Yksinkertaiset differentiaaliyhtälöt
Tähän mennessä käsittelemissämme yhtälöissä on ollut yksi tai useampi muuttuja sekä yksi tai useampi niistä riippuva funktio. Differentiaaliyhtälöissä esiintyy tämän lisäksi myös funktioiden derivaattoja. Yksinkertaisimmissa tapauksissa differentiaaliyhtälön ratkaisu löytyy tutuilla integrointikeinoilla, mutta vaikeammissa tapauksissa tarvitaan uusia ratkaisutapoja, joista käsittelemme tässä luvussa muutamia. Monien differentiaaliyhtälöjen kohdalla käy niin, ettei analyyttistä ratkaisua lainkaan löydetä, vaan parhaaksi arvaukseksemme jää jollakin numeerisilla menetelmällä saatu epätarkka ratkaisu.
Differentiaaliyhtälöillä on lukuisia sovelluksia, sillä niitä tarvitaan aina, kun mallinnettavassa ilmiössä tapahtuu muutoksia. Esimerkiksi fysiikassa meitä kiinnostavat usein nimenomaan systeemien, tilojen tai liikkeen muutokset, joten erilaisten funktioiden derivaattoja ja niihin liittyviä differentiaaliyhtälöitä käsitellään jokaisella fysiikan osa-alueella Newtonin laeista hiukkasfysiikkaan. Erilaiset analyyttiset ja numeeriset tavat differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ovat siten läsnä lähes aina, kun luonnonilmiöitä mallinnetaan.
Yhtälöistä differentiaaliyhtälöihin
Tavallisissa yhtälöissä esiintyy erilaisten (yhdestä tai useammasta muuttujasta riippuvien) funktioiden yhtäsuuruuksia, ne voidaan siis kirjoittaa muodossa:
f(x, y, . . .) = 0
Oletamme tässä luvussa kaikkien funktioiden olevan jatkuvia ja derivoituvia ellei toisin mainita.
Differentiaaliyhtälöissä esiintyy funktioiden lisäksi niiden derivaattafunktioita. Yksinkertainen differentiaaliyhtälö voisi siten olla muotoa:
f(x, y, . . .) + f'(x, y, . . .) = 0
Rajoitumme tässä materiaalissa yhden muuttujan differentiaaliyhtälöihin yksinkertaisuuden vuoksi. Lisäksi merkitsemme pääosin yhtälössä esiintyvää funktiota symbolilla y, sillä se yksinkertaistaa lausekkeita hieman. Samoin jätämme muuttujan merkitsemättä, eli voimme kirjoittaa esimerkiksi:
f(x) + f'(x) = 0 ⇒ y + y' = 0
Yleisemmin kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa:
F(x, y) = 0 ,
missä y-riippuvuus sisältää myös kaikki tämän funktion derivaatat.
Differentiaaliyhtälöt eivät ole meille täysin vieraita, sillä olemme törmänneet niihin jo integraalilaskennan kohdalla etsiessämme integraalifunktioita. Esimerkiksi differentiaaliyhtälön
y' = sin x
ratkaisu on
y = −cos x + C ,
missä C on integroimisvakio. Ratkaisuja on ääretön määrä, yksi jokaiselle integroimisvakion arvolle.
Osa differentiaaliyhtälöistä ratkeaa yksinkertaisesti integroimalla, mutta suurta osaa ei voi ratkaista näin yksinkertaisesti. Monissa tapauksissa meidän täytyy arvata ratkaisun muoto, joissakin tapauksissa voimme käyttää CAS-laskinta yhtälön ratkaisuun ja joissain tapauksissa ratkaisu ei onnistu lainkaan.
Käydään alkuun läpi erilaisten differentiaaliyhtälöiden tyyppejä ja niihin liittyvää sanastoa. Tapaukset, joissa muuttuja on eksplisiittisesti esillä, kuten
y' = sin x
ovat eksplisiittiä differentiaaliyhtälöitä. Implisiittisissä (eli autonomisissa) differentiaaliyhtälöissä, kuten
y + y' = 0
muuttuja on piilossa funktion y sisällä.
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöissä on vain funktion ensimmäistä derivaattaa
y + y' = 0
kun taas esimerkiksi kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälöissä esiintyy kolmatta derivaattaa
y + y' + y''' = 0
Ylläolevat yhtälöt ovat kaikki lineaarisia, sillä niissä ei esiinny y:n korkeampia potensseja. Esimerkiksi yhtälö:
y2 + y' = 0
on epälineaarinen.
Ratkaisut ja alkuarvot
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut muodostavat ratkaisuparven, jossa on usein ääretön määrä ratkaisuja. Soveltavissa tilanteissa meillä on yleensä riittävä määrä lisäehtoja, eli alkuarvoja, joiden avulla voimme poimia ratkaisuparvesta haluamme ratkaisun. Jos esimerkiksi ylläolevassa differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa
y = −cos x + C
tiedämme lisäksi ehdon (eli alkuarvon)
y(0) = 1 ,
voimme kiinnittää integroimisvakion arvon:
y(0) = −1 + C = 1
⇒ C = 2
⇒ y = − cos x + 2
Saamme tulokseksi annetut alkuarvot toteuttavan yksikäsitteisen ja ekslisiittisen ratkaisun.
Alkuarvoja kutsutaan yleisemmin reunaehdoiksi, sillä ne eivät aina liity minkäänlaiseen alkuun.
Joissain tapauksissa (esimerkkejä seuraavassa kappaleessa) differentiaaliyhtälön ratkaisuparveen kuuluu yllä olevan yleisen ratkaisun lisäksi yksittäisiä erityisratkaisuita, jotka ovat eri muotoa kuin yleinen ratkaisu. Nämä erityisratkaisut löytyvät tyypillisesti kokeilemalla ja siten jäävät usein huomaamatta. Esimerkiksi yllä olevilla yhtälöillä
y + y' = 0
y + y' + y''' = 0
y2 + y' = 0
on kaikilla erityisratkaisu y = 0
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö y''=ex alkuarvoilla
Ratkaisu: e-kantaisen eksponenttifunktion derivaatta palauttaa saman funktion, joten differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista integroimalla kahdesti (voit tarkistaa ratkaisun derivoimalla kahdesti):
Kaksi integroimisvakiota kiinnitetään annetulla alkuarvoilla
Yksikäsitteiseksi ratkaisuksi saadaan:
Separoituvat differentiaaliyhtälöt
Yksi differentiaaliyhtälötyyppi, jonka ratkaiseminen on verrattain yksinkertaista (silloin, kun se on ylipäätään mahdollista), ovat separoituvat differentiaaliyhtälöt. Tällaisia ovat kaikki yhtälöt, jotka voidaan kirjoittaa muodossa
Yhtälö voidaan ratkaista integroimalla puolittain x:n suhteen ja vaihtamalla vasemmalla puolella integrointimuuttujaa
Ratkaisu löytyy, kunhan osaamme integroida kummallakin puolella olevat funktiot.
Esimerkki 2
Ratkaise differentiaaliyhtälö
Ratkaisu: Kirjoitetaan y:n derivaatta differentiaalien avulla, siirretään dx oikealle puolelle ja integroidaan puolittain
Tällaisissa ratkaisuissa on tärkeää huomata, kuinka integroimisvakio ilmestyy ratkaisuun oikeassa kohdassa. Voit tarkistaa, että funktio
y = tan (x) + C
ei toteuta alkuperäistä differentiaaliyhtälöä.
Esimerkki 3
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y' = −2xy
alkuarvolla
y(0) = 3
Ratkaisu: Kyseessä on jälleen separoituva differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista integroimalla puolittain
Eksponenttiyhtälöiden tapauksessa integroimisvakio on usein kätevintä liittää funktion eteen kertoimeksi. Näin saadaan suoraan käytettyä alkuarvoa
Usein käy niin, että aluksi hankalalta näyttävä differentiaaliyhtälö saadaan separoituvaan muotoon tekemällä sille ensin sopiva muuttujanvaihto. Tämä riippuu tietenkin tilanteesta ja sopivan muuttujanvaihdon löytäminen vaatii jonkin verran kokemusta ja perehtyneisyyttä. Kuten seuraavasta esimerkistä nähdään, kun alkuperäistä yhtälöä lähdetään ratkaisemaan ei ole lainkaan selvää mikä muuttujanvaihto johtaisi separoituvaan differentiaaliyhtälöön. Suurin osa ongelman ratkaisua onkin löytää sopiva muuttuja (tosin tässä se on annettu valmiiksi, mutta voit miettiä olisitko itse keksinyt ratkaisun).
Esimerkki 4
Ratkaise differentiaaliyhtälö
2xyy' = −x2 + y2
tekemällä muuttujanvaihto
y = ux
Ratkaisu: Kirjoitetaan ensin y:n derivaatta muuttujien x ja u(x) avulla (huomaa, että u riippuu yleisessä tapauksessa x:stä ja meidän tulee käyttää derivoinnin ketjusääntöä)
Sievennetään seuraavaksi alkuperäistä yhtälöä hieman ja vaihdetaan muuttujaa
Lopulta integroimalla saadaan ratkaistuksi funktio u ja siitä alkuperäinen funktio y
Kirjoitimme ratkaisun tähän muotoon, sillä siitä näkyy kuinka yhtälön ratkaisut ovat ympyröitä. Niiden säde sekä keskipisteen paikka (aina x-akselilla) määräytyvät integroimisvakiosta.
Ratkaisun löytäminen yritteen avulla
Separoituvat differentiaaliyhtälöt ovat hyödyllinen erikoistapaus, sillä ne voidaan ratkaista kunhan yhtälöön ilmestyvät funktiot saadaan integroitua. Toinen erikoistapaus ovat differentiaaliyhtälöt, jotka saadaan ratkaistua yritteen avulla.
Englanninkielisissä teksteissä yritteelle käytetään vakiintunutta saksankielistä termiä ansatz.
Monissa ilmiöissä, joita differentiaaliyhtälöiden ratkaisuilla kuvataan, toistuvat samat funktiot. Tällöin yhtälön muodosta voidaan päätellä minkälaisia funktioita ratkaisu sisältää ja ratkaisu voidaan kirjoittaa ”vakioita vaille” valmiiksi. Lopuksi alkuperäistä differentiaaliyhtälöä ja alkuarvoja käytetään näiden vakioiden kiinnittämiseen. Katsotaan yritteen käyttämistä esimerkkien avulla.
Esimerkki 5
Ratkaise differentiaaliyhtälö
käyttämällä yritettä (Etsimme funktiota, jonka muutosnopeus jokaisessa pisteessä on sama kuin funktion arvo siinä pisteessä, joten eksponenttifunktio on luonteva valinta yritteeksi)
ja alkuarvoa y(0) = 100
Ratkaisu: Derivoidaan yritefunktiota ja sijoitetaan saatu derivaattafunktio differentiaaliyhtälöön
Käytetään alkuarvoa ja saadaan toisen vakion arvo:
Ratkaisuksi saadaan siis
Lisäksi voidaan todeta, että myös erityisratkaisu
toteuttaa differentiaaliyhtälön, mutta ei annettua alkuarvoa.
Yritteen käyttö nopeuttaa yhtälönratkaisua merkittävästi silloin, kun differentiaaliyhtälön muoto on yksinkertainen tai sellainen, joka tulee muuten usein vastaan. Se vaatii kuitenkin hieman harjaantumista, sillä käytetyn yritteen tulee sisältää yhtälön kaikki mahdolliset ratkaisut. Vain silloin olemme ratkaisseet annetun differentiaaliyhtälön kokonaan (alkuehdot usein myös edellyttävät koko ratkaisun löytämistä).
Jos meillä on jokin lineaarinen differentiaaliyhtälö (vain funktioiden ensimmäisiä potensseja) muodossa
G(y, x) = 0 ,
josta tiedämme, että sen toteuttaa kaksi (lineaarisesti riippumatonta) funktiota
G(y1, x) = 0
G(y2, x) = 0
voimme käyttää yritteenä näiden ratkaisujen lineaarikombinaatiota
y(x) = Ay1(x) + By2(x),
missä A ja B ovat vakioita. Tämä yhdistelmä toteuttaa alkuperäisen yhtälön, sillä
G(y, x) = G(y1 + y2, x) = G(y1, x) + G(y2, x) = 0
Yritteen vakiot voidaan jälleen kiinnittää käyttämällä alkualkuarvoja.
Lineaarisesti riippumattomien funktioiden lineaarikombinaatio ei saa arvoa nolla millään nollasta poikkeavilla vakioiden arvoilla.
Menetelmä ei toimi epälineaarisille yhtälöille, koska lineaarikombinaatio ei toteuta alkuperäistä yhtälöä.
Esimerkki 6
Ratkaise differentiaaliyhtälö
etsimällä ensin kaksi sen toteuttavaa funktiota ja muodostamalla yrite niiden lineaarikombinaatiosta. Ratkaisun tulee toteuttaa alkuarvot
y(0) = 2
y'(0) = 0
(Vihje: Käytä eksponentiaalifunktioita.)
Ratkaisu: On nopea tarkistaa, että funktiot
toteuttavat annetun differentiaaliyhtälön. Käytetään niiden lineaarikombinaatiota ja lasketaan sen derivaatat (voit tarkistaa, että lineaarikombinaatio toteuttaa alkuperäisen differentiaaliyhtälön):
Alkuarvojen avulla saadaan vakioille yhtälöpari
Yhälöparin ratkaisuksi saadaan
Differentiaaliyhtälön lopullinen ratkaisu on
Differentiaaliyhtälöiden sovelluksia
Luonnossa havaittavien ilmiöiden käyttäytymistä voidaan mallintaa erilaisilla matemaattisilla malleilla, joissa esiintyy funktioita. Tällainen funktio voisi kuvata esimerkiksi jonkin mitattavan suureen arvoa kullakin ajanhetkellä. Funktion derivaatat puolestaan kuvaavat sen muutosnopeutta. Muutosnopeus voi olla ajan suhteen, mutta funktiosta riippuen myös jonkin toisen muuttujan suhteen.
Tilanteissa, joissa suureen muutosnopeus (jonkin muuttujan, esimerkiksi ajan, suhteen) on verrannollinen suureen arvoon, saamme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön, esimerkiksi:
y' = Ay
Tällainen tilanne voisi olla vaikkapa bakteerien määrä, silloin kun ne pääsevät lisääntymään vapaasti - mitä suurempi on bakteerien määrä, sitä nopeammin niiden määrä lisääntyy.
Jos taas verrannollisuus on funktion toiselle derivaatalle, saisimme toisen asteen differentiaaliyhtälön
y'' = By
ja niin edelleen. Aina, kun meillä on ilmiö, jossa sopii olettaa jonkin funktion ja sen derivaattafunktioiden liittyvän toisiinsa säännönmukaisella tavalla, törmäämme differentiaaliyhtälöihin. Fysiikassa sovelluksia tulee vastaan joka puolella, esimerkiksi virtausmekaniikassa, hiukkasfysiikassa ja virtapiirien tutkimisessa, jotka lähtökohtaisesti vaikuttavat olevan ilmiöinä kaukana toisistaan.
Differentiaaliyhtälöiden analyyttinen ratkaiseminen onnistuu vain tietyissä tapauksissa ja usein joudutaan turvautumaan numeeriseen ratkaisemiseen, tyypillisesti jossain tietyssä alueessa (yleistä ratkaisua harvoin saadaan). Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen on keskeisessä osassa monimutkaisten systeemien, kuten esimerkiksi biomolekyylien, rakenteen ja dynamiikan tutkimuksessa.
Esimerkki 7: Lämpöopin toisen pääsäännön mukaan eri lämpötiloissa olevien keskenään vuorovaikuttavien systeemien lämpötilaerot tasoittuvat ajan myötä. Esimerkiksi lämmin kahvikuppi viilenee ja sen lämpötila saavuttaa lopulta ympäristön lämpötilan. Usein voidaan lisäksi olettaa, että ympäristön lämpötila ei merkittävästi nouse, vaikka kahvikuppi luovuttaakin sinne energiaa. Newtonin jäähtymislain mukaan termodynaamisen systeemin (esimerkiksi kahvikupin) lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen systeemin ja sen ympäristön lämpötilaeroon.
Kahvikupin lämpötilaksi mitataan ensin 90 celsiusastetta ja viisi minuuttia myöhemmin 70 celsiusastetta. Kuinka kauan täytyy vielä odottaa, että sen lämpötila on laskenut 30 celsiusasteeseen? Huoneen lämpötilan voi olettaa pysyvän vakiona 20 celsiusasteessa.
Ratkaisu: Merkitään kahvikupin lämpötilaa hetkellä t funktiolla T(t) Lämpötilan muutosnopeus on verrannollinen lämpötilaeroon, eli lämpötilafunktion ja huoneenlämpötilan (vakio Th ) erotukseen. Yhtälönä tämä tarkoittaa
T' (t) = a(T(t) − Th )
Tämä on separoituva diffenrentiaaliyhtälö (voidaan ratkaista myös yritteellä):
Lämpötilan lausekkeessa olevat vakiot voidaan ratkaista alkuarvojen perusteella
Vakio C on kupin lämpötila mittauksen aloitushetkellä ja vakio a kertoo kuinka nopeasti kuppi viilenee (vakio liittyy lämmönjohtavuuteen). Lämpötilafunktioksi saadaan
Tästä voidaan ratkaista aika, jolloin lämpötila on kysytty 30 celsiusastetta
Lämpimän kappaleen lämpötila pienenee eksponentiaalisesti
Vastaus: Kahvikuppi saavuttaa 30 asteen lämpötilan noin 29 minuutin kuluttua alusta lukien, eli tulee vielä odottaa noin 24 minuuttia.
Katsotaan vielä lämpötilafunktion käyttäytymisestä, kun aikaa kuluu enemmän
eli kupin lämpötila lähestyy huoneenlämpötilaa pitkällä aikavälillä
Esimerkki 8: Kasvainten kasvua voidaan kuvata niin kutsutun Gompertzin mallin avulla. Mallissa kasvaimen massan m kasvunopeudelle pätee:
m'(t) = −Am(t) ln(m(t)) ,
missä A on kasvaimelle ominainen positiivinen kerroin. Ratkaise differentiaaliyhtälöstä massan lauseke ajan suhteen ja etsi lauseke ajalle, jossa kasvaimen massa kaksinkertaistuu alkuperäisestä arvostaan.
Ratkaisu: Kyseessä on jälleen separoituva differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista
Oikealla puolella olevan integraalin voisi ratkaista CAS-laskimella, mutta ratkaistaan se tässä muuttujanvaihtoa käyttäen. Integraaliin voisi kokeilla myös osittaisintegrointia (ei auta) ja erilaisia muuttujia voi myös kokeilla useampia. Toimiva ratkaisu on
Nyt integraali saadaan muotoon, joka osataan ratkaista
Ratkaisu jakaantuu itseisarvon vuoksi kahteen osaan
Ratkaisun kaksi haaraa ovat siis
Tutkitaan vielä näiden funktioiden käyttäytymistä. Jotta ehto m > 1 täyttyy ylemmässä yhtälössä (ja vastaava ehto alemmassa yhtälössä), täytyy integroimisvakion olla positiivinen. Tämä näkyy jo aiemmassa vaiheessa, sillä esimerkiksi hetkellä t = 0 täytyy olla voimassa
jonka vasen puoli on positiivinen. Molemmat vakiot ovat siis positiivisia, jolloin näemme massan muutosnopeudesta
että ylempi tapaus kuvaa kutistuvaa kasvainta ja alempi tapaus kasvavaa kasvainta.
Kasvaimen kutistuminen selitetään kasvaimen keskiosiin syntyvällä hapenpuutteella ja kasvaimen surkastumisella.
Tehtävänannossa haluttiin lauseke ajalle, joka tarvitaan kasvaimen kaksinkertaistumiseen. Se saadaan siis tapauksesta (m < 1)
Kaksinkertaistumisaika on positiivinen, sillä vakiot ovat positiivisia.
Differentiaaliyhtälöiden visualisointia
Differentiaaliyhtälöitä voi usein ratkoa CAS-laskimella (esimerkiksi Geogebralla) ja siten kätevästi piirtää miltä ratkaisut näyttävät eri integroimis- tai muiden vakioiden arvoilla.
On kuitenkin myös toinen kätevä tapa visualisoida ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisuita. Jos ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö saadaan kirjoitettua muotoon
y' = F(y, x),
on yhtälön oikealla puolella lauseke, joka kuvaa (x, y)-koordinaatistossa funktion y muutosnopeutta (funktion derivaatan arvoa kussakin pisteessä). Jos katsomme esimerkiksi differentiaaliyhtälöä
y'= y − x ,
kertoo oikean puolen lauseke meille funktion muutosnopeuden kussakin koordinaatiston pisteessä. Koska tämä voidaan ajatella funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimena, voidaan funktion käyttäytymistä hahmotella koko koordinaatistossa piirtämällä näitä tangentteja tai niiden arvoja koordinaatistoon.
Geogebrassa tämä tehtään ”Virtauskaavio”-toiminnolla, johon syötetään derivaattafunktion implisiittinen lauseke ja mahdollisesti visualisointia helpottavia lisäparametreja (kuten piirrettävien tangenttien tiheys ja pituus).
Vastaavasti aikaisemmassa esimerkissä näkemämme differentiaaliyhtälö
2xyy' = −x2 + y2
jonka ratkaisut olivat keskipiste x-akselilla olevia ympyröitä
näyttäisi virtauskenttä-visualisointina tältä
Kokeile
Virtauskaavio Geogebrassa. Kokeile itse erilaisten differentiaaliyhtälöiden visualisointia Geogebraappletilla
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen muotoja erilaisilla vakioiden arvoilla saadaan virtauskaavioista seuraamalla tangenttiviivoja. Kuten jo nimestäkin voi päätellä, tällaisia virtauskaavioita voidaan käyttää differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen ominaisuuksien hahmottamisen lisäksi myös monien fysiikan ilmiöiden mallintamiseen.
Esimerkki 9: Käytä yllä olevaa differentiaaliyhtälön
y' = y − x
virtauskaavioita arvioimaan origon kautta kulkevan ratkaisun arvo kohdassa x = −2.
Ratkaisu: Etsitään kuvaajasta viivat, jotka kulkevat origon kautta ja seurataan niitä haluttuun kohtaan (piste B).
Silmämääräinen arvio ratkaisusta halutussa kohdassa.
Saadaan arvioiksi: y(−2) ≈ −1, 5
Geogebrasta löytyy myös keinot arvioida minkä tahansa differentiaaliyhtälön ratkaisun kulkua tarkemmin. Numeerisella integoinnilla saadaan seurattua käyrää tarkasti. Tässä tapauksessa
Numeerisella integroinnilla saatu ratkaisu halutussa kohdassa. Käytä Geogebran komentoa RatkaiseDY(<f'(x,y)>, <x:n Alkuarvo>, <x:n loppuarvo>, <Askel> ) kuten kuvassa näkyy.
Tässä tapauksessa numeerisella integroinnilla saadaan
y(−2) ≈ −1,14 ,
joten silmämääräinen arvio oli melko epätarkka
Harjoituksia
1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt
Vihje
Yhtälöiden ratkaisut ovat integraalifunktioita integroimisvakioineen.
2. Joidenkin differentiaaliyhtälöiden ratkaisuparvet jakautuvat useampaan haaraan. Tarkista, että differentiaaliyhtälöllä
Vihje
Ota derivaatta ja sijoita differentiaaliyhtälöön.
on yleinen ratkaisu
sekä erityisratkaisu
Piirrä koordinaatistoon erityisratkaisu, sekä yleinen ratkaisu useammalla eri vakion C arvolla (Geogebrassa voit käyttää liukukytkintä ratkaisujen tutkimiseen).
3. Ratkaise differentiaaliyhtälö
Vihje
Ratkaise separoimalla.
4. Ratkaise differentiaaliyhtälö
Vihje
Ratkaise separoimalla.
alkuarvolla y(0) = −2
5. Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö
Vihje
Käytä muuttujaa u = y + 4x
sopivaa muuttujanvaihtoa käyttämällä.
6. Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö
Vihje
Käytä muuttujaa u = y/x
käyttämällä sopivaa muuttujanvaihtoa ja reunaehtoa y(−2) = 2
7. Ratkaise differentiaaliyhtälö
Vihje
Etsi ensin vakio a ja käytä vasta sen jälkeen reunaehtoja.
Käyttämällä yritettä y = A sin ax + B cos ax ja reunaehtoja
8. Differentiaaliyhtälöiden, jotka ovat muotoa
Vihje
Derivoi yritettä ja sijoita differentiaaliyhtälöön.
ratkaisut saadaan niin kutsutun karakteristisen yhtälön avulla:
Silloin, kun juuret ovat reaalisia, on differentiaaliyhtälön ratkaisu eksponenttifunktioiden lineaarikombinaatio. Tutki tätä prosessia ratkaisemalla differentiaaliyhtälö
aloittamalla yritteestä:
ja ratkaisemalla vakion λ arvot.
9. Edellisessä tehtävässä ratkaistu differentiaaliyhtälö on homogeeninen, eli sen oikealla puolella ei ole ekslisiittistä riippuvuutta muuttujasta x. Esimerkki vastaavasta epähomogeenisesta differentiaaliyhtälöstä olisi
Vihje
Tee polynomimuotoinen yrite ja etsi sen vakiot.
Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu saadaan, kun vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisuun lisätään yksi epähomogeenisen yhtälön toteuttava erityisratkaisu. Tässä tapauksessa ratkaisu on siis muotoa
missä f(x) toteuttaa epähomogeenisen yhtälön. Etsi tämä funktio tässä esimerkkitapauksessa ja kirjoita epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
10. Poliisi saa hälytyksen Eirassa tapahtuneesta murhasta ja silminnäkijähavainnon epäillystä Tonista, joka on paennut paikalta. Poliisi tavoittaakin Tonin pian läheisestä rantakahvilasta, jonne hän on saapunut autollaan. Murhasta on nyt kulunut puoli tuntia ja Toni väittää olleensa kahvilassa jo ainakin tunnin, joten hän ei mitenkään voi olla murhaaja. Ovela poliisi mittaa Tonin auton moottorin lämpötilaksi pidätyshetkellä 60 °C ja puolta tuntia myöhemmin 40 °C. Onko Tonin alibi uskottava, kun tiedetään auton moottorin käyvän normaalisti noin sadassa asteessa ja ulkolämpötila murhapäivänä on 25 °C? (Voit käyttää suoraan esimerkissä Newtonin jäähtymislaille saatua ratkaistua annetuilla reunaehdoilla.)
Vihje
Poimi ratkaisu teoriaosan esimerkistä ja etsi sen vakiot.
11. Nopeus tarkoittaa paikan muutosnopeutta (ajan suhteen). Kiihtyvyys puolestaan on nopeuden muutosnopeus. Johda paikan lauseke tilanteessa, jossa kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, eli sen kiihtyvyys on vakio. Määritä sen avulla kappaleen paikka hetkellä t = 2,0 s alkuarvoilla
Vihje
Kirjoita kiihtyvyys paikan toisena aikaderivaattana ja ratkaise paikan lauseke.
12. Radioaktiiviset isotooppien ytimet hajoavat tietyllä ajanjaksolla isotooppikohtaisella todennäköisyydellä. Näytteessä tapahtuvien hajoamisten määrää sekunnissa kutsutaan aineen aktiivisuudeksi (yksikkö becquerel 1 Bq = 1 ⅟s ). Aktiivisuus on suoraan verrannollinen radioaktiivisten ydinten lukumäärään, sillä mitä enemmän ytimiä on, sitä enemmän niitä sekunnissa hajoaa. Ilmiötä kuvataan yhtälöillä
Vihje
Ratkaise ensin radioaktiivisten ydinten määrän lauseke ja siitä aktiivisuuden lauseke
missä λ on isotooppikohtainen hajoamisvakio.
Erään näytteen aktiivisuudeksi mitattiin ensin 4200 Bq ja tuntia myöhemmin 3700 Bq. Määritä aineen puoliintumisaika, eli aika, jossa radioaktiivisten ydinten määrä puolittuu.
13. Fysiikassa esimerkiksi jousen venymän yhteydessä käytetään niin kutsutun harmonisen voiman liikeyhtälöä. Harmoninen voima on suoraan verrannollinen jousen venymään (eli paikkaan verrattuna jousen ”tasapainoasemaan”) ja se aiheuttaa jouselle kohti tasapainoasemaa suuntautuvan kiihtyvyyden. Kiihtyvyys on paikan toinen aikaderivaatta, joten voimassa on Newtonin II lain mukainen liikeyhtälö:
Vihje
Käytä yritteessä siniä ja kosinia sopivalla argumentilla (sama sisäfunktio molemmissa).
missä m on kappaleen massa ja k on jousesta riippuva jousivakio (kumpikaan ei muutu ajan myötä).
Rakenna trigonometristen funktioiden avulla yrite, joka ratkaisee differentiaaliyhtälön (muuttujana aika)
mx'' = −kx
ja etsi venymän lauseke alkuarvoilla (kaikkien suureiden arvot ovat sellaisissa yksiköissä, joilla venymäksi tulee senttimetrejä)
tilanteessa, jossa kappaleen massa ja jousivakio ovat
Laske vielä lopuksi venymän suuruus kun t = 1.
14. Piirrä laskentaohjelmistolla differentiaaliyhtälö
Vihje
Käytä Geogebran virtauskaavio-työkalua
koordinaatistoon ja arvioi sen avulla pisteen (0, 3) kautta kulkevan ratkaisun arvo pisteessä x = 10.
15. Tutki virtauskaavio-työkalun avulla miten differentiaaliyhtälön
Vihje
Ratkaisut jakautuvat parittomiin ja parillisiin vakion arvoihin.
ratkaisut eroavat toisistaan vakion eri n arvoilla. Löydätkö jotain säännönmukaisuutta.