Rationaalifunktion merkki

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Rationaalifunktio on muotoa

Rationaalifunktion nollakohdat määräytyvät osoittajan nollakohtien mukaan. Nimittäjän nollakohdissa funktiolla on epäjatkuvuuskohta, ja funktio ei ole määritelty.

Esimerkki 1

Määritetään funktion f nollakohdat.

Osoittajan nollakohdat

Osoittajassa on binomin neliö.

Nimittäjän nollakohdat

Funktion f nollakohta on siis x = 2 ja funktio ei ole määritelty, kun x = 0 tai x = 3

Rationaalifunktion merkin tutkimisessa tutkitaan osoittajan merkit ja nimittäjän merkit erikseen. Näiden avulla päätellään itse rationaalifunktion merkit. Muistetaan vain nämä yksinkertaiset laskusäännöt.

Mikäli jaettava ja jakaja ovat samanmerkkisiä, on tulos positiivinen. Mikäli jaettava ja jakaja ovat erimerkkisiä, on tulos negatiivinen.

Esimerkki 2

Milloin funktio f saa negatiivisia arvoja?

Funktio ei ole määritelty, kun x = 0. Funktion nimittäjä on positiivinen kaikilla x:n arvoilla, joten merkki määräytyy vain osoittajan mukaan.

Kuvaajasta nähdään, että funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < -2

Esimerkki 3

Milloin funktio saa positiivisia ja milloin negatiivisia arvoja?

Ratkaisu

Osoittajan nollakohdat ovat x = 0 ja x = 4. Nimittäjän nollakohdat ovat x = -1 ja x = 3. Funktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa.

Sekä osoittajan että nimittäjän kuvaajat ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja, joten negatiivisia ne ovat nollakohtiensa välissä. Tehdään merkkikaavio.

Koska funktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa, merkitään se merkkikaavioon viivamalla nämä kohdat yli osamäärän kohdalla.

Jakolaskun merkkisääntöjen mukaan saadaan osamäärälle merkit. Vastaus voidaan lukea merkkikaaviosta. Eli funktio f(x) saa positiivisia arvoja, kun -1 < x, 0 < x < 3 ja 4 < x sekä negatiivisia arvoja, kun -1 < x < 0 ja 3 < x < 4. Alla on funktion kuvaaja sekä osoittajan ja nimittäjän kuvaajat.