Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Kahden muuttujan funktio

Tähän asti olemme tutkineet funktoita, joilla on yksi muuttuja. Funktoilla voi toki olla muuttujia enemmänkin ja nyt tutustumme funktoihin, joilla on kaksi muuttujaa.

Yhden muuttujan funktioilla f(x) Määrittelyjoukko löytyi x-akselilta. Kahden muuttujan funktoilla f(x,y) määrittelyjoukko löytyy xy-tasosta.

Yläpuolella olevan funktion muuttujat ovat x ja y. Voimme laske funktio arvon esimerkiksi xy-tason kohdassa (1,1)

Funktion arvo kohdassa (1,1) on 2, eli f(1,1) = 2

Yhden muuttujan funktion kuvaaja on käyrä xy-koordinaatistossa.

Kahden muuttujan funktion kuvaaja on pinta xyz-koordinaatistossa. Vieressä on edellisen funktion kuvaaja piirrettynä kolmiuloitteiseen koordinaatistoon.

Pinta koordinaatistossa on z = f(x,y). Edellä ollut funktio on määritelty koko xy-tasolla.

Kappaleessa suora ja taso määritimme tason normaalimuotoisen yhtälön esimerkissä 5.

2x + 8y – z – 10 = 0

Jos ratkaisemme tästä yhtälön muuttujan z suhteen saamme

z = 2x + 8y – 10

ja kun merkitsemme

z = f(x,y)

Saamme kahden muuttujan funktion

f(x,y) = 2x + 8y – 10

Tason on tämän funktion kuvaaja.

Funktion f(x,y) = 2x + 8y – 10 kuvaaja

Esimerkki 1

Määritä f(3,2) ja f(2,1) sekä piirrä funktion kuvaaja.

Ratkaisu

Lasketaan f(3,2), eli sijoitetaan muuttujan x paikalle 3 ja muuttujan y paikalle 2. Tehdään sama myös arvolle f(2,1)

Jälkimmäisestä funktion arvosta tulee 0. Tämä on eräs funktion nollakohdista. Funktion nollakohtia ovat kaikki pisteet, joissa funktio leikkaa xy-tason, eli kun z = 0.

Kuvaaja piirretään GeoGebralla syöttämällä funktion lauseke ohjelmaan.

Nollakohdat

Esimerkki 2

Määritä funktion f ja g nollakohdat.

Merkitään funktion arvoksi 0

Jos ratkaisemme tämän yhtälön muuttujan y suhteen, saamme

Tämä on paraabeli xy-tasolla, eli funktion f(x,y) nollakohdat ovat kaikki tämän paraabebelin pisteet.

Merkitään funktion arvoksi 0

Tämä muistuttaa kovasti ympyrää. Täydennetään neliöksi.

Nollakohdista muodostuu ympyrä, jonka keskipiste on (2,1) ja säde on 3.

Funktion f(x,y) kuvaaja. Voit käännellä kuvaa hiirellä. Punaisella on vahvistettuna nollakohdat.

Funktion g(x) kuvaaja. Voit käännellä kuvaa hiirellä. Punaisella on vahvistettuna nollakohdat.

Määrittelyjoukko

Kahden muuttujan funktioiden muuttujien arvot ovat xy-tasossa. Edellisten esimerkkien funktiot on määritelty kaikilla muuttujien x ja y arvoilla. Kuten yhden muuttujan tapauksessa, myös kahden muuttujan funktoilla voi olla kohtia, joissa niitä ei ole määritelty. Nollalla ei voi jakaa ja neliöjuuren on oltava positiivinen.

Esimerkki 3

Määritä funktioiden f ja g määrittelyjoukko ja piirrä funktoiden kuvaajat.

Funktiolla f(x,y) on epäjatkuvuuskohta nimittäjässä. Nimittäjässä on ympyrä, jonka keskipiste on (2,1) ja säde 3. (Katso esimerkki 2.)

Funktion määrittelyehto

Funktio on määritelty kaikilla muilla muuttujien x ja y arvoilla, paitsi niillä, jotka sijoittuvat tuolle ympyrälle.

Funktion kuvaaja. Voit liikutella kuvaa hiirellä.

Neliöjuuren alla tulee olla positiivinen luku, joten funktio g(x,y) on määritelty, kun

Funktio on määritelty kaikilla muilla muuttujien x ja y arvoilla, paitsi niillä, joita rajaa edellä oleva paraabeli.

Funktio kuvaaja. Voit liikutella kuvaa hiirellä.

Tasa-arvokäyrä

Tasa-arvokäyrä f(x,y) = k, on kaikkien niiden pisteiden joukko, joissa funktio f(x,y) saa arvon k.

Esimerkki 4

Määritä tasa-arvokäyrät f(x,y) = 3 ja f(x,y) = 5

f(x,y) = 3 ja f(x,y) = 5 ovat kaikki ne funktion f(x,y) pisteet, jotka leikkaavat tasot z = 3 ja z = 5.

Näistä muodostuu xy-tason käyrät

Geogebralla voi piirtää nämä käyrät leikkauspolku-komennolla.

Koska käyrät ovat xy-tason käyriä, piirretään ne tason koordinaatistoon.

Edellisen funktion tasa-arvokäyrät ovat paraabeleja. Tasa-arvokäyrät muodostavat paraabeliparven

missä k on jokin reaalilulku.

Harjoituksia

1. Laske f(2,2) ja piirrä funktion kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla jokin nollakohta.

Vihje

Piirrä funktion kuvaaja ja katso jokin piste, jossa pinta leikkaa xy-tason.

2. Laske f(1,2) ja piirrä funktion kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla jokin nollakohta.

Vihje

Lisää GeoGebrassa piste A x-akselille. Jos funktio on nimetty GeoGebrassa a(x,y), voit laskea sen arvon kohdassa A komennolla a(A). Liikuta piste nollakohtaan.