Kolmio
Kolmion ominaisuuksia
Kolmiossa on kolme kulmaa ja kolme sivua. Kolmion kulmien summa on 180 astetta.
Tasakylkinen kolmio on kolmio, jossa kyljet ovat yhtä pitkät. Tällöin myös kantakulmat ovat yhtä suuret. Yläpuolisista kolmioista ensimmäinen on tasakylkinen kolmio. Sen kyljet ovat 8 ja kantakulmat ovat 67 astetta. Kulmaa α kutsutaan huippukulmaksi ja sen suuruus on
Toinen kolmio yläpuolella on tasasivuinen kolmio, jossa jokainen sivu on yhtä pitkä. Tällöin myös jokainen kulma on yhtäsuuri, eli kulmat ovat 60 astetta tasasivuisessa kolmiossa.
Kolmion korkeus
Kolmion korkeus on aina kohtisuora etäisyys kärkipisteestä sen vastakkaiseen sivuun. Korkeutta merkitään yleensä kirjaimella h
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmaisessa kolmiossa yhden kulman suuruus on 90 astetta.
Pisintä sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja lyhempiä sivuja kateeteiksi. Eli yläpuolisessa kuviossa kateetit a ja b sekä hypotenuusa c.
Trigonometriset funktiot
Suorakulmaisen kolmion kulmilla ja sivuilla on yhteys. Kulman sini on kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan, kosini on kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan ja tangentti on kulman vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin.
Esimerkki 1
alapuolisessa kolmiossa on kateettien pituudet 3 ja 4 sekä hypotenuusa 5
Jokaisella trigonometrisella funktiolla on käänteisfunktio. Niitä kutsutaan arkusfunktioiksi - arkussini, arkuskosini ja arkustangentti. Kulman määrittämisessä tarvitsemme näitä arkusfunktioita. Laskimissa ne on merkittynä yleensä potenssilla -1.
Lasketaan edellisen kolmion kulman 𝞪 suuruus.
Samaan tulokseen päädyttäisi myös käyttäen kosinia tai tangenttia.
Kokeile
Voit muuttaa kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä. Saat sinin, kosinin ja tangentin näkymään molempien terävien kulmien suhteen klikkaamalla painiketta.
Esimerkki 2
Laske sivun x pituus
Hypotenuusa tunnetaan ja kulman vastaista kateettia kysytään. Käytetään siniä.
Esimerkki 3
Laske sivun x pituus
Viereinen kateetti tunnetaan ja vastaista haetaan. Käytetään tangenttia.
Harjoituksia
Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 6 ja 9. Laske kolmion kulmien suuruudet.
Vihje
Voit ratkaista yhden kulman tangentin avulla. Muut saat kolmion kulmien summalla.
2. Suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 32 astetta. Hypotenuusan pituus on 12. Ratkaise kateettien pituudet.
Vihje
Piirrä mallikuva ja merkitse kulma sekä hypotenuusan pituus.
3. Tasakylkisen kolmion huippukulman suuruus on 78 astetta. Laske kantakulmien suuruus.
Vihje
Kuinka suuria kantakulmat ovat suhteessa toisiinsa?
4. Tasakylkisen kolmion huippukulman suuruus on kaksinkertainen kantakulmaan nähden. Laske kolmion kulmien suuruudet.
Vihje
Merkitse kantakulmaa α ja käytä kolmion kulmien summaa.
5. Tasakylkisen kolmion kantakulma on 42 astetta ja kannan pituus on 14. Mikä on kolmion korkeus?
Vihje
Piirrä mallikuva. Mihin muodostuu suorakulmainen kolmio?
6. Lipputangon varjo oli kahdeksan metriä pitkä, kun aurinko paistoi 42 asteen korkeudella. Laske lipputangon korkeus.
Vihje
42 asteen kulma muodostuu maanpinnan ja auringon säteiden välille.
7. Parvekekaiteen korkeus on 1,2 metriä. Parvekkeen syvyys on 2,4 metriä. Millä kulmalla auringon paistaessa parvekekaide varjostaa koko parvekkeen lattian?
Vihje
Piirrä mallikuva sivusta. Hahmottele suorakulmainen kolmio.
8. Liisa-Petterillä oli vain viiden metrin mitta ja kulmamitta. Hän halusi mitata puun etäisyyden pihatieltään. Hän merkkasi paikan pihatieltä, joka oli kohtisuoraan puun kohdalla. Sitten hän siirtyi viisi metriä tietä pitkin ja mittasi puun olevan 26,5 asteen kulmassa tiehen nähden. Kuinka kaukana puu oli tiestä?
Vihje
Hahmottele kuva ylhäältä päin.
9. Television koko on 85 tuumaa ja suhde 16:9. Laske television leveys ja korkeus senttimetrein. yksi tuuma on 2,54 cm.
Vihje
Leveyden suhde korkeuteen on 16:9. Tuumakoko on lävistäjä, josta muodostuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.
10. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a ja a+2. Eräs kolmion kulmista on 36,9 astetta. Ratkaise a.
Vihje
Muodosta yhtälö, jossa a on tuntematon, tangentin avulla.
11. Liisa-Petteri tarkkailee lentokoneita kahden kerrostalon välissä.Hän seisoo tarkalleen talojen puolessa välissä. Kerrostalojan korkeudet ovat 20 metriä ja niiden välimatka on 12 metriä. Kuinka pitkän matkan lentokone kulkee, kun se on Liisa-Petterin näkökentässä? Lentokoneen korkeus on 10 km suoraan Liisa-Petterin kohdalla.
Vihje
Ratkaise ensin kulma, jossa lentokone näkyy.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
Biologi haluaa arvioida joen leveyttä, jotta hän voi asettaa kalojen liikkumista mittaavia laitteita jokeen. Hän katsoo joen rannalla olevasta pisteestä A kohtisuoraan vastarannalla olevaa pistettä C. Pisteestä A hän kävelee 30 metriä alavirtaan pisteeseen B, josta katsottuna vastarannan piste C näkyy 50 asteen kulmassa alla olevan kuvan mukaisesti. Laske joen leveys AC metrin tarkkuudella.
Kevät 2012
36 metriä
2. Itä-Iänsisuuntaisen kadun leveys on 15 m. Sen molemmin puolin on 18 m korkeat talot. Etelästä paistavan auringon säteet muodostavat 40° kulman vaakatason suhteen. Osuvatko auringonsäteet kadun pohjoispuolella olevaan ikkunaan, jonka yläreuna on 4,0 m korkeudella kadun pinnasta?
Syksy 91
Eivät osu. Osuvat noin 5,4 metrin korkeudelle.
3. Tasakylkisen kolmion kylki on 90 m ja kanta 40 m. Laske huippukulma asteen tarkkuudella.
Syksy 2013 3a
26 astetta
4. Purjehdittaessa näkyi majakka suoraan veneen edessä 2°:n kulmassa veden pintaan nähden. Kun oli edetty majakkaa kohti 250 m, se näkyi 3°:n kulmassa. Kuinka kaukana vene oli nyt majakasta, ja mikä oli majakan korkeus?
Syksy 98
Etäisyys 500 m (499 m) Korkeus 26 m
5. Kaksi autoilijaa ajaa peräkkäin vaakasuoraa tietä. Toinen näkee 5,0 m silmänkorkeutta ylempänä olevat ryhmittymismerkit noin 15 asteen kulmassa ja toinen noin 35 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Kuinka kaukana autoilijat ovat toisistaan?
Syksy 2009
11,5 metriä
6. Kolmion muotoisen viheralueen kaksi lyhintä sivua ovat 70,0 m ja 86,5 m. Jälkimmäisen vastainen kulma on 35,0 astetta . Laske viheralueen muiden kulmien suuruudet ja alueen pinta-ala. Piirrä kuvio.
Syksy 2003
Kulmat ovat 27,7 astetta ja 117,3 astetta sekä ala 2689 m²
Tehtävien ratkaisut alapuolisella videolla.
Osion perustehtävät