Polynomit ja polynomien laskutoimitukset
Polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakiosta sekä muuttujan potensseista yhteenlaskemalla, vähentämällä tai kertomalla. Yksi tällainen yhteenlaskettava on termi.
Viereisessä polynomissa on kolme termiä. Polynomin aste on 2 (korkein muuttujan potenssi).
Toisen asteen termi on x²
Ensimmäinen sateen termi 5x
Vakiotermi -7
Kaikki yksitermiset polynomit ovat nimeltään monomeja, kaksitermiset binomeja ja kolmitermiset trinomeja.
Kaikki monomit, binomit ja trinomit ovat polynomeja. Jos termejä on enemmän, on se vain polynomi. Polynomi siis muodostuu, kun lasketaan yhteen yksi tai useampi monomi.
Esimerkki 1
Termin kerroin on muuttujan edessä oleva kerroin ja kirjainosa on muuttuja eksponentteineen. Ensimmäisen asteen termissä 2x on kertoimena 2 ja kirjainosana x.
Polynomien yhteen- ja vähennyslasku
Polynomeja yhteenlaskettaessa lasketaan yhteen kaikki samanmuotoiset termit. Samanmuotoisia termejä ovat termit, joilla on sama muuttujakirjain sekä aste. Myös vakiotermit ovat keskenään samanmuotoisia.
Esimerkki 2
Alapuolella on kaksi kolmannen asteen polynomia, jotka on nimetty P(x) ja T(x).
Muodostetaan polynomien summa, eli P(x) + T(x).
Poistetaan sulut ja järjestellään samanmuotoiset termit vierekkäin
Lasketaan samanmuotoiset termit yhteen
Muodostetaan polynomien erotus, eli P(x) – T(x)
Poistetaan sulut ja järjestellään samanmuotoiset termit vierekkäin ja lasketaan termit yhteen. Nyt miinusmerkki jälkimmäisen polynomin edessä vaihtaa kaikkien termien etumerkit.
Polynomien kertolasku
Polynomien kertolaskussa pitää huomioda, että kaikki termit tulevat kerrotuksi keskenään.
Esimerkki 3
Alapuolella on tulo, jossa monomi 2x kerrotaan binomilla x –2. Avataan sulut kertomalla binomin molemmat termit monomilla 2x.
Esimerkki 4
Alapuolella on tulo, jossa binomi 2x + 2 kerrotaan binomilla x –2. Avataan sulut kertomalla kaikki termit keskenään.
Polynomin arvo
Polynomille voidaan laskea myös arvoja eri muuttujan arvoilla. Esimerkiksi polynomi 2x – 3 muuttujan x arvolla 4 saa arvon 2 · 4 – 3 = 8 – 3 = 5.
Esimerkki 5
Määritä polynomin P arvo muuttujan x arvoilla 2 ja –2
Ratkaisu
Muuttujan arvolla 2
Muuttujan arvolla –2
Harjoituksia
1. Ensimmäisen asteen polynorni P(x) saa arvon –1, kun x = 0, ja arvon 3, kun x = 1. Minkä arvon se saa, kun x = –1 ?
YO lyhyt 1972k/3
Vihje
Mikä termi jää jäljelle, kun x = 0?
2. Määritä jotkin polynomit T(x) ja S(x) , joiden erotus T(x) – S(x) on polynomi P(x).
Vihje
Voit valita polynomiksi S(x) monomin.
3. Määritä jotkin toisen asteen trinomit T(x) ja S(x) , joiden summa T(x) + S(x) on polynomi P(x).
Vihje
Valitse ensin polynomi S(x). Koska T(x) + S(x) = P(x), niin T(x) + = P(x) – S(x)
4. Määritä binomi, jonka toisen asteen termin kerroin on 2 ja polynomin arvo muuttujan x arvolla 0 on -4. Mikä on polynomin arvo muuttujan x arvolla 2?
Vihje
Mikä on vakiotermi?
5. Määritä ensimmäisen asteen polynomit P(x) ja S(x), jotka toteuttavat ehdot P(x) – S(x) = 1 ja S(x) – P(x) = –1.
Vihje
Erotuksessa ensimmäisen asteen termi katoaa.
6. Määritä jokin neliterminen polynomi, jonka arvo on 0, kun x = 1.
Vihje
Valitse kaksi negatiivista ja kaksi positiivista termiä.
7. Kolmannen asteen trinomilla ei ole vakiotermiä. Termien kertoimet ovat 2, 3 ja 4. Polynomin arvo on 9, kun x = –1. Mikä tämä polynomi on?
Vihje
Mitkä pitää olla termien etumerkit?
8. Määritä jotkin polynomit T(x) ja S(x) , joiden tulo T(x) · S(x) on polynomi P(x).
Vihje
Valitse polynomiksi T(x) monomi.
9. Määritä lausekkeen x² – 6x + 5 arvo sillä x:n arvolla, joka toteuttaa yhtälön 3x + 1 = 0.
YO syksy 1998/1
Vihje
Sijoita yhtälön ratkaisu toisen asteen polynomiin x:n paikalle.