Paloittain määritelty funktio

Määrittelyjoukon merkitseminen

Funktio ei aina välttämättä ole määritelty kaikilla reaaliuvuilla ℝ. Funktion määrittelyjoukko A voidaan ilmaista lyhyesti merkinnällä

Esimerkiksi

Olkoon

Funktion f määrittelyjokkona on siis väli [-1,∞[ koska f on määritelty vain niillä muuttujan x arvoilla, joilla juurrettava on epänegatiivinen.

Paloittain määritelty funktio

Funktio voidaan määritellä siten, että sillä on eri lauseke määrittelyjoukon eri osissa

Esimerkki 1

Piirrä funktion f(x) kuvaaja

Tällaista funktioita kutsutaan paloittain määritellyksi funktioksi. Paloittain määriteltyyn funktioon päädytään esimerkiksi silloin kun funktion lausekkeessa esiintyy itseisarvomerkit.

Palautetaan mieleen itseisarvon määritelmä

Esimerkki 2

Esitä funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä.

Ensin selvitetään, milloin itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on epänegatiivinen. Ratkaistaan epäyhtälö x² – 3 ≥ 0.

Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö

Koska x² – 3 on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälön ratkaisu on

Joten funktion lauseke on

Huomaa, että funktion |x² – 3| kuvaaja saadaan peilaamalla funktion x² – 3 x-akselin alapuolinen osa x-akselin suhteen.

Esimerkki 3

Erään kuljetuspalvelun maksu muodostuu seuraavasti

perusmaksu 10,00 €

0,75 €/kg painorajaan 20 kg saakka

0,50 €/kg painorajan 20 kg ylittävästä painosta

Muodosta funktio, joka ilmaisee kuljetuksen kokonaishinnan painon x funkiona.

Ratkaisu

Jos paketin paino on välillä 0 - 20 kg, hinnan lauseke on 0,75x + 10

Jos paketin paino ylittää 20 kg, hinnan lauseke on

Tällöin kysytty funktio on

Funktiolle voidaan määrittää tietty arvo myös yksittäisessä määrittelyjoukon pisteessä.

Esimerkki 4

Piirrä funktion f : ℝ→ℝ kuvaaja kun

Huomaa, että funktion määrittelyjoukkona on nyt koko reaalilukujen joukko, vaikka funktio 1/x ei ole määritelty kohdassa x = 0.

Harjoituksia

1. Määritä kuvan perusteella

a) f(1)

b) f(-3)

c) f(-1)

2. Määritä edellisen tehtävän funktion f(x) lauseke

3. Määritä kuvan perusteella

a) f(-3)

b) f(3)

c) f(1)

4. Määritä edellisen tehtävän funktion f(x) lauseke

5. Piirrä funktion kuvaaja

6. Ratkaise yhtälö f(x) = 1

7. Muodosta oheisen taulukon perusteella funktio f(x), joka ilmaisee perintäveron määrän (€) perinnön määrän x (€) funktiona. Kun 0 < x < 60000.

Kuinka suuri perintövero pitää maksaa 35000 euron perinnöstä?

8. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä

9. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä

10. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä

11. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä. Piirrä funktion kuvaaja.

12. Esitä funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä. Millä muuttujan x arvoilla f(x) on positiivinen?

13. Millä muuttujan x arvoilla funktio saa arvon 1 ?

14. Kappale liikkuu pitkin reaaliakselia, ja hetkellä t > 0 sen paikka on pisteessä x(t) = t² + |1−t|. Milloin kappale on lähinnä origoa? Missä pisteissä kappale on käynyt aikavälillä [0,2]?

YO kevät 1999/7a

15. Laske integraali

YO syksy 2013/7