Matriisilaskennan sovelluksia

Olisimme tietenkin voineet aloittaa matriisien käsittelyn niiden sovelluksista, mutta toisaalta sovelluksista on helpompaa puhua konkreettisesti nyt, kun tiedämme matriisien peruslaskutoimitukset. Sovelluksia on vaikka kuinka paljon, katsotaan niistä alempana kahta tarkemmin: vektorien muunnoksia ja yhtälöryhmien ratkaisemista. Aloitetaan kuitenkin matriisituloa motivoivalla esimerkillä taulukoidun aineiston muokkaamisesta.

Esimerkki 1

Opiskelijoiden matematiikan osaamista Johdatus korkeakoulumatematiikkaan -opintojaksossa arvioitiin palautettavien kotitehtävien, kahden kirjallisen välikokeen ja suullisen loppukokeen perusteella. Arvosanojen muodostuksessa nämä otettiin huomioon seuraavina prosenttiosuuksina

• Kotitehtävät 10%

• 1. välikoe 25%

• 2. välikoe 25%

• Loppukoe 40%

Kahdeksan opiskelijan pisteet kustakin osiosta on koottu 4 × 8 - matriisiin siten, että jokaisen osion maksimipisteet olivat 10 pistettä. Jokaisella opiskelijalla on matriisissa oma sarakkeensa:

Opintojakson arvosanoja varten opettaja haluaa jokaiselle opiskelijalle näiden suoritusten painotetun keskiarvon kunkin osion prosenttiosuudella painotettuna. Esimerkiksi siis ensimmäisessä sarakkeessa olevalle opiskelijalle summan

0, 10 · 7, 5 + 0, 25 · 4, 5 + 0, 25 · 5, 2 + 0, 40 · 8 ≈ 6, 4

Tämän lukuarvon ja erikseen määritellyn arvosana-asteikon perusteella opettaja jakaa lopulliset arvosanat opintojaksosta.

Painotettujen keskiarvojen laskeminen on työlästä, etenkin jos opiskelijoita on paljon. Huomattavasti helpompaa on rakentaa painokertoimista vektori

ja kertoa sillä opiskelijoiden tulosten matriisia. Lopputuloksena on vektori painotetuista keskiarvoista

Menetelmä on erityisen kätevä silloin, kun eri taulukkoaineistoja on paljon ja niitä analysoidaan toistuvasti. Tällaiset matriisilaskut ovat usein esimerkiksi taulukkolaskentaohjelmistojen hyödyllisyyden taustalla.

Vektorien lineaarikuvaukset

Yksi matriisien käyttötarkoitus on muuntaa vektoreita toisiksi vektoreiksi. Tätä kutsutaan vektorin lineaarikuvaukseksi ja matriisit ovat yksi kätevä tapa tehdä lineaarikuvauksia. Matriisi- ja vektorilaskentaa kutsutaankin yleisemmin lineaarialgebraksi.

Vektorien lineaarikuvauksia ovat esimerkiksi:

1. Vektorin pituuden muuttaminen, eli skaalaus.

2. Vektorin kääntäminen, eli rotaatio.

3. Vektorin muuttaminen toiseen ulottuvuuteen, esimerkiksi kolmiulotteisen vektorin muuttaminen kaksiulotteiseksi vektoriksi. Tätä kutsutaan projektioksi.

Vain kahteen jälkimmäiseen tarvitaan matriiseja, ensimmäisen voi tehdä yksinkertaisesti skalaarilla kertomalla. Esimerkiksi alkuperäistä puolet lyhyemmän, mutta samaan suuntaan osoittavan vektorin saat kertomalla puolikkaalla

Rotaatiot

Esimerkiksi fysiikassa tulee usein vastaan tilanteita, joissa haluaisimme kääntää joko jotain yksittäistä vektoria tai kaikkia käsillä olevia vektoreita johonkin tiettyyn suuntaan. Tämä tehdään rotaatiomatriisilla. Kahdessa ulottuvuudessa vektorin kääntäminen on vielä yksinkertaista, sillä vektoria voi kääntää vain origon ympäri, mutta kolmessa ulottuvuudessa mahdollisia käännöksiä on useita erilaisia. Katsotaan näitä molempia, aloitetaan kahdesta ulottuvuudesta, jossa käännämme tietenkin tason vektoreita.

Kun haluamme kääntää tason vektoria kulman θ verran vastapäivään (positiivinen kulman suunta on useimmiten valittu vastapäivään), käytämme seuraavanlaista rotaatiomatriisia:

Kulma voi olla annettu joko asteissa tai radiaaneissa, kunhan sini- ja kosinifunktiot ”tietävät” kumpaa kulmayksikköä ollaan käyttämässä. Jos haluamme kääntää vektoria myötäpäivään, tulee kulma antaa negatiivisena.

Esimerkki 2

Minkä vektorin saat, kun käännät vektoria

45 astetta vastapäivään?

Ratkaisu: Lasketaan tai etsitään ensin sinin ja kosinin arvot annetulle (positiiviselle) kulmalle

Käyttämällä näitä arvoja rotaatiomatriisissa, saamme käännetyksi vektoriksi:

Rotaatiomatriisi vain kääntää vektoria, ei muuta sen pituutta.

Voimme vielä tarkistaa, että vektori on vain kääntynyt, eikä sen pituus ole muuttunut. Alkuperäisen vektorin pituus on

ja käännetyn vektorin pituus on

Jos haluaisimme kääntää äskeisen vektorin takaisin lähtöpaikkaansa, voisimme kääntää sitä vastaavan negatiivisen kulman verran ja käyttää tuloksia (sini on pariton funktio ja kosini on parillinen funktio)

On kuitenkin toinenkin tapa palata alkuperäiseen vektoriin, joka toimii myös yleisemmin. Voimme nimittäin tehdä äskeisen kuvauksen käänteiskuvauksen kertomalla nyt saatua vektoria alkuperäisen rotaatiomatriisin käänteismatriisilla. Lopputulos on alkuperäinen vektori, sillä

Käänteiskuvaus on mahdollinen aina silloin, kun käänteismatriisi on olemassa. Voit harjoituksen vuoksi kääntää ylläolevan rotaatiomatriisin, kertoa sillä käännettyä vektoria ja varmistaa, että tuloksena on alkuperäinen vektori.

Kolmessa ulottuvuudessa tilanne hankaloituu, sillä vektoria voi kääntää useaan eri suuntaan. Samoin, toisin kuin kahdessa ulottuvuudessa, kolmessa ulottuvuudessa kahden tai useamman rotaation järjestyksellä on merkitystä - katsotaan tätä yksinkertaisen esimerkin avulla.

Yksinkertaisin tapa kääntää vektoreita kolmessa ulottuvuudessa on kääntää niitä kunkin koordinaattiakselin ympäri. Nämä rotaatiot tehdään näillä kolmella matriisilla, joissa kulmat ovat jälleen vastapäivään, jos pyörimisakseli osoittaa kohti katsojaa:

Esimerkki 3

Lähde liikkeelle x-akselin suuntaisesta yksikkövektorista

a) Käännä vektoria ensin 90 astetta z-akselin ympäri ja sen jälkeen 90 astetta x-akselin ympäri. Minkä vektorin saat?

b) Tee äskeiset rotaatiot vastakkaisessa järjestyksessä. Eroaako tulos edellisestä vastauksesta?

Ratkaisu

a) Otetaan lähtökohdaksi x-akselin suuntainen ykkösen pituinen sarakevektori

Poimitaan sitten edellisestä listasta z-akselin suuntainen rotaatio ja käytetään siihen tuloksia

Ensimmäisen rotaation jälkeen meillä on vektori

eli positiivisen y-akselin suuntainen yksikkövektori. Käännetään tätä vielä 90 astetta x-akselin ympäri

eli lopputulos on positiivisen z-akselin suuntainen yksikkövektori.

b) Tehdään äskeiset rotaatiot vastakkaisessa järjestyksessä. Meillä on jo kummatkin rotaatiomatriisit valmiina, joten lasketaan tällä kertaa harjoituksen vuoksi ensin niiden matriisitulo ja kerrotaan sillä vasta sen jälkeen alkuperäistä vektoria (matriisitulo on assosiatiivinen):

Tällä kertaa käännetty vektori osoittaa positiivisen y-akselin suuntaan. Tämä olisi voitu päätellä siitäkin, että kun x-akselin suuntaista vektoria käännetään x-akselin ympäri mitään ei tapahdu, joten oikeasti meillä on vain z-akselin suuntainen rotaatio, jonka laskimme jo edellä.

Koska rotaatioiden järjestys vaikuttaa lopputulokseen, voidaan sanoa, että rotaatiomatriisit eivät kommutoi. Tämä pätee kaikissa kahta ulottuvuutta suuremmissa avaruuksissa, vain kahdessa ulottuvuudessa rotaatiot kommutoivat.

Projektiot

Erityisesti fysiikassa on paljon tilanteita, joissa tarvitsemme vektorista vain tietyn osan. Esimerkiksi paineen suuruus lasketaan pinta-alan ja siihen kohdistuvan voimavektorin pintaa vasten kohtisuorassa olevan osan avulla.

Tällaisissa tilanteissa on hyvä osata projisoida vektori haluttuun tasoon.

Usein vektorin kohtisuoraa tai yhdensuuntaista komponenttia ei tarvitse erikseen etsiä, sillä vektorien pistetulo tekee projektion automaattisesti. Jos katsotaan pistetulon määritelmää kahden vektorin välisen kulman avulla

huomaamme, että tämä voidaan kirjoittaa käyttämällä yhden vektorin pituutta ja toisen vektorin tämän suuntaisen osan pituutta, eli jälkimmäisen projektiota ensimmäisen suhteen (kumpi tahansa vektori voidaan projisoida). Tätä kutsutaan vektorin skalaariprojektioksi.

Vektorin skalaariprojektio

Näin saamme käyttöömme vektorin pituuden sopivaan suuntaan. On kuitenkin useita tilanteita, joissa haluaisimme saada käyttöön koko vektorin, ei ainoastaan sen pituutta.

Katsotaan aiempaa esimerkkiä paineesta ja etsitään tapa poimia mistä tahansa vektorista se osa, joka on annettua pintaa vastaan kohtisuorassa. Yksinkertaisinta tämä on silloin, kun voimme valita koordinaatistomme siten, että pinta on xy-tasossa ja voimavektori on annettu tässä koordinaatistossa. Koska etsimme tälle pinnalle kohtisuoraa osaa voimavektorista, etsimme sen z-akselin suuntaista komponenttia.

Mikä tahansa kolmiulotteinen vektori voidaan projisoida zakselille käyttämällä projektiomatriisia

sillä tämä poimii vektorista sen z-komponentin muuttamatta vektorin pituutta.

Meille tutuissa tilanteissa koordinaatistoa voi aina kääntää sopivaksi. Tämä vastaa avaruuden kantavektoreiden valintaa. Fysiikassa olet saattanut törmätä koordinaatiston valintaan esimerkiksi kaltevaan tasoon liittyvissä laskuissa.

Pintaa vastaan kohtisuoran osan suuruus olisi siis

Samanlaiset projektiomatriisit toimivat tietenkin muidenkin koordinaattiakselien suuntaan.

Jokainen projektiomatriisi toteuttaa ehdon

sillä jo projisoitu vektori ei muutu, jos se projisoidaan uudelleen samaan suuntaan. Voit tarkistaa, että ehto toteutuu yllä olevan kaltaisille koordinaattiakselin suuntaan tapahtuville projektiomatriiseille.

Yleisemmin mihin tahansa suuntaan projisoidessa projektiomatriisista tulee monimutkaisempi. Yksi tapa lähestyä tällaista ongelmaa on yhdistää rotaatiomatriiseja ja projektiomatriiseja, jotta projektio saadaan haluttuun suuntaan.

Yhtälöryhmien ratkaiseminen

Viimeinen matriisilaskusovelluksemme on ratkaista yksinkertaisia yhtälöryhmiä. Perustellaan ensin miksi jokaisen yhtälöryhmän voi kirjoittaa matriisiyhtälönä ja otetaan sen jälkeen lyhyt muistutus yhtälöryhmien ominaisuuksista.

Otetaan aluksi esimerkiksi yhtälöpari

Yhtälöparin voi ratkaista esimerkiksi CAS-laskimella ja sen ratkaisu on

Kirjoitetaan sitten tämä yhtälöpari matriisiyhtälönä. Sitä varten siirretään ensin kaikki tuntemattomia sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle

Nyt jos kasaamme tuntemattomien kertoimista kerroinmatriisin, tuntemattomista yhden vektorin ja yhtälöparin oikealta puolelta vakiovektorin seuraavasti

voimme tarkistaa (kertomalla matriitulon auki), että seuraava matriisiyhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöparia

Ratkaistaan vielä tähän loppuun tämä yhtälöpari käyttämällä yllä olevan matriin A käänteismatriisia, sillä matriisiyhtälö voidaan ratkaista kertomalla sitä käänteismatriisilla (silloin, kun se on olemassa):

A:n käänteismatriisi on

joten

Ratkaisuksi saatiin se mitä pitikin, mutta toisaalta tilanne oli yksinkertaisin mahdollinen. Suuremmille yhtälöryhmille tarvitsemme eri keinoja, sillä suurempien matriisien kääntäminen osoittautuu työlääksi ilman tietokonetta.

Yhtälöryhmien ratkaisut eri tilanteissa

Yhtälöryhmän voi ratkaista joko graafisesti tai algebrallisesti (eli laskemalla). Käytännössä graafinen ratkaisu soveltuu vain kaksiulotteisiin tilanteisiin, eli yhtälöpareihin. Kolmen tai useamman tuntemattoman tapauksessa kätevintä on käyttää symbolista laskinohjelmistoa. Niiden ratkaisualgoritmit perustuvat matriiseiden käyttöön, joten nämä menetelmät on hyödyllistä tuntea.

Erotetaan ensin toisistaan kolme eri tilannetta. Lineaarisella yhtälöryhmällä voi olla:

i) Yksi yksikäsitteinen ratkaisu.

ii) Ääretön määrä ratkaisuja.

iii) Ei ainuttakaan ratkaisua.

i) Yksi yksikäsitteinen ratkaisu.

ii) Ääretön määrä ratkaisuja.

iii) Ei ainuttakaan ratkaisua.

Katsotaan vielä miten yhtälöparin ratkaisujen määrä näkyy kussakin tilanteessa algebrallisesti.

i) Ratkaistaan tämä yhtälöpari kertauksen vuoksi yhteenlaskumenetelmällä

1. Kerrotaan jälkimmäistä yhtälöä vakiolla 3:

2. Lasketaan yhtälöparin yhtälöt puolittain yhteen

3. Sijoitetaan y = 3/2 jompaankumpaan alkuperäisistä yhtälöistä ja ratkaistaan toinenkin tuntematon:

Yhtälöparin yksikäsitteinen ratkaisu on

ii) Kun yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja, se näkyy siten, että ratkaisu on olemassa kaikille x:n (tai y:n) arvoille. Esimerkiksi yllä olevan kuvan tapauksessa:

Kertomalla ensimmäistä yhtälöä luvulla 2

ja laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saamme tosiyhtälön:

0 = 0

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa ensimmäiseltä suoralta valittu piste toteuttaa myös toisen yhtälön. Yhtälöparin ratkaisu on suora

ja ratkaisuja on ääretön määrä.

iii) Jos yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua, päädymme ristiriitaan. Esimerkiksi:

Kerrotaan jälleen ensimmäistä yhtälöä kertoimella 2 ja lasketaan yhtälöt jälleen puolittain yhteen. Tuloksena on epätosi yhtälö

0 = 10

Yhtälöt ovat keskenään ristiriidassa ⇒ ei ratkaisua.

Gauss-Jordanin eliminaatiomenetelmä

Palataan esimerkkiin, jolla oli yksikäsitteinen ratkaisu

ja kirjoitetaan se typistetyssä matriisimuodossa, jonka jälkeen käytetään yksinkertaistettua yhteenlaskumenetelmää. Tätä ratkaisutapaa kutsutaan Gauss-Jordanin eliminaatiomenetelmäksi.

Tuntemattomien paikalla oleva vektori on aina samaa muotoa, joten voimme helpottaa kirjoitusasua jättämällä sen kokonaan pois. Jotta muistamme kyseessä olevan yhtälöryhmän ratkaiseminen, täytyy sopia jokin toinen helposti tunnistettavissa oleva merkintätapa. Kirjoitamme yhtälöparin muodossa:

Nyt tuntemattomien kertoimet ovat pystyviivan vasemmalla puolella olevassa kerroinmatriisissa ja vakiovektorin komponentit jäävät viivan oikealle puolelle.

Carl Friedrich Gauß (1777-1855)

Kuva: Public Domain

Yhtälöparien yhteenlaskukeinosta tutut operaatiot yhtälöiden summaamisesta ja vakioilla kertomisista suoritetaan seuraavien alkeisoperaatioiden avulla:

1. Riviä voi kertoa vakiotermillä.

2. Rivien järjestystä voi muuttaa.

3. Rivejä voi lisätä toisiinsa vakiotermillä kerrottuna.

Esimerkki 4

Kerrotaan alempaa riviä luvulla 3

Lisätään ensimmäinen rivi jälkimmäiseen

Tässä kohtaa kerroinmatriisi on niin kutsutussa yläkolmiomuodossa, josta yhtälöparin ratkaisut löydettäisiin helposti sijoitusmenetelmällä. Jatketaan kuitenkin alkeisoperaatioita loppuun asti.

Kerrotaan toista riviä luvulla 1/16

Lisätään ensimmäiseen riviin jälkimmäinen vakiolla −4 kerrottuna

Kerrotaan ensimmäistä riviä luvulla 1/3

Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan

Jonka voi palauttaa tavalliseen matriisinotaatioon

Yhtälöparien ratkaisussa Gauss-Jordanin menetelmä ei pääse vielä kunnolla oikeuksiinsa, sillä yhtälöparit saa muutenkin helposti ratkaistua. Mitä suuremmaksi yhtälöryhmä kasvaa, sitä hyödyllisempi tästä menetelmästä kuitenkin tulee. Lisäksi se antaa hyvän tavan rakentaa yhtälöryhmien ratkaisualgoritmeja.

Katsotaan vielä lopuksi miten alun erikoistilanteet näkyvät GaussJordanin eliminaatiomenetelmässä

i) Mikäli vasemman puolen matriisi voidaan palauttaa muotoon, jossa vasemmalla puolella on yksikkömatriisi:

on yhtälöryhmällä yksikäsitteinen ratkaisu. (Yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolo nähdään itseasiassa jo, jos kerroinmatriisi voidaan kirjoittaa yläkolmiomuotoon, koska silloin voidaan aina jatkaa yksikkömatriisiin.)

ii) Jos saadaan yksikin nollarivi

ratkaisuja on ääretön määrä.

iii) Jos taas saadaan muoto

ei ratkaisuja ole.

Hajoituksia

8. Oletetaan, että 85 kiloinen mies kuluttaa noin 300 kaloria per tunti kävellessään, 500 kaloria per tunti pyöräillessään ja 1000 kaloria per tunti juostessaan. 85 kiloinen Jaakko-Petteri suunnittelee viikon treeniohjelmaa tavoitteenaan kuluttaa maanantaina 1000 kaloria päivässä [K]ävelyllä, [P]yöräilyllä ja [J]uoksemalla ja lisäämällä tavoitetta 200 kaloria päivässä. Tarkista, että Jaakko-Petteri on osannut suunnitella treeninsä oikein ja täydennä puuttuvat treenimäärät tunteina

Vihje

Viikonpäivän kalorimäärä on sen päivän rivivektorin pistetulo annetun kolmivektorin kanssa.

9. Jos sinulla on jokin kaksiulotteinen vektori ja haluat tehdä seuraavat rotaatiot, millaisen rotaatiomatriisin tarvitset?

a) Käännä vektoria ensin vastapäivään 120 astetta, sitten myötäpäivään 30 astetta ja lopuksi vielä vastapäivään 90 astetta.

b) Käännä vektoria vastapäivään 180 astetta. Mitä huomaat?

Vihje

Sinun ei tarvitse kertoa vektoria matriiseilla. Riittää, että yhdistät rotaatiomatriisit.

10. Vektorien ortogonaaliset kuvaukset ovat sellaisia, että ne säilyttävät vektorien pistetulon. Toisin sanoen kahden vektorin pistetulo saa saman arvon ennen ja jälkeen tällaisen kuvauksen. Rotaatiot ovat yksi esimerkki ortogonaalisesta kuvauksesta: kahden samalla tavoin käännetyn vektorin pistetulo säilyy samana. Ortogonaaliset kuvaukset voidaan tehdä ortogonaalisilla matriiseilla, joille pätee ehto

Vihje

b) kirjoita potenssi tulona ja lisää jokaiseen väliin yksikkömatriisi sopivassa muodossa.

a) Osoita, että kaksiulotteinen rotaatiomatriisi on ortogonaalinen.

b) Matriisin ortogonaalinen kuvaus tehdään kertomalla matriisia toiselta puolelta ortogonaalisella matriisilla ja toiselta puolelta sen käänteismatriisilla