Matriisilaskenta

Reaaliluvut ja niiden laskutoimitukset ovat sinulle tuttuja. Samoin kaksi- ja kolmeulotteiset vektorit ja niiden laskutoimitukset. Tässä kappaleessa otetaan seuraava askel ja tutustutaan matriiseihin. Kuten vektorien, myös matriisien laskutoimitukset eroavat reaalilukujen laskutoimituksista, erityisesti kerto- ja jakolaskujen vastineet vaativat opettelua.

Matriiseilla on paljon käyttöä erilaisissa sovelluksissa, katsomme tässä luvussa kahta niistä: vektorien muunnoksia (kuten vektorin kääntämistä) sekä yhtälöryhmän ratkaisemista.

Reaalilukujen (a, b, c, . . .) avulla voimme esimerkiksi kuvata mitattavia skalaarisuureita, joilla on ainoastaan suuruus, mutta ei suuntaa. Esimerkiksi lämpötilan ilmoittaaksemme tarvitsemme ainoastaan yhden luvun, joten reaaliluvut sopivat lämpötilan ilmoittamiseen hyvin:

T = 23,4° C

Erottaaksemme jatkossa yksittäiset reaaliluvut vektoreista ja matriiseista, kutsumme niitä skalaareiksi.

Vektorien (u, v, w, . . .) avulla taas voimme kuvata sellaisia suureita, joilla on suuruuden lisäksi myös suunta. Esimerkiksi nopeudella on aina myös suunta, sillä on eri asia kulkea tietyllä vauhdilla itään kuin länteen. Lukiossa käytämme kaksi- ja kolmeulotteisia vektoreita, jotka voidaan esittää koordinaatistossa tai ne voidaan kirjoittaa avaruuden kantavektoreiden i, j, k avulla. Nopeusvektori voisi olla siis esimerkiksi:

Vektoreille käytetään myös toisenlaista merkintätapaa, joka on meille tulevaan tarkoitukseen parempi, joten otetaan se samantien käyttöön.

Jätetään tästä eteenpäin yksiköt pois häiritsemästä, kuten matematiikassa on tapana.

Yllä olevaa vektorin esitystapaa kutsutaan rivivektoriksi.

Jokaisen vektorin voi esittää kummalla tahansa tavalla tilanteesta riippuen. Siirryttäessä rivivektorista sarakevektoriin tai toisinpäin otetaan vektorin transpoosi, jota merkitään vektorin yläkulmaan tulevalla T-kirjaimella. Edellisen vektorin transpoosi olisi siten

Käytämme transponointia silloin, jos on laskun kannalta tärkeää, että meillä on käytössä nimenomaan toinen näistä muodoista.

Jos vektoreita ajattelee askeleena skalaareista ylöspäin, ovat matriisit (A, B, C, . . .) luonnollinen seuraava askel. Vektorit sisältävät useamman kuin yhden skalaarin, matriisien voidaan ajatella sisältävän useamman kuin yhden vektorin. Jos laitamme samaan olioon allekkain kaksi rivivektoria, syntyy matriisi, jossa on kaksi riviä ja niin monta saraketta kuin sen muodostavissa vektoreissa on komponentteja.

Rivien ja sarakkeiden määrä määrittää minkä tyyppinen matriisi on kyseessä, esimerkiksi kahden rivin ja kahden sarakkeen matriisia kutsutaan 2 × 2 -matriisiksi. Merkitsemme tässä materiaalissa matriiseja isoilla kirjaimilla (A, B, C, . . .), esimerkiksi:

Matriisit voivat olla kooltaan kuinka suuria tahansa (kuten vektoritkin), mutta pidättäydymme esimerkeissä 3 × 3 ja sitä pienemmissä matriiseissa. Kolmiulotteisessa vektorissa on kolme komponenttia, 2 × 2 -matriisissa on neljä alkiota, eli elementtiä.

Neliömatriiseilla on yhtä monta riviä ja saraketta, A on siis neliömatriisi. Silloin kun rivejä ja sarakkeita on eri määrät pitää muistaa, että rivien määrä ilmoitetaan ensin.

Kolmiulotteinen rivivektori on siis toisin sanoen 1 × 3 -matriisi ja kolmiulotteinen sarakevektori 3 × 1 -matriisi.

Matriisin transpoosi otetaan samalla tavoin kuin vektoreillekin, eli rivit muuttuvat sarakkeiksi. Esimerkiksi edellisen matriisin transpoosi on

Jokaisen n × m -matriisin transpoosi on siis m × n -matriisi.

Reaaliluvuilla laskiessa on useita laskusääntöjä, joita olemme oppineet pitämään itsestäänselvyyksinä. Nämä eivät kuitenkaan kaikki päde vektoreille ja matriiseille. Tutustutaan tässä summaan (erotus on osa summaa) ja tuloon (jakolaskua katsotaan erikseen).

Ensinnäkin kaikkia reaalilukuja voi summata ja kertoa keskenään. Lisäksi reaalilukujen summa ja tulo ovat esimerkiksi assosiatiivisia (eli liitännäisiä) ja kommutatiivisia (eli vaihdannaisia):

Samat säännöt ovat olemassa vektorien yhteenlaskulle ja pistetulolle:

Vektoreille on olemassa pistetulon lisäksi myös ristitulo, joka ei enää olekaan assosiatiivinen eikä kommutatiivinen. Toisin sanoen ristitulojen kohdalla pitää olla erityisen tarkkana vektorien järjestyksen kanssa

Koska vektorien paikkaa vaihtamalla saadaan ristitulon vastaluku, on ristitulo antikommutatiivinen. Pistetulossa vektorit kommutoivat, ristitulossa ne antikommutoivat. Näiden sääntöjen lisäksi pitää muistaa, että keskenään summattavien tai kerrottavien vektorien tulee olla saman kokoisia, eli kaksiulotteista vektoria ei voi summata kolmiulotteiseen vektoriin (tason vektoriin voi toki lisätä kolmanneksi komponentiksi nollan, jonka jälkeen summan voi tehdä, mutta silloin se onkin jo kolmiulotteinen vektori).

Matriisien kanssa on oltava erityisen tarkkana, sillä yhteenlasku ja kertolasku ovat määriteltyjä vain tietyissä tilanteissa. Yhteenlaskussa matriisien täytyy olla samaa tyyppiä, kertolaskun määrittelyehtoja katsomme alempana tarkemmin. Matriisien yhteenlasku on sekä assosiatiivinen, että kommutatiivinen. Matriisien kertolasku puolestaan on assosiatiivinen, mutta ei kommutatiivinen (eikä myöskään antikommutatiivinen).

Matriisien järjestyksen kanssa saa siis olla tarkkana, etenkin matriisitulon kohdalla. Joillekin yksittäisille matriiseille (anti-)kommutaatioehto toteutuu, jolloin matriisit (anti-)kommutoivat keskenään.

Lisätään näihin vielä muutama laskusääntö, joita käytämme jatkossa:

Matriisien yhteenlasku

Matriisien yhteenlasku toimii samalla tavoin kuin vektorien yhteenlasku. Summattavien matriisien tulee olla samaa tyyppiä (yhtä monta riviä ja saraketta), jotta summa onnistuu, mutta sen jälkeen matriisien alkiot vain lasketaan yhteen omilla paikoillaan.

Esimerkki 1

Matriisitulo

Matriisilla voidaan kertoa skalaaria, vektoria tai toista matriisia. Skalaarilla kertominen (tai skalaarin kertominen, sillä operaatio on kommutatiivinen) on yksinkertaista, matriisin jokainen alkio kerrotaan skalaarilla erikseen:

Vektorin ja matriisin kertominen matriisilla toimivat samalla tavoin, sillä vektorit voidaan ajatella yksinkertaisina matriiseina. Matriisitulo perustuu vektoreiden pistetulolle, jossa vektorien komponentit kerrotaan keskenään. Nyt kun käytämme rivi- ja sarakevektoreita, meidän tulee lisäksi tietää, että kahden vektorin pistetulossa meidän tulee aina kertoa rivivektorilla sarakevektoria, eli esimerkiksi:

Tuloksena on aina skalaari. Vektorien pistetulo on sen verran yksinkertainen operaatio, että merkintöjen kanssa ei aina olla näin tarkkana. Tärkeintä on, että tiedät mitä olet tekemässä. Tämä sääntö kuitenkin auttaa matriisitulon hahmottamisessa ja muistamisessa.

Tutustutaan matriisituloon esimerkin avulla.

Esimerkki 2

Laske seuraava matriisin ja vektorin tulo

Ratkaisu: Matriisitulossa syntyy aina jokin toinen matriisi (tai vektori). Tulomatriisin alkiot saadaan alkuperäisten matriisien (tai vektorien) rivien ja sarakkeiden pistetuloina. Tässä esimerkissä tulomatriisin ensimmäinen alkio on matriisin A ensimmäisen rivin ja vektorin v pistetulo ja sen toinen alkio on matriisin A toisen rivin ja vektorin v pistetulo

Äskeisessä esimerkissä 2 × 3 -matriisin ja 3 × 1 -matriisin tulosta syntyi 2 × 1 -matriisi. Tämä tulos voidaan yleistää. Ensinnäkin matriisitulo on määritelty vain silloin, kun ensimmäisessä matriisissa on yhtä monta saraketta kuin jälkimmäisessä matriisissa on rivejä. Jos tämä ehto toteutuu, on m × n -matriisin ja n × k -matriisin tulo aina m × k -matriisi.

Usein toinen matriisitulon matriiseista voidaan transponoida ja saada siten aikaiseksi määritelty matriisitulo. Esimerkiksi äskeisessä esimerkissä voit tarkistaa, että mikään seuraavista

ei ole määritelty, mutta yhdistelmä

on määritelty. Voit lisäksi osoittaa, että tulos on edellisen tulomatriisin transpoosi:

Tämä tulos pätee yleisemmin kaikille matriisitulojen transpooseille (kunhan alkuperäinen matriisitulo on määritelty):

Kun tulon toiseksi jäseneksi otetaan vektorin sijaan matriisi, muuttuu ainoastaan tulomatriisin sarakkeiden määrä. Tulomatriisin AB ensimmäiselle riville tulevat A:n ensimmäisen rivin ja B:n sarakkeiden pistetulot. Tulomatriisin toiselle riville tulevat A:n toisen rivin ja B:n sarakkeiden pistetulot ja niin edelleen. Matriisitulo näyttää aluksi hankalalta, mutta on melko yksinkertainen, kunhan lasket yksi alkio kerrallaan.

Esimerkki 3

Laske matriisitulo AB seuraaville matriiseille

Ratkaisu

Joissakin tilanteissa meitä kiinnostaa ainoastaan yksi tulomatriisin alkio. Jos haluamme tulomatriisin AB alkion riviltä k sarakkeesta l, saamme sen ottamalla A:n k:n rivin ja B:n l:n sarakkeen pistetulon. Edellisen esimerkin matriisit voi kertoa vain annetussa järjestyksessä, matriisituloa BA ei ole määritelty. Vain neliömatriiseille tulo on määritelty kummassakin järjestyksessä. Matriisien sanotaan kommutoivan, jos niiden tulo on sama kummassakin järjestykseksessä laskettuna, eli niiden kommutaattori häviää

[A, B] = AB − BA = 0

Esimerkki 4

Millä vakioiden a ja b arvoilla (a, b ∈ ℝ) matriisit A ja B kommutoivat?

Ratkaisu

Lasketaan kommutaattori ja vaaditaan, että jokainen alkio on nolla.

Kysytyt matriisit kommutoivat, joss

6a + 5b + 1 = 0

Tämä on suoran yhtälö, joten ratkaisuja on ääretön määrä.

Käänteismatriisi

Nyt osaamme summata, vähentää ja kertoa matriiseja. Valitettavasti matriiseilla ei voi jakaa. Matriisilla jakaminen voisi nimittäin olla kätevää esimerkiksi matriisiyhtälöä

ratkaistaessa. Pääsemme kuitenkin käytännössä samaan lopputulokseen etsimällä matriisin A käänteismatriisin ja kertomalla yhtälöä puolittain sillä. Tätä kannattaa verrata tavallisen yhtälön ratkaisuun

joka onnistuu, kunhan a ≠ 0. Jokaisella matriisilla ei ole käänteismatriisia, mutta jos se on olemassa, voidaan ylläoleva matriisiyhtälö ratkaista kertomalla sitä vasemmalta puolelta A:n käänteismatriisilla A⁻¹

Käänteismatriisia merkitään kuten yllä ja se toteuttaa ehdon

missä 1 on yksikkömatriisi, eli sellainen neliömatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä ja muut nollia. Esimerkiksi 3 × 3 yksikkömatriisi on siis

Koska käänteismatriisilla kertomisen tulee olla määritelty sekä oikealta että vasemmalta kerrottaessa, vain neliömatriiseilla voi olla käänteismatriisi. Matriisin kääntäminen suuremmille matriiseille on hankalaa ja käytännössä kaikki 3 × 3 ja sitä suuremmat matriisit kannattaa kääntää laskentaohjelmistoa käyttäen.

Vain 2 × 2 -matriisille on olemassa kätevä muistikaava. Jokaiselle 2 × 2 -matriisille pätee:

Käänteismatriisi on olemassa aina silloin, kun nimittäjässä oleva matriisin determinantti on nollasta poikkeava

Esimerkki 5

Etsi käänteismatriisi niille matriiseille, joille se on olemassa

Ratkaisu

Lasketaan ensin matriisien determinantit.

Vain B:n determinantti on nollasta poikkeava, joten vain sillä on käänteismatriisi. Se saadaan 2 × 2 -käänteismatriisin kaavalla: determinantti on yksi, diagonaalialkiot vaihdetaan keskenään ja diagonaalin ulkopuoliset alkiot vaihtavat merkkiään:

Tulomatriisin käänteismatriisille on voimassa samanlainen laskusääntö kuin tulomatriisin transpoosille. Laitetaan säännöt tähän vierekkäin, sillä ne on helpointa muistaa yhdessä:

Huomaa, että skalaarin ja matriisin tulolle nämä voidaan kirjoittaa muotoon

Harjoituksia

Perustehtäviä löytyy Matriisilaskennan sovelluksia kappaleen lopusta.

Laske seuraavat matriisilaskut

a) A + B − C

b) 3B − 2A

c) A − 6B + C