Toispuoliset raja-arvot
EXTRA
Toispuoliset raja-arvot tulevat vasta moduulissa MAA12, eikä kuulu tämän moduulin sisältöihin. Voit kuitenkin tutustua aiheeseen tässä kappaleessa.
Tutkittaessa mitä lukua funktion arvo lähestyy, kun muuttuja lähestyy jotakin lukua, voimme lähestyä tätä kohtaa luvun molemmilta puolilta.
Kuvassa on erään funktion kuvaaja. Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta: vasemmalla olevasta puolisuorasta ja oikeanpuoleisesta käyrästä.
Mikäli lähestymme x:n arvoa 4 puolisuoraa pitkin päädymme funktion arvoon 5. Lähestyessä käyrää pitkin oikealta kohtaa 4 päädymme funktion arvoon 4.
Funktion vasemmanpuolinen raja-arvo on siis 5 ja oikeanpuolinen raja-arvo on 4.
Tällä funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa neljä, sillä toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret.
Funktion arvoa korostaa umpinainen ympyrä, joten funktion arvo kohdassa 4 on 5.
Tämä on paloittain määritelty funktio.
Funktiolla f on raja-arvo kohdassa a, mikäli
Merkinnässä miinusmerkillä tarkoitetaan vasemmanpuoleista raja-arvoa, eli kohtaa a lähestytään negatiiviselta puolelta, ja plusmerkillä oikeanpuoleista raja-arvoa, eli lähestytään kohtaa a positiiviselta puolelta.
Esimerkki 1
Määritä funktion f toispuoliset raja-arvot
Ratkaisu
Määritetään raja-arvot. Vasemmalta lähestyttäessä funktio on määritelty suoran mukaan ja oikealta paraabelin.
Vasemmanpuoleinen raja-arvo
Oikeanpuoleinen raja-arvo
Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa 4. Kyseessä on sama funktio, jonka kuvaaja on osion alussa.
Esimerkki 2
Määritä funktion g raja-arvo kohdassa 3
Ratkaisu
Funktiolla on raja-arvo, jos sen toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret.
Vasemmanpuoleinen raja-arvo
Oikeanpuoleinen raja-arvo
Toispuoliset raja-arvot ovat yhtäsuuret, jolloin funktiolla g on raja-arvo kohdassa 3
Funktion kuvaaja
Esimerkki 3
Onko funktiolla f raja-arvo kohdassa -2?
Ratkaisu
Avataan itseisarvot
Tällöin
Joten toispuoleiset raja-arvot
ovat erisuuret ja funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa -2.
Harjoituksia
1. Määritä kuvaajan perusteella
a) Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa 1
b) Funktion f vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa 1
c) Funktion arvo kohdassa 1
Vihje
Funktion arvo on umpinainen ympyrä
2. Määritä kuvaajan perusteella
a) Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa 2 ja 5
b) Funktion f vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa 2 ja 5
c) Funktion arvo kohdassa 2 ja 5
Vihje
Funktion arvoa kuvaa umpinainen ympyrä
3. Määritä toispuoleiset raja-arvot kohdassa 3, kun
Vihje
Oikealta, eli plussan puolelta, tullessa ylempi yhtälö
4. Määritä toispuoleiset raja-arvot kohdassa -2, kun
Vihje
Vasemmalta, eli miinuksen puolelta, alempi yhtälö.
5. Tutki onko funktiolla f raja-arvo olemassa kohdassa 5
Vihje
Määritä toispuoleiset raja-arvot.
6. Tutki onko funktiolla raja-arvo kohdassa -3
Vihje
Määritä toispuoleiset raja-arvot
7. Tutki onko funktiolla f raja-arvoa kohdassa 7
Vihje
Toispuoleiset raja-arvot
8. Määritä vakio a siten, että funktiolla on raja-arvo kohdassa 4
Vihje
Toispuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtä suuria.
9. Määritä vakio a siten, että funktiolla on raja-arvo kohdassa -2
Vihje
Merkitse raja-arvot yhtä suuriksi.
10. Osoita, että funktiolla on raja-arvo kohdassa 2 riippumatta vakion a arvosta
Vihje
Merkitse raja-arvot yhtä suuriksi.
