Eksponenttifunktion derivaatta
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Neperin luku
on matematiikassa yksi keskeinen irrationaalinen vakio. Kuten esimerkiksi π. Neperin luvulla on seuraava tärkeä ominaisuus. Kun se asetetaan eksponenttifunktion kantaluvuksi, funktion derivaatta on se itse.
f(x)
f'(x)
Vastaavasti e-kantaista logaritmia kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi. Merkitään
Esimerkki 1
Esimerkki 2
Esimerkki 2 tapauksessa eksponentissa on funktio 2x, joten derivoitaessa pitää muistaa kertoa sisäfunktion derivaatalla.
Esimerkki 3
Derivoidaan 2x
Käytetään hyväksi neperin lukua ja luonnollista logaritmia ja merkitään
Nyt voidaan muodostaa derivaatta
Yleisesti eksponenttifunktion derivaatalle pätee
Esimerkki 4
Esimerkki 5
Määritä funktion f ääriarvot
Derivoidaan funktio käyttäen osamäärän derivoimiskaavaa.
Nimittäjä on aina suurempi kuin 0. Derivaatan nollakohdat osoittajasta. 1 – x = 0, josta x = 1
Osoittaja on laskeva suora ja sen arvot ovat positiivisia ennen kohtaa x = 1 ja negatiivisia tämän jälkeen. Tässä kohdassa on siis paikallinen maksimi.
Maksimiarvo
Harjoituksia
1. Derivoi
Vihje
Muista sisäfunktion derivaatta
2. Derivoi
Vihje
Osamäärän derivaatta
3. Derivoi
Vihje
Tulon derivaatta
4. Määritä derivaatan nollakohdat
Vihje
Ota yhteinen tekijä derivaatassa
5. Osoita, että funktio f on kasvava
Vihje
Minkälainen derivaatan tulee olla?
6. Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä [-2,2]
Vihje
Derivaatan nollakohta ja välin päätepisteet.
7. Määritä funktion pienin arvo
Vihje
Yleinen eksponenttifunktion derivaatta
8. Määritä funktio f derivaattafunktion nollakohdat
Vihje
Merkitse derivaatassa ex = t
9. Osoita, että funktio on aidosti kasvava
Vihje
Määritä derivaatan pienin arvo
10. Määritä funktion pienin arvo
Vihje
Lavenna derivaatassa termit samannimisiksi
11. Käyrien väliin jäävään rajoitettuun alueeseen asetetaan y‐akselin suuntainen jana oheisen kuvion mukaisesti. Määritä tämän janan suurin mahdollinen pituus. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
YO syksy 2013
Vihje
Lausekkeiden erotuksen suurin arvo leikkauspisteiden välillä.
12. Määritä funktion derivaatan arvo kohdassa x = 0.
YO syksy 2012
Vihje
Tulon derivaatta
13. Funktio f toteuttaa kaikilla x:n arvoilla epäyhtälön f'(x) > kf(x) (k vakio). Osoita, että funktio g on kaikkialla kasvava.
YO syksy 1975
Vihje
Tutki derivaatan merkkiä
