Polynomifunktion derivointi
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Määritetään funktion f ja g derivaatan arvo kohdassa a
Saimme f'(a) = 2a ja g'(a) = 3a²
Koska a voi olla mikä tahansa luku, merkitään a = x.
Tällöin saadaan funktioiden f ja g derivaattafunktiot
f'(x) = 2x ja g'(x) = 3x² , joiden avulla voimme laskea derivaatan arvot haluamassamme kohdassa.
Derivoinnissa voimme kuitenkin käyttää derivoimissääntöjä, eli derivaattaa ei tarvitse määrittää erotusosamäärän raja-arvon kautta.
Derivoimissäännöt ovat seuraavat. Näissä D tarkoittaa derivaattaa.
Eksponentti tuodaan eteen kertoimeksi ja pienennetään eksponenttia yhdellä.
Pelkän muuttujan derivaatta on 1.
Termin kerroin voidaan ottaa derivaatan eteen. Ensimmäisen asteen termin derivaataksi tulee vain termin kerroin.
Vakion derivaatta on 0.
Tämän lisäksi polynomifunktio derivoidaan termi kerrallaan.
Esimerkki 1
Eksponentti eteen kertoimeksi ja pienennetään yhdellä.
Eksponentti eteen kertoimeksi ja pienennetään yhdellä.
Pelkän x:n derivaatta on 1, joten ensimmäisen asteen termistä jää derivoitaessa vain kerroin.
Kaikki vakiot menevät derivoitaessa nollaksi.
Esimerkki 2
Muodosta funktion f derivaattafunktio
Ratkaisu
Derivoidaan termi kerrallaan
Eksponentti 3 putoaa eteen kertoimeksi ja pienenee yhdellä.
Eksponentti 2 putoaa eteen kertoimeksi ja pienenee yhdellä
Muuttujan x derivaatta on 1.
Vakion derivaatta on 0.
Esimerkki 3
Derivoidaan funktiot f, g ja h
Derivoidaan jokainen funktio termi kerrallaan. Derivaatoiksi saadaan.
Harjoituksia
1. Muodosta funktioiden f ja g derivaattafunktiot.
Vihje
Derivoimissäännöt
2. Muodosta funktioiden f ja g derivaattafunktiot.
Vihje
Derivoimissäännöt
3. Määritä derivaattafunktion nollakohta, eli f'(x) = 0
Vihje
Derivoi
4. Derivoi funktio
Vihje
5. Millä muuttujan x arvoilla f'(x)=2?
Vihje
Derivoi
6. Millä vakion b arvoilla f'(1)=2
Vihje
Derivoi ja sijoita
7. Määritä derivaatan nollakohta
Vihje
Avaa sulkeet (Binomin neliö)
8. Millä muuttujan x arvoilla derivaatta on negatiivinen?
Vihje
Derivaatan nollakohdat ja kuvaaja
9. Määritä se toisen asteen polynomi P, joka toteuttaa yhtälön P(x) - P'(x) = x²
YO Pitkä kevät 1975
Vihje
Merkitse P(x) = x² + bx + c
10. Millä vakion a arvoilla polynomifunktion x³ + ax² + 3x derivaatta on kaikkialla positiivinen?
YO Pitkä kevät 1976
Vihje
Diskriminantti
11. Osoita, että funktion f derivaatalla on nollakohta lukujen 0 ja 1/2 välissä.
YO syksy 1977
Vihje
Avaa sulkeet. Derivoinnin jälkeen Bolzanon lause
12. Määritä polynomin p(x) = ax³ + x² + bx kertoimet a ja b siten, että P(-1) = P' (-1) = 1.
YO syksy 1979
Vihje
Yhtälöpari
13. Millä arvoilla x funktion f derivaatta saa arvon nolla?
YO syksy 1997
Vihje
Derivaatan nollakohta
14. Millä x:n arvoilla funktio f(x) ja sen derivaatta f ' (x) saavat yhtaikaa positiivisia arvoja?
YO syksy 1998
Vihje
Funktion nollakohdat ryhmittelemällä
15. Millä muuttujan x arvoilla polynomin P(x) derivaatta saa arvon 1?
YO syksy 2013
Vihje
Derivoi
