Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Matemaattinen malli

Maailmaa pyritään jäsentämään ja mallintamaan erilaisia malleja käyttäen. Matemaattinen malli on eräs tapa. Mikäli huomataan, että jotkin asiat ovat riippuvaisia toisistaan, voimme löytää tätä riippuvuutta kuvaavan säännön ja rakentaa matemaattisen mallin.

Kun liikumme, huomataan kuljetun matkan ja käytetyn ajan välillä olevan selvä riippuvuus. Näin saadaan matemaattinen malli nopeudelle, joka on v=s/t. Eli nopeus on kuljettu matka jaettuna siihen kuluneella ajalla.

Yleensä matemaattinen malli on likiarvo tutkittavasta kohteesta ja se toimii tietyissä rajoissa.

Esimerkki 1

Liisa-Petteri tutki löytämäänsä meteoriittia. Hän mittasi sen massan ja tilavuuden ja sai seuraavanlaiset tulokset.

Liisa-Petteri syötti tulokset taulukkolaskentaohjelmaan. Pisteet näyttivät asettuvan lähes suoralle viivalle, joten hän sovitti niihin suoran.

Tämän suoran kulmakerroin on noin 3,2 ja se kuvaa tiheyttä. Tiheyden matemaattinen malli on massa jaettuna tilavuudella.

Esimerkki 2

Liisa-Petteri ja serkkunsa Klaus-Heidi matkasivat taksilla koteihinsa. Ensimmäisenä jäi Liisa-Petteri, jolloin taksimittari näytti 23,25 €. Tämän jälkeen Klaus-Heidi jatkoi omaan kotiinsa ja perillä taksimittari näytti 41,78 €. Liisa-Petterin kotiin oli matkaa 15 km ja Liisa-Petteriltä Klaus-Heidin kotiin oli vielä matkaa 17 km.

Mikä oli taksin aloitusmaksu ja mikä kilometrimaksu?

Ratkaisu

Taksimatkan hinta kasvaa lineaarisesti, joten muodostetaan suora kuvaamaan hintaa.

Suoralle saadaan kaksi koordinaatistopistettä (15;23,25) ja (32;41,78), eli ensimmäinen on Liisa-Petterin matka ja taksimittarin lukema, jälkimmäinen Klaus-Heidin koko matka ja taksimittarin lukema.

Sijoitetaan pisteet GeoGebraan ja asetetaan suora kulkemaan pisteiden kautta.

Suoran yhtälö on y = 1,09x + 6,9

Tässä kulmakerroin on kilometrihinta, eli 1,09 €/km ja vakiotermi on aloitusmaksu, eli 6,9 €.

Esimerkki 3

Eräässä toisessa taksiyhtiössä on vain kilometrimaksu 1,24 € ja kahdelta ensimmäiseltä kilometriltä ei veloiteta.. Minkäpituinen matka tulee halvemmaksi kuin esimerkin 2 yhtiöllä?

Ratkaisu

Merkitään hintaa y ja kilometrejä x. Tällöin taksimatkan hintaa kuvaa yhtälö y = 1,24(x – 2)

Piirretään suora samaan koordinaatistoon edellisen esimerkin suoran kanssa.

Kuvaajien perusteella nähdään, että hinta on yhtä suuri kohdassa 62,53 km, eli halvemmaksi tulee korkeintaan 62 km matka.

Matemaattinen malli voi olla myös täsmällinen. Tällaisia ovat esimerkiksi pinta-alat ja tilavuudet. Alla on suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-alojen täsmälliset mallit.

Mikäli matemaattisen mallin kuvaaja on suora, kutsutaan sitä lineaariseksi malliksi.

1, Syötä seuraavat tiedot taulukkolaskentaohjelmaan ja sovita niihin suora.

Vihje

Valitse xy-hajonta

2. Syötä seuraavat tiedot taulukkolaskentaohjelmaan ja sovita niihin suora.

Vihje

Valitse xy-hajonta

3. Liisa-Petterin torikojulla oli 65 asiakasta kello 10 , 42 asiakasta kello 12 ja 22 asiakasta kello 14. Asiakkaiden määrä väheni lineaarisesti. Mihin aikaan torikojulla ei ollut enää yhtään asiakasta?

Vihje

Kerää tiedot taulukkoon ja sovita pisteisiin suora.

4. Alla on erään omakotitalon katolla olevien aurinkopaneelien tuottama teho kellonajan mukaan. Sovita suora taulukkolaskentaohjelmalla ja selvitä mikä on teho klo. 12.

Vihje

Ekstrapoloi eteenpäin vähintään 2h

5. Autovuokraamo Kaara Vakka-Suomesta vuokrasi auton käyttöön 20 € vuorokausihinnalla ja tämän lisäksi 0,30 € per kilometri. Autovuokraamo Korttimatkalle veloitti vain kilometrimaksun 0,55 € per kilometri. Muodosta päivävuokrille matemaattiset mallit ja piirrä ne GeoGebralla. Millä kilometrimäärällä vuokraamoiden hinnat ovat yhtäsuuret? Kuinka suuri päivävuokra tällöin on?

