Kertolaskusääntö
Erilliset tapahtumat
Satunnaisilmiöön liittyvät tapahtumat ovat erilliset, jos tapahtumilla ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta.
Esimerkki 1.
Ovatko tapahtumat A = “nostetaan korttipakasta kortti numero kuusi” ja tapahtuma B = “nostetaan korttipakasta kortti numero seitsemän” erillisiä?
Vastaus: Tapahtumat A ja B ovat erilliset, koska niillä ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta.
Ovatko tapahtumat A = “nostetaan korttipakasta kortti numero kuusi” ja tapahtuma D = “nostetaan korttipakasta pata”.
Vastaus: Tapahtumat A ja D eivät ole erillisiä tapahtumia, koska niillä on yksi yhteinen alkeistapaus, eli kortti patakuusi.
Esimerkki 2. Lukiossa on 655 oppilasta joista 210 harrastaa liikuntaa, 135 musiikkia ja 355 ei harrasta liikuntaa eikä musiikkia. Millä todennäköisyydellä lukion oppilas harrastaa musiikkia ja liikuntaa?
Musiikkia ja liikuntaa harrastaa 355 + 210 + 135 - 655 = 45 oppilasta
Tiedot voidaan esittää ns. Venn-diagrammilla:
Vastaus: Oppilas harrastaa musiikkia ja liikuntaa noin todennäköisyydellä 0,069
Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö
Jos tiedämme, että tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, niin
Esimerkki 3. Korttipakasta nostetaan kolme korttia ja jokaisen noston jälkeen kortti sekoitetaan takaisin korttipakkaan.
a) Ovatko tapahtumat riippumattomia?
b) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme herttaa peräkkäin?
c) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme ässää peräkkäin?
a) Tapahtuman ovat riippumattomia, koska kortti sekoitetaan aina takaisin pakkaan, eikä edelliset kortin nostot siten vaikuta seuraavien tapahtumien todennäköisyyksiin.
b)
c)
Esimerkki 4. Korttipakasta nostetaan kolme korttia ja kortteja ei nostojen jälkeen sekoiteta takaisin pakkaan.
a) Ovatko tapahtumat toisistaan riippumattomia
b) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme herttaa peräkkäin?
c) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme ässää peräkkäin?
a) Tapahtumat eivät ole toisistaan riippumattomia, koska edellisten korttien nostaminen pakasta vähentää pakassa olevien korttien määrää ja vaikuttaa seuraavien nostojen todennäköisyyteen.
b)
Vastaus: Todennäköisyys saada kolme herttaa peräjälkeen, kun kortteja ei palauteta noston jälkeen pakkaan, on noin 0,013.
c)
Vastaus: Todennäköisyys, että nostetaan kolme ässää peräjälkeen, kun korttia ei palauteta noston jälkeen pakkaan, on noin 0,00018.
Vastatapahtuma ja “ainakin yksi” laskut
Tapahtuman A vastatapahtumalla tarkoitetaan jonkin satunnaisilmiön kaikkia muita alkeistapausia, kun tapahtumaa A. Sitä kutsutaan myös A:n komplementtitapahtumaksi, mitä merkitään . Tapahtuman A ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on yksi, joten
Esimerkki 5. Kirjoita mikä on tapahtuman vastatapahtuma.
a) Tapahtuma A = “saadaan nopan heitolla 6”
b) Tapahtuma B = “saadaan nopan heitolla enintään 4”
c) Tapahtuma C = “ainakin yksi oppilas myöhästyy tunnilta”
Ratkaisu
a) Vastatapahtuma = “saadaan 5 tai vähemmän”
b) Vastatapahtuma = “saadaan 5 tai enemmän”
c) Vastatapahtuma = “yksikään oppilas ei myöhästy tunnilta”
Esimerkki 6.
Alma-Gunilla Heiskasen kotimatkan varrella töistä kotiin, on kaksi baaria. Alma-Gunillan puoliso Per-Ulf on listannut baarissa käynnit ja päätynyt seuraaviin riippumattomiin todennäköisyyksiin. Alma-Gunilla käy 10%:n todennäköisyydellä Pubissa ja 20%:n todennäköisyydellä Bistrossa.
a) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy kotimatkalla molemmissa baareissa?
b) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla ei käy kummassakaan baarissa kotimatkallaan?
c) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy ainakin yhdessä baarissa kotimatkallaan?
Tehtävänannon perusteella tiedetään, että
P(“käy Pubissa”) = 0,10 P(“ei käy Pubissa”) = 1 - 0,10 = 0,90
P(“käy Bistrossa”) = 0,20 P(“ei käy Bistrossa”) = 1 - 0,20 = 0,80
a) Käy molemmissa baareissa
Vastaus: Noin 2% todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy molemmissa baareissa.
b) Ei käy kummassakaan
Vastaus: Noin 72% todennäköisyydellä Alma-Gunilla ei käy kummassakaan baarissa
c) Tapahtuman “käy ainakin yhdessä” vastatapahtuma on “ei käy yhdessäkään”, joten
Vastaus: Alma-Gunilla käy kotimatkallaan ainakin yhdessä baarissa todennäköisyydellä 0,28.
Esimerkki 7. Erään firman myymistä tuotteista 2% on värivirheellisiä.
a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valituista kymmenestä tuotteesta yksikään ei ole värivirheellinen.
b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valituista kymmenestä tuotteesta ainakin yksi on värivirheellinen.
a) Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia. Koska P(“virheellinen) = 0,02, niin P(“virheetön”) = 0,98 ja
Vastaus: Todennäköisyys saada kymmenen virheetöntä tuotetta on noin 0,82
b) “Ainakin yksi” -laskut on helpointa laskea vastatapahtuman avulla.
Vastaus: Todennäköisyys, että kymmenestä tuotteesta ainakin yksi on värivirheellinen, on noin 0,18.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Monopoly-pelissä pelaaja heittää kahta noppaa ja siirtää pelinappulaansa silmälukujen summan verran.
a) Pelaaja on Tehtaankadulla. Jos hänen heittämiensä noppien silmälukujen summa on kuusi tai kahdeksan, niin hän joutuu Mannerheimintiellä tai Erottajalla sijaitsevaan toisen pelaajan omistamaan hotelliin. Kuinka suurella todennäköisyydellä näin tapahtuu?
b) Monopolyssa on seuraavat säännöt. Jos pelaaja saa molemmilla nopilla saman silmäluvun, niin hän saa heittää noppia uudelleen. Jos hän saa kolme kertaa peräkkäin molemmilla nopilla saman silmäluvun, niin hän joutuu ylinopeuden vuoksi vankilaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä näin tapahtuu?
Kevät 2018
a) 10/36 (0,28)
b) 1/216 (0,0046)
2. Pienestä lukiosta valmistui 22 ylioppilasta vuonna 2007. Kymmenen vuoden kuluttua valmistumisesta kaksi heistä päättää järjestää luokkakokouksen ja valitsee itselleen sopivan päivämäärän. Oletetaan, että jokaiselle muulle luokkakaverille tämä päivä sopii kuitenkin vain 85 % todennäköisyydellä.
a) Kuinka suurella todennäköisyydellä kaikki pääsevät paikalle?
b) Kuinka suurella todennäköisyydellä täsmälleen yksi ei pääse paikalle?
Syksy 2017
a) 0,039
b) 0,14
3. Alla olevan kuvion 1 kukin ruutu väritetään satunnaisesti ja toisista riippumatta joko ruskeaksi tai siniseksi.
a) Millä todennäköisyydellä saadaan kuvion 2 shakkilautakuvio?
b) Millä todennäköisyydellä mikään vaakarivi ei ole yksivärinen?
Kevät 2011
a) 1/512 (0,002)
b) 27/64 (0.42)
4. Hiihtokilpailun palkintojenjakotilaisuuteen osallistuu viisi nopeinta hiihtäjää, joilla oli kaikilla eri loppuaika. Tulospalvelu on kuitenkin pettänyt, eikä kukaan tiedä kilpailijoiden oikeaa järjestystä. Tilanteen pelastamiseksi palkintojenjakaja päättää ottaa riskin ja jakaa mitalit satunnaisesti.
a) Kuinka suurella todennäköisyydellä kaikki kolme mitalia menevät juuri oikeille kilpailijoille?
b) Kuinka suurella todennäköisyydellä mitalikolmikko on oikea? Mitalien järjestys saa siis olla väärä.
Kevät 2017
a) 1/60
b) 1/10
5. Tiedonsiirtojärjestelmässä havaittiin yksittäisen bitin saapuvan virheellisenä vastaanottajalle todennäköisyydellä 0,00015. Yksittäisten bittien siirtojen oletetaan olevan toisistaan riippumattomia.
a) Millä todennäköisyydellä vastaanottajalle saapuvassa 16 bitin jonossa on ainakin yksi virheellinen bitti?
b) Jos lähetetään 32 kappaletta 16 bitin jonoja, niin millä todennäköisyydellä vastaanottajalle saapuu ainakin yksi virheellinen jono?
Kevät 2010
a) 0,0024
b) 0,074
6. Vasenkätisiä on erään tiedon mukaan 10 % väestöstä. Kuinka monta henkilöä tulee satunnaisesti kootussa ryhmässä olla, jotta siinä olisi ainakin yksi vasenkätinen todennäköisyydellä 0,8?
Kevät 2009
16
7. Puutarhuri istuttaa siemeniä, joiden itävyys on 60 %.
a) Mikä on todennäköisyys, että kolmesta istutetusta siemenestä mikään ei idä? Mikä on todennäköisyys, että ainakin yksi siemen itää?
b) Siemeniä istutetaan viiteen ruukkuun kuhunkin kolme. Mikä on todennäköisyys, että jokaisessa ruukussa ainakin yksi siemen itää?
Syksy 2008
a) 0,064 Ainakin yksi 0,936
b) 0,718
8. Golfsimulaattorissa pallon puttaaminen reikään onnistuu varmasti, jos pallo on enintään 80 cm:n päässä reiästä. Tästä alkaen todennäköisyys saada pallo reikään on kääntäen verrannollinen pallon ja reiän välisen etäisyyden neliöön. Millä todennäköisyydellä kymmenestä pallosta ainakin yksi menee reikään putattaessa kolmen metrin etäisyydeltä?
Syksy 2007
0,522
9. Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä tuloksena on a) täsmälleen kaksi kuutosta, b) vähintään kaksi kuutosta?
Kevät 2006
a) 0,1608, b) 0,1962.
10. Pelaaja lyö euron vetoa, että rahanheiton tulos on kruuna, mutta häviää. Hän uudistaa vetonsa kaksinkertaistamalla panoksensa ja häviää jälleen. Näin jatkuu edelleen. Hävittyään hän uudistaa aina vetonsa kaksinkertaistamalla panoksensa. a) Mikä on todennäköisyys sille, että pelaaja häviää 20 kertaa peräkkäin? b) Muodosta lauseke sille rahamäärälle, jonka hän on menettänyt n peräkkäisen häviön jälkeen, ja laske sen avulla, kuinka paljon pelaaja jää voitolle, jos hän 20 häviön jälkeen voittaa 21. kerralla. Voitto on panoksen suuruinen.
Kevät 2005
a) 0,000000954
b) Häviö 2ⁿ-1, voitto 20 häviön jälkeen 1 €
Osion perustehtävät