratkaistu muuttuja toiseen alkuperäisistä yhtälöistä

Esimerkki 1

Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla

Valitaan muuttujaksi y ja kerrotaan alempaa yhtälöä luvulla 2

Sijoitetaan x=4 ensimmäiseen yhtälöön

Yhtälöparin ratkaisu x=4 ja y=2

Esimerkki 2

Kiinalainen arvoitus 5 000 vuoden takaa: Häkissä on fasaaneja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta fasaania ja kuinka monta kaniinia häkissä on?

YO lyhyt 2014k/6

Ratkaisu

Merkitään fasaaneja muuttujalla x ja kaniineja muuttujalla y.

Molemmilla eläimillä on vain yksi pää, joten saamme yhtälön

x + y = 35

Fasaaneilla on kaksi jalkaa ja kaniineilla neljä

2x + 4y = 94

Muodostetaan yhtälöpari

Ratkaistaan yhtälöpari aloittaen eliminoimalla x.

Fasaaneja on siis 23 ja kaniineja 12.

Harjoituksia

1. Ratkaise yhtälöpari

Vihje

Valitse eliminoitavaksi muuttuja y

2. Ratkaise yhtälöpari

YO lyhyt 2017s/1b

Vihje

Siirrä muuttujat aluksi vasemmalle ja vakiot oikealle.

3. Elsalla on 200 kolikkoa viisisenttisinä ja kymmensenttisinä. Jos viisisenttiset olisivat kymmensenttisiä ja kymmensenttiset viisisenttisiä, hänellä olisi rahaa 4 euroa enemmän. Kuinka monta viisisenttistä ja kymmensenttistä hänellä on?

Vihje

Minkälainen yhtälö tulee kolikoiden arvosta? Kolikoiden arvo + 4 € pitäisi olla sama kuin kolikoiden arvo, jos arvot olisi toisin päin.

4. Viisi kiloa tuotetta A ja kaksi kiloa tuotetta B maksaa 26,40 euroa ja neljä kiloa tuotetta A ja kolme kiloa tuotetta B maksaa 31,90 euroa. Laske kilohinnat.

Vihje

Voit merkitä A:n kilohintaa x ja B:n kilohintaa y.

5. Ratkaise yhtälöpari