Verrannollisuus
Liisa-Petteri matkusti avaruusaluksellaan vakionopeudella 30 km/s.
Tämä tarkoittaa, että 10 sekunnissa hän etenee 300 km ja 20 sekunnissa 600 km. Aika ja kuljettu matka ovat suoraan verrannollisia. Eli ne muuttuvat samassa suhteessa. Jos aika kaksinkertaistuu, kuljettu matka kaksinkertaistuu myös. Kolminkertaiseen matkaan tarvitaan kolminkertaisesti aikaa.
Voit muuttaa alapuolella aikaa liukusäätimellä ja näet miten aika sekä matka kasvaa samassa suhteessa.
Suoraan verrannollisten suureiden suhde, eli osamäärä, on aina vakio
jossa k on jokin vakio. Tämä tarkoittaa, että toisen suuren kasvaessa myös toinen kasvaa samassa suhteessa. Jos a kaksinkertaistuu, myös b kaksinkertaistuu. Jos a kolminkertaistuu, myös b kolminkertaistuu ja niin edelleen.
Esimerkki 1
Suureet A ja B ovat suoraan verrannollisia keskenään. Kun A = a1 silloin B = b1. Kun A = a2 silloin B = b2.
Tällöin pätee verranto
Esimerkki 2
Liisa-Petterillä oli 280 merimakkaraa. Ne söivät päivässä 3,5 kg kasviplanktonia. Liisa-Petteri halusi hankkia vielä 140 merimakkaraa lisää farmilleen. Kuinka paljon hänen tulisi varata kasviplanktonia kaikille merimakkaroille ravinnoksi päivää kohden?
Ratkaisu
Merimakkaroiden määrä ja ruoan kulutus ovat suoraan verrannollisia keskenään.
Muodostetaan verranto ja ratkaistaan x
Vastaus: Kasviplanktonia tulisi varata noin 5,3 kg.
Esimerkki 3
Lankun kantokyky on suoraan verrannollinen lankun paksuuden neliöön. Tiedettiin, että 5,0 cm paksu lankku kantoi 180 kg. Kuinka suuren painon (massan) kantaisi 6,0 cm paksu lankku?
Ratkaisu
Verrannollisuus on neliöön, eli toiseen potenssiin.
Asetetaan arvot taulukkoon ja muodostetaan verranto.
Ratkaistaan verrannosta x kertomalla ristiin
6,0 cm paksu lankku kantaisi 260 kg.
Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on aina vakio
jossa k on jokin vakio. Tämä tarkoittaa, että toisen suuren kasvaessa toinen pienenee samassa suhteessa. Eli jos toinen suure kaksinkertaistuu niin toinen pienenee puoleen. Jos toinen kolminkertaistuu, toinen pienenee kolmasosaan.
Tästä tulee nimitys kääntäen verrannollinen.
Jos suure a kaksinkertaistuu niin suure b puolittuu. Mutta jos tarkastelemme suuretta b käänteisesti niin se kaksinkertaistuu.
Suureet muuttuvat samassa suhteessa käänteisesti.
Esimerkki 3
Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia keskenään. Kun A = a1 silloin B = b1. Kun A = a2 silloin B = b2.
Tällöin pätee verranto
Esimerkki 4
Liisa-Petteri huomasi, että hänen pankkitilinsä saldo oli kääntäen verrannollinen pubissa vietettyihin tunteihin. Jos hän istui pubissa 5 tuntia oli hänen tilillään rahaa enää 200 €. Hän halusi istua vielä 3 tuntia kauemmin, koska musiikki oli hyvää ja seurakin mitä loistavinta sekä juomat tietenkin halpoja. Kuinka paljon tilillä on rahaa Liisa-Petterin lähtiessä kotiin?
Ratkaisu
Tehdään taulukko
Muodostetaan verranto siten, että toinen suhde käännetään. Eli x:n suhde lukuun 200 on yhtä suuri kuin luvun 5 suhde lukuun 8.
Tilillä on rahaa siis 125€
Harjoituksia
1. Kolme työntekijää tekee urakan seitsemässä tunnissa. Kuinka kauan urakka kestäisi viideltä työntekijältä, kun oletetaan kaikki työntekijät yhtä aikaansaaviksi? (Anna Vastaus tunteina ja minuutteina.)
Vihje
Jos työntekijöiden määrä kasvaa, kasvaako vai pieneneekö käytetty aika?
2. Matias ajaa skootterilla erään matkan 1,5 tunnissa. Jos hänen nopeutensa olisi 5 km/h suurempi, hän ajaisi matkan 10 minuuttia lyhyemmässä ajassa. Mikä on Matiaksen nopeus?
Vihje
Merkitse nopeutta x
3. Veneen pohjassa olevasta reiästä tulee aikayksikössä sisään vesimäärä, joka on suoraan verrannollinen reiän halkaisijan neljänteen potenssiin. Yhdellä pumpulla pystytään pitämään tyhjänä vene, jonka pohjassa on 1,2 cm:n läpimittainen reikä. Kuinka monta samanlaista pumppua tarvitaan pitämään tyhjänä vene, jonka pohjassa on 1,9 cm:n läpimittainen reikä?
YO lyhyt 1998k/7b
Vihje
Merkitse 1,2 cm:n aukosta tulevaa vesimäärää a ja ratkaise kuinka moninkertainen on vesimäärä 1,9 cm:n aukosta.
4. Äänen voimakkuus (intensiteetti) on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Jos äänen voimakkuus on 10 metrin päässä 50 dB (desibeliä), niin mikä on äänen voimakkuus 25 metrin päässä?
Vihje
Huomioi että etäisyys tulee neliöön.
5. Viisi konetta teki erään työn 4 tunnissa 20 minuutissa. Kauanko seitsemältä koneelta kestäisi saman työn teko? Vastaa tunteina ja minuutteina.
Vihje
Muuta laskuihin ajat minuuteiksi.
6. Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokone painaa maan pinnalla 56,0 tonnia. Kuinka paljon se painaa kymmenen kilometrin korkeudessa? Maan pinnan etäisyys keskipisteestä on 6370 kilometriä.
YO lyhyt 2006k/4
Vihje
Huomaa, että etäisyys on maapallon keskipisteestä.
7. Tietokoneohjelmointiprojektissa käytettiin sääntöä, jonka mukaan ohjelmoijien lukumäärä on kääntäen verrannollinen projektin toteuttamisajan kuutioon. Erään projektin oli arvioitu valmistuvan 12 kuukaudessa 6 ohjelmoijan voimin. Montako ohjelmoijaa tarvittiin lisää, kun projektin pitikin valmistua 10 kuukaudessa?
Vihje
Kuutio on kolmas potenssi
8. Vesivoimalaitoksen teho on suoraan verrannollinen putouskorkeuden neliöjuureen. Kuinka monta prosenttia suurempi teho saadaan, kun voimalaitoksen putouskorkeus kasvaa 10 metristä 20 metriin?
Vihje
Merkitse tehoa alussa a. Huomaa, että putouskorkeus tulee neliöjuureen.
9. Ilmastointipuhaltimen teho on suoraan verrannollinen puhalletun ilmamäärän kuutioon (eli kolmanteen potenssiin). Kun teho on 1500 wattia, huoneisiin tulee ilmaa 14 litraa sekunnissa. Mikä on teho, jolla huoneisiin tulee ilmaa 10 litraa sekunnissa?
Vihje
Huomioi kolmas potenssi.