Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Tilavuuksia

Tilavuuksien määrittäminen integroimalla esimerkiksi pyörähdyskappaleen tapauksessa on jo tuttua. Nyt katsotaan muutamia esimerkkejä avaruuskappaleiden tilavuuden määrittämisestä integroinnin avulla.

Esimerkki 1

Liisa-Petteri rakensi tunnelin takapihallaan olevan mäen läpi. Tunnelin pituus on 120 metriä ja sen poikkileikkaus on paraabelin

x-akselin yläpuolisen osan muotoinen. Mikä on tunnelin tilavuus?

Ratkaisu

Tunnelin tilavuus on sen poikkileikkauksen pinta-ala kerrottuna tunnelin pituudella. Määritetään ensin nollakohdat, joista saadaan integrointirajat.

Nyt saamme poikkileikkauksen pinta-alan määrätyn integraalin avulla.

Nyt voimme laskea tunnelin tilavuuden

Tunnelin tilavuus on 1080 kuutiometriä.

Esimerkki 2

Keramiikkakurssilla Liisa-Petteri valmisti maljakon. Maljakon korkeus on 12 cm ja yläosan leveys 6 cm sekä alaosan 4 cm. Maljakon pohjan suuntainen poikkileikkaus on ympyrän muotoinen ja maljakon sisäosa on paraabelin 2x² muotoinen. Ulkopohjan ja sisäpohjan välinen paksuus on 2 cm. Mikä on maljakon massa, kun kuivuneen saven tiheys on 1250 kg / m³ ?

Ratkaisu

Hahmotellaan pystysuuntainen poikkileikkauskuva maljakosta.

Asetetaan maljakko koordinaatistoon siten että pohjan keskipiste on origossa.

Maljakon ulkoreunaa pitkin kulkee funktio f(x) ja sisäreunaa funktio g(x).

Funktio f(x) on suora, joka kulkee pisteiden (0,2) ja (12,3) kautta, eli

Funktion g(x) huippu ei ole origossa, joten siirrämme sitä hiukan. Jos maljakon pohjan keskikohta olisi origossa, kun maljakko on pystyssä, olisi sisäosa 2x² + 2 Maljakko on nyt kyljellään, joten funktio g(x) on

Maljakon korkeus on 12 cm, joten integrointirajat on funktion f(x) pyörähdyskappaleelle [0,12], josta vähennämme funktion g(x) pyörähdyskappaleen tilavuuden välillä [2,12].

Nyt voimme laskea saviosan tilavuuden.

Saviosan tilavuus on noin 160,2 kuutiosenttimetriä, joka on 0,000162 kuutiometriä.

Nyt voimme laskea massan tiheyden avulla.

Maljakon massa on noin 200 grammaa.

Esimerkki 3

Kappaleen pohjan suuntainen poikkileikkaus on kolmio, jonka kanta on 5,0 cm ja yksi kärki on paraabelilla 0,05x², missä x on etäisyys kappaleen pohjasta. Kappaleen korkeus on 15 cm. Määritä kappaleen tilavuus.

Ratkaisu

Hahmotellaan kappale koordinaatistoon.

Koska yksi kärki on paraabelilla on poikkileikkauskolmion korkeus

h = 0,05x²

Tällöin kolmion pinta-ala on

Integroidaan kolmion pinta-alaa välillä [0,15]

Kappaleen tilavuus on noin 140 kuutiosenttimetriä.

Harjoituksia

1. Liisa-Petteri kaivoi vallihaudan talonsa ympärille. Vallihauta oli valmistuessaan paraabelin 2x² – 6x x-akselin alapuolisen osan muotoinen. Vallihaudan pituudeksi tuli 60 metriä. Tarkoitus olisi täyttää se vedellä ääriään myöten täyteen. Kuinka monta kuutiota vettä vallihautaan menee?

Vihje

Esimerkki 1

2. Arkeologisilla kaivauksilla Liisa-Petteri löysi kivestä tehdyn kolme metriä pitkän putken. Putken ulkohalkaisija oli toisesta päästä 20 cm ja toisesta päästä 40 cm. Sisähalkaisija oli 15 cm kapeammassa päässä ja 10 cm leveämmässä päässä. Mikä oli putken massa, kun tämän kivilajin tiheys on 3400 kg / m³ ?

Vihje

Mitkä funktiot kulkevat sisäpintaa ja ulkopintaa pitkin, kun putki asetetaan koordinaatistoon?

3. Teltan pohjan suuntaiset poikkileikkaukset ovat neliöitä. Neliön sivun pituus on

, missä x on etäisyys teltan pohjasta. Teltan korkeus on 2 metriä. Mikä on teltan tilavuus?

Vihje

Määritä neliön pinta-ala.

4. Tunnelin poikkileikkaus on paraabeli. Sen pohjan leveys on 4,0 metriä ja korkeus 8,0 metriä. Määritä tunnelin tilavuus, kun tunnelin pituus on 30 metriä.

Vihje

Aseta tunnelin suu koordinaatistoon ja määritä paraabelin yhtälö pisteiden kautta.

5. Juustoa myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa. Lieriön korkeus on h ja sen pohjan säde on r. Juusto leikataan ensin pystysuorassa sunnassa kahteen yhtä suureen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan vinosti kuvion osoittama pienempi pala, jonka korkeus on h. Laske tämän juustopalan tilavuus integroimalla.

YO pitkä 2014k/10

Vihje

Minkälainen kuvio syntyy pohjaa vastaan kohtisuorasta poikkileikkauksesta?

6. Liisa-Petterin kesämökki oli oheisen kuvan mallinen. Mökin päädyt ovat tasakylkisiä kolmioita, mökin leveys 6 metriä ja pituus 15 metriä. Mökin katon profiili seuraaa funktiota f(x) ja korkeamman päädyn korkeus on kuusi metriå. Mikä on mökin tilavuus?

Vihje

Mikä on poikkileikkauskolmion korkeus?

7. Maljakon pohjan suuntainen poikkileikkaus on neliö. Särmien profiili on funktion f(x) mukainen siten että kapein kohta on maljakon puolessa välissä. Määritä maljakon tilavuus, kun sen korkeus on 30 cm.

Vihje

Mikä tulee neliön lävistäjäksi?

8. Kesämökkinsä viereen Liisa-Petteri rakensi huvimajan. Majan pohja oli ympyrä, jonka säde on 2,0 metriä. Pohjaa vastaan kohtisuorat poikkileikkaukset ovat tasasivuisia kolmioita. Laske huvimajan tilavuus.

Vihje

Aseta ympyrä koordinaatistoon siten, että keskipiste on origossa xy-tasolla.

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse