Lukujonot
Lukujono on yksinkertaisesti jono lukuja. Esimerkiksi seuraava on lukujono
1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
Lukujonon jäseniä merkitään yleensä jollakin kirjaimella, esimerkiksi kirjaimella a
Lukujonon jäseniä kutsutaan myös termeiksi.
Esimerkki 1
Ylläolevan lukujonon jäseniä merkitään kirjaimella a ja alaindeksi kertoo monesko jäsen luku on lukujonossa. Ensimmäinen jäsen on 2, toinen jäsen on 4 ja kolmas jäsen kuusi. Yleinen jäsen merkitään alaindeksillä n, joka on jäsenen järjestysnumero. Lukujonolla näyttää olevan selkeä sääntö siihen miten jäsenet muodostuvat. Jäsenen järjestysluku kerrotaan kahdella, näin saadaan mikä tahansa ylläolevan lukujonon jäsen. Esimerkiksi 100. ja 120. jäsen lukujonosta on
Mikäli lukujonon sääntö, eli yleