Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Määrittelyjoukon merkitseminen
Määrittelyjoukon merkitseminen
Funktio ei aina välttämättä ole määritelty kaikilla reaaliuvuilla ℝ. Funktion määrittelyjoukko A voidaan ilmaista lyhyesti merkinnällä
Esimerkiksi
Olkoon
Funktion f määrittelyjokkona on siis väli [-1,∞[ koska f on määritelty vain niillä muuttujan x arvoilla, joilla juurrettava on epänegatiivinen.
Paloittain määritelty funktio
Paloittain määritelty funktio
Funktio voidaan määritellä siten, että sillä on eri lauseke määrittelyjoukon eri osissa
Esimerkki 1
Piirrä funktion f(x) kuvaaja
Tällaista funktioita kutsutaan paloittain määritellyksi funktioksi. Paloittain määriteltyyn funktioon päädytään esimerkiksi silloin kun funktion lausekkeessa esiintyy itseisarvomerkit.
Palautetaan mieleen itseisarvon määritelmä
Esimerkki 2
Esitä funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä.
Ensin selvitetään, milloin itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on epänegatiivinen. Ratkaistaan epäyhtälö x² – 3 ≥ 0.
Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö
Koska x² – 3 on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälön ratkaisu on
Joten funktion lauseke on
Huomaa, että funktion |x² – 3| kuvaaja saadaan peilaamalla funktion x² – 3 x-akselin alapuolinen osa x-akselin suhteen.
Esimerkki 3
Erään kuljetuspalvelun maksu muodostuu seuraavasti
perusmaksu 10,00 €
0,75 €/kg painorajaan 20 kg saakka
0,50 €/kg painorajan 20 kg ylittävästä painosta
Muodosta funktio, joka ilmaisee kuljetuksen kokonaishinnan painon x funkiona.
Ratkaisu
Jos paketin paino on välillä 0 - 20 kg, hinnan lauseke on 0,75x + 10
Jos paketin paino ylittää 20 kg, hinnan lauseke on
Tällöin kysytty funktio on
Funktiolle voidaan määrittää tietty arvo myös yksittäisessä määrittelyjoukon pisteessä.
Esimerkki 4
Piirrä funktion f : ℝ→ℝ kuvaaja kun
Huomaa, että funktion määrittelyjoukkona on nyt koko reaalilukujen joukko, vaikka funktio 1/x ei ole määritelty kohdassa x = 0.
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Määritä kuvan perusteella
a) f(1)
b) f(-3)
c) f(-1)
2. Määritä edellisen tehtävän funktion f(x) lauseke
3. Määritä kuvan perusteella
a) f(-3)
b) f(3)
c) f(1)
4. Määritä edellisen tehtävän funktion f(x) lauseke
5. Piirrä funktion kuvaaja
6. Ratkaise yhtälö f(x) = 1
7. Muodosta oheisen taulukon perusteella funktio f(x), joka ilmaisee perintäveron määrän (€) perinnön määrän x (€) funktiona. Kun 0 < x < 60000.
Kuinka suuri perintövero pitää maksaa 35000 euron perinnöstä?
8. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä
9. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä
10. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä
11. Ilmaise funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä. Piirrä funktion kuvaaja.
12. Esitä funktio f(x) ilman itseisarvomerkkejä. Millä muuttujan x arvoilla f(x) on positiivinen?
13. Millä muuttujan x arvoilla funktio saa arvon 1 ?
14. Kappale liikkuu pitkin reaaliakselia, ja hetkellä t > 0 sen paikka on pisteessä x(t) = t² + |1−t|. Milloin kappale on lähinnä origoa? Missä pisteissä kappale on käynyt aikavälillä [0,2]?
YO kevät 1999/7a
15. Laske integraali
YO syksy 2013/7
Google Sites
Report abuse