Pythagoraan lause

Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Pythagoraan lause sanoo: Kun suorakulmaisen kolmion kateeteille piirretään neliöt, joiden sivuina on kateetit, näiden alojen summa on yhtä suuri kuin sen neliön ala, jonka sivuna on saman kolmion hypotenuusa.

Kokeile

Voit muuttaa alapuolella olevan kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä. Saat klikattua näkyviin neliöt kolmion sivuille, pinta-alat sekä laskutoimitukset.

Esimerkki 1

Ratkaise sivun x pituus

Käytetään pythagoraan lausetta.

Kyseessä on pituus, joten vain positiivinen vastaus kelpaa.

Esimerkki 2

Ratkaise sivun x pituus

Käytetään pythagoraan lausetta.

Kyseessä on pituus, joten vain positiivinen vastaus kelpaa.

Esimerkki 3

Liisa-Petteri ajatteli rakentaa liukumäen parvekkeeltaan parkkipaikalle autonsa luokse. Hän oli aika laiska tapaus. Liisa-Petterin parveke oli 15 metrin korkeudella ja autopaikka 45 metrin etäisyydellä talosta. Kuinka pitkä liukumäestä tulisi? Anna vastaus metrin kymmenesosan tarkkuudella. 


Hahmotellaan tilanne

Liukumäki on muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Käytetään Pythagoran lausetta. 

Kyseessä on pituus, joten vain positiivinen vastaus kelpaa.

Harjoituksia

Vihje

Toteuttaako annetut luvut pythagoraan lauseen?

2. Katon harja on viiden metrin korkeudella. Tikkaiden alapään pitää olla vähintään 1,2 metrin etäisyydellä seinästä. Kuinka pitkät tikkaat vähintään tarvitaan, että ne yltää katon harjalle?

Vihje

Piirrä mallikuva sivusta. Tikkaiden pituus on muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.

3. Pihamaalle pystytettiin 8 metriä korkea tanko. Tangon päästä maahan kiinnitettiin 10 metriä pitkät tukivaijerit neljältä sivulta. Kuinka kauaksi tangosta vaijerit kiinnitettiin maahan, kun tanko on suorassa?

Vihje

Piirrä havainnekuva käyttäen yhtä vaijeria.

4. Liisa-Petteri pujehti ensin 80 km etelään ja kääntyi tämän jälkeen länteen purjehtien vielä 70 km. Sitten hän kääntyi takaisin ja purjehti suoraa reittiä lähtöpaikkaansa. Kuinka pitkän matkan hän purjehti yhteensä?

Vihje

Piirrä havainnekuva purjehdusreitistä ylhäältä katsottuna.

5. Suorakulmaisen tontin pinta-ala on 0,5 hehtaaria. Tontin leveys on 250 metriä. Tontin läpi rakennetaan polku, joka johtaa kulmasta kulmaa. Mikä on polun pituus?

Vihje

Ratkaise ensin tontin pituus. Hahmottele kuva ylhäältä. Miten muodostuu suorakulmainen kolmio?

6. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat a, a+3 ja a+6. Ratkaise a.

Vihje

Muodosta yhtälö, jossa a tuntematon, käyttäen pythagoraan lausetta,

7. Tasasivuisen kolmion piiri on 48. Laske kolmion korkeus.

Vihje

Tasasivuisen kolmion sivut ovat yhtä pitkät.

8. Vanerilevyn pituus on 3,2 metriä. Levy halutaan kuljettaa ovesta, jonka korkeus on 210 cm ja leveys 90 cm. Kuinka suuri voi vanerilevyn leveys olla, että se mahtuu ovesta? Levyn paksuutta ei tarvitse huomioida.

Vihje

Missä asennossa levy kannattaa kuljettaa ovesta?

9. Pihamaalla kasvaa kaksi puuta, joiden korkeudet ovat 18 metriä ja 24 metriä. Puiden välinen etäisyys on 12 metriä. Kuinka kaukana puiden latvat ovat toisistaan?

Vihje

Piirrä havainnekuva sivusta. Mihin muodostuu suorakulmainen kolmio?

10. Liisa-Petteri harjoitteli tarkkuusammuntaa. Kohtisuoraan edessä oli maalitaulut 120 metrin etäisyydellä. Toinen maalitaulu oli tästä suoraan oikealle 20 metrin päässä. Kuinka paljon kauempana jälkimmäinen maalitaulu on Liisa-Petteristä?

Vihje

Piirrä havainnekuva ylhäältä katsottuna.

Vanhoja YO-tehtäviä Pitkä matematiikka

Klikkaa tehtävää nähdeksesi vastauksen.

1. Puu, jonka korkeus oli 30 metriä, taittui 10 metrin korkeudelta, ja latvaosa kaatui maahan irtoamatta tyviosasta. Kuinka kaukana latva osui maahan?

Kevät 1994

17 m

2. Kolmion sivujen pituudet ovat 6, 6 ja 8. Määritä kolmion pienemmän kulman sini ja suurimman kulman puolikkaan kosini.

Kevät 1998

Sini √(5)/3, kosini √(5)/3 

3.  Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 4 ja 6.

a) Laske hypotenuusan pituus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

b) Määritä kolmion kulmat 0,01 asteen tarkkuudella.

c) Määritä kolmion ala

Syksy 2005

a) 2√13 ≈ 7,21

b) 33,69 astetta ja 56,31 astetta

c) 12

4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 15 cm ja piiri 36 cm. Määritä kateettien pituudet.

Kevät 2006

9 cm ja 12 cm 

5. Kahdella kolmiolla on sama pinta-ala. Toisen kolmion sivujen pituudet ovat 5, 5 ja 4. Toisessa kolmiossa on kaksi sivua, joiden pituus on 5. Miten pitkä on kolmas sivu, kun kolmiot eivät ole yhteneviä?

Syksy 2008

2·√(21) 

Vanhoja YO-tehtäviä Lyhyt matematiikka

1. Määritä suorakulmaisen kolmion muotoisen tontin sivujen pituudet ja pinta-ala, kun kartasta mitattuna kahden pisimmän sivun pituudet ovat 92 mm ja 73 mm. Kartan mittakaava on 1 : 2 000

Syksy 2010 

184 m, 146 m, 112 m 8170 m²

2. Katuvalaisimen kannatinvaijeri on kiinnitetty 34,50 m leveän kadun vastakkaisilla puolilla olevien talojen seiniin 6,50 m korkeudelle maasta. Lamppu riippuu vaijerista sen keskikohdalta, joka on 1,10 m vaijerin päitä alempana, ja vetää vaijerin puolikkaat likimain janoiksi. Kuinka pitkä vaijeri on, ja kuinka suuren kulman vaijerin puoliskot muodostavat keskenään?

Syksy 96 

34,6 metriä, 173 astetta

3. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC kateetin AB pituus on 4,4 cm ja hypotenuusan AC pituus 8,1 cm.   

a) Laske kateetin BC pituus. 

b) Laske kolmion terävien kulmien suuruudet 0,1 asteen tarkkuudella. 

c) Laske kolmion pinta‐ala 0,1 neliösenttimetrin tarkkuudella. 

Kevät 15

a) 6,8 cm, b) 32,9 astetta ja 57,1 astetta. c) 15 cm²

Osion perustehtävät