Polynomifunktion kulku

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Polynomifunktion kulkua voidaan tutkia derivaatan avulla. Koska derivaatta funktion tietyssä kohdassa on tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, voidaan derivaatan merkistä päätellä jo paljon. 

Kun funktion kuvaaja on kasvava, tulee kaikista tangenteista nousevia suoria, eli niiden kulmakerroin on positiivinen. Derivaatta on siis positiivinen, kun funktio kasvaa. 

Kun funktion kuvaaja on vähenevä, tulee kaikista tangenteista laskevia suoria, eli kulmakerroin on negatiivinen. Derivaatta on negatiivinen, kun funktio vähenee.

Kohdissa, joissa funktion kuvaaja muuttaa suuntaa tangentti on x-akselin suuntainen, eli sen kulmakerroin on 0. Funktio muuttaa suuntaansa siis derivaatan nollakohdissa.

Alapuolella on funktion f kuvaaja ja sille piirrettyjä tangentteja.

Kohdissa, joissa funktio muuttaa suuntaansa derivaatta on nolla. Tangentit piirretty kuvaan punaisella. Ennen ensimmäistä suunnanmuutosta funktio on kasvava ja sinne piirretyt tangentit ovat nousevia suoria. Kuvassa vihreä tangentti kohdassa -1. 

Suunnanmuutospaikkojen, eli derivaatan nollakohtien välissä funktion arvot vähenee. Tälle alueelle piirretyt tangentit ovat laskevia suoria. Kohtaan 0,5 piirretty sininen tangentti.

Voimme siis tutkia funktion kulkua tutkimalla sen derivaattaa.

Esimerkki 1

Milloin funktio f on kasvava ja milloin vähenevä?

Ratkaisu

Derivoidaan ja tutkitaan derivaatan merkkiä.

Derivaatan nollakohta on x=1. Derivaatan kuvaaja on nouseva suora

Derivaatta saa siis negatiivisia arvoja, kun x<1 ja positiivisia arvoja, kun x>1. Tästä voimme päätellä funktion kulun.

Vähenevä

Kasvava

Kasvavuuteen ja vähenevyyteen otetaan yhtäsuuruus mukaan. Alapuolella funktion f kuvaaja sinisellä ja derivaatan kuvaaja vihreällä.

Ääriarvot

Ääriarvoiksi kutsutaan funktion arvoja, jotka saavutetaan derivaatan nollakohdissa. Näitä kohtia kutsutaan ääriarvokohdiksi.

Esimerkki 2

Määritä funktion f ääriarvokohdat ja ääriarvot.

Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohdat

Derivaatan nollakohdat ovat x=-1 ja x=2. Nämä ovat ääriarvokohdat.

Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tehdään merkkikaavio.

Merkkikaavion alapuolelle merkitään funktion kulkukaavio. Kun derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa ja funktio vähenee, kun derivaatta on negatiivinen. Kohdassa -1 on derivaatan nollakohta. Funktio vaihtaa suuntaansa ja tämä on paikallinen maksimikohta. Toisessa derivaatan nollakohdassa, kohdassa 2, on paikallinen minimikohta.

Funktion ääriarvot

Esimerkki 3

Määritä funktion g ääriarvot

Ratkaisu

Derivoidaan funktio ja haetaan sen nollakohdat

Derivaatalla on vain yksi nollakohta x=2. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se ei saa negatiivisia arvoja missään. Tehdään funktion kulkukaavio.

Derivaatan nollakohdan jälkeen funktio jatkaa kasvamistaan. Funktiolla ei ole siis ollenkaan ääriarvokohtia. Kyseessä on satulapiste.

Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä

Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä, joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa, jotka ovat tällä välillä.

Esimerkki 4

Määritä funktio f  suurin ja pienin arvo välillä [2,4]

Derivoidaan

Derivaatan nollakohdat ovat x=1 ja x=3. Näistä vain x=3 kuuluu välille [2,4]. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa, joka on välillä.

Kohdassa 4 funktio saa välin suurimman arvon 3, ja kohdassa 3 funktio saa pienimmän arvonsa -1. Alla funktion kuvaaja.

Aidosti kasvava ja vähenevä funktio

Funktio on aidosti kasvava tietyllä välillä, jos funktion arvot suurenevat, kun muuttujan arvot suurenevat.

Funktiota kutsutaan kasvavaksi, jos funktion arvot suurenevat tai ovat yhtäsuuria, kun muuttujan arvot suurenevat

Aidosti kasvava

Kasvava

Aidosti kasvavuuden voi todeta myös derivaatan avulla. Kun derivaatta on positiivinen, funktio on kasvava. Eli, jos derivaatta on positiivinen ja nolla vain erillisissä välin pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti kasvava tällä välillä.

Funktio on aidosti vähenevä tietyllä välillä, jos funktion arvot pienenevät, kun muuttujan arvot pienenevät.

Funktiota kutsutaan väheneväksi, jos funktion arvot vähenevät tai ovat yhtäsuuria, kun muuttujan arvot pienenevät.

Aidosti vähenevä

Vähenevä

Samalla tavalla, jos derivaatta on negatiivinen ja nolla vain erillisissä pisteissä tietyllä välillä, funktio on aidosti vähenevä tällä välillä.

Harjoituksia

1. Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä?

Vihje

Tee merkkikaavio

2. Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä?

Vihje

Etsi huippu

3. Missä funktio f on aidosti kasvava?

Vihje

Milloin derivaatta on positiivinen?

4. Missä funktio f on aidosti vähenevä?

Vihje

Milloin derivaatta on negatiivinen?

5. a) Tutki funktion f kulkua

b) Kuinka monta nollakohtaa funktiolla on?

Vihje

Bolzanon lause + aidosti kasvavuus ja vähenevyys

6. a) Tutki funktion f kulkua

b) Kuinka monta nollakohtaa funktiolla on?

Vihje

Bolzanon lause + aidosti kasvavuus ja vähenevyys

7. Määritä funktion f ääriarvot ja ääriarvokohdat

Vihje

Ääriarvokohdat = derivaatan nollakohdat

Ääriarvot = Funktion arvot derivaatan nollakohdissa

8. Määritä funktion f ääriarvot ja ääriarvokohdat

Vihje

Muista perustella minimi ja maksimi

9. Määritä vakio a siten, että funktio on aidosti kasvava

Vihje

Derivaatan pitää olla kaikkialla positiivinen

10. Osoita, että f on kaikkialla aidosti kasvava, kun a > 0

Vihje

Derivaatan tulee olla positiivinen

11. Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä

a) [4,6]

b) [1,6}

Vihje

Välin päätepisteet ja välille kuuluvat derivaatan nollakohdat

12. Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä

a) [2,5]

b) [-2,5]

Vihje

Välin päätepisteet ja välille kuuluvat derivaatan nollakohdat