Pistetulo
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Vektoreiden välinen kertolasku on pistetulo. Pistetuloa kutsutaan myös skalaarituloksi, sillä pistetulon tulos on aina skalaari, eli reaaliluku.
Vektorien välinen kulma ja pistetulo
Kahden vektorin välinen kulma on se kulma α, joka on 0⁰ ja 180⁰ välillä. Vektorien välinen kulma muodostuu, kun vektorit asetetaan alkamaan samasta pisteestä.
Tällöin samansuuntaisten vektorien välinen kulma on 0⁰ ja vastakkaissuuntaisten vektorien välinen kulma 180⁰.
Vektoreiden a ja b pistetulolle pätee, kun a ja b eivät ole nollavektoreita
eli vektoreiden a ja b pistetulo on vektoreiden pituuksien tulo kerrottuna vektoreiden välisen kulman kosinilla.
Jos a tai b on nollavektori, pistetulo on 0.
Pistetulo luetaan "a piste b" ja erotukseksi normaalista kertolaskusta, piste merkitään aina vektorien väliin pistetulossa.
Koska pistetulossa on kosini vektorien välisestä kulmasta, kertoo pistetulon merkki kulman suuruudesta.
Tärkeä huomio tässä on, että pistetulo on 0, kun vektorien välinen kulma on 90 astetta. Eli kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, pistetulo on 0. Tämä on vektorien kohtisuoruusehto.
Esimerkki 1.
Vektorin a pituus on 3 ja vektorin b pituus on 2. Vektorit muodostavat 45 asteen kulman keskenään. Mikä on vektorien pistetulo?
Ratkaisu
Esimerkki 2.
Oheiset vektorit muodostavat kolmion
Tällöin kosinilauseen mukaan
Josta saadaan
Yhtälön toiselle puolelle jää pistetulo, eli
Vektorit komponenttien avulla lausuttuna
Vektorien pituudet
Sijoitetaan vektorien pituudet aiemmin saatuun pistetulon yhtälöön ja sievennetään
Pistetulo saadaan siis laskettua kun vektorien komponentit kerrotaan keskenään ja lasketaan nämä tulot yhteen.
Esimerkki 3
Lasketaan vektoreiden a ja b välinen kulma.
Käytetään pistetulon kaavaa
Vektorien pituudet ja pistetulo
Tällöin
Vektorien välisellä kulmalle pätee
Esimerkki 5
Määritä vakio s siten, että vektori a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.
Vektorien pistetulon tulee olla 0
Kun s = -1, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Pistetulon ominaisuuksia
1. Pistetulo on vaihdannainen, eli tulos ei riipu järjestyksestä.
2. Pistetulolle on voimassa osittelulaki.
3. Skalaarikertoimen siirtosääntö.
4. Pistetulo itsensä kanssa on vektorin pituus toiseen.
Harjoituksia
1. Laske vektorien a ja b pistetulo
Vihje
2. Laske vektorien a ja b välinen kulma
Vihje
3. Määritä vakio s siten että vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
Vihje
Mikä on pistetulo, kun vektorit ovat kohtisuorassa?
4. Osoita, että vektorit ovat kohtisuorassa riippumatta vakion t arvosta
Vihje
Muodosta pistetulo
5. Määritä vektoria a vastaan kohtisuorat vektorit, joiden pituus on 5
Vihje
Muodosta yhtälöpari pistetulon ja pituuden avulla.
6. Määritä vektoria a vastaan kohtisuorat vektorit, joiden pituus on 3
Vihje
Muodosta yhtälöpari pistetulon ja pituuden avulla.
7. Pisteestä (2,3) kuljetaan 10 yksikköä vektoria a vastaan kohtisuoran vektorin suuntaan. Määritä päätepisteen etäisyys origosta.
Vihje
Muodosta kohtisuora yksikkövektori
8. Vektorin alkupiste on A(3,7) vektori on kohtisuorassa vektoria a vastaan. Määritä vektorin päätepisteen etäisyys origosta, kun vektorin pituus on 4.
Vihje
Muodosta kohtisuora vektori pistetulon avulla.
9. Määritä vakio x siten että vektorien välinen kulma on 45 astetta
Vihje
10. Määritä vakio x siten että vektorien välinen kulma on 30 astetta
Vihje