Vihje

Merkitse kilometrimäärää muuttujalla x

6. Fysiikan tunnilla mitattiin jousen venymää käyttäen erilaisia punnuksa. Tulokset sijoitettiin koordinaatistoon ja pisteisiin sovitettiin suora. Yhtälöksi saatiin y = 0,023x, missä x on punnuksen massa (g) ja y on jousen venymä (cm).

a) Mikä on jousen venymä, kun punnuksen massa on 400 g?

b) Mikä on punnuksen massa, jos venymä on 12 cm?

Vihje

Sijoita ja ratkaise yhtälö.

7. Alapuolella on kuvaajat, jotka näyttävät Liisa-Petterin ja Klaus-Heidin etenemisen maastopyöräilykilpailussa. Punainen on Liisa-Petteri ja sininen Klaus-Heidi.

a) Mitä tapahtuu hetkellä x = 0 ja x = 10?

b) Mitä tapahtuu hetkellä x = 60?

c) Kuinka pitkä kilpailumatka oli?

d) Kumpi tuli maaliin ensimmäisenä?

Vihje

Matkan pituus nähdään y-koordinaatista ja aika x-koordinaatista.

8. Liisa-Petterin kärpässienifarmilla kasvoi vuonna 2020 120 kärpässientä. Vuonna 2022 kärpässieniä kasvoi 200. Kärpässienien määrä kasvaa vuosittain lineaarisesti. Muodosta GeoGebran avulla kärpässienien määrää kuvaava suora ja selviä kuinka monta kärpässientä kasvaa vuonna 2030. Minä vuonna kärpässienien määrä ylittää 1000?

Vihje

Merkitse kaksi pistettä. x on vuodet. (Vuosi 2020 = 0) Piirrä suora näiden pisteiden kautta. Piirrä suora x=10 ja ratkaise leikkauspiste.

9. Vuonna 2010 Liisa-Petterin maatilalla asui 20 kissaa. Vuonna 2015 kissoja oli 45. Muodosta Geogebran avulla lineaarinen malli, ja selvitä kuinka monta kissaa Liisa-Petterillä oli vuonna 2022.

Vihje

Merkitse vuodet x ja kissojen määrä y. Suora kahden pisteen kautta.

10. Liisa-Petterin kotikaupungin Manttijuun asukasluku kasvaa ennusteen mukaan lineaarisesti aikavälillä 2012 - 2030 niin, että kaupungissa on 250 345 asukasta vuoden 2012 alussa ja 325 550 asukasta vuoden 2022 alussa. Kuinka monta asukasta kaupungissa on vuoden 2030 alussa ennusteen mukaan?

Vihje

Suora kahden pisteen kautta.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

a) Kuinka monta prosenttia hiilidioksidin määrä ilmakehässä on lisääntynyt edellä mainittujen mittauskertojen välillä?

b) Tutkija mallintaa hiilidioksidipitoisuuden kasvua suoralla y = kt + 316. Tässä y kuvaa hiilidioksidipitoisuutta (yksikkönä ppm) ja t kulunutta aikaa vuoden 1958 maaliskuusta alkaen (yksikkönä vuosi). Määritä se suoran kulmakerroin k, jolla malli antaa mitatun tuloksen maaliskuussa 2016.

c) Minkä arvon b-kohdan mallisi antaa maaliskuun 2020 hiilidioksidipitoisuudelle?

Kevät 2018

a) 28%

b) 1,53

c) 411 ppm

2. Erään mallin mukaan naisten kuntoharjoittelun maksimisyke lasketaan kaavalla 226 - T ja miesten maksimisyke kaavalla 220 - T , kun T on henkilön ikä vuosina.

a) Kuinka monta prosenttia 18‐vuotiaan naisen maksimisyke on samanikäisen miehen maksimisykettä korkeampi?

b) Erään suosituksen mukaan kuntoharjoittelussa sykkeen tulisi olla 60−70 % maksimi‐ sykkeestä. Määritä nämä rajat 30‐vuotiaalle naiselle.

Kevät 2015

a) 3%

b) Alaraja 118, Yläraja 137

3. Helsinki, Salo ja Turku ovat likipitäen samalla suoralla. Helsingin ja Thrun välimatka on noin 165 km sekä Salon ja Turun välimatka noin 55 km. Helsingissä oli eräänä päivänä lämpötila 17,1 °C ja Turussa 22,3 °C. Lämpötila muuttui tasaisesti Helsingin ja Turun välillä. Mikä oli tällöin lämpötila Salossa?

Syksy 1998

20,6 °C

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse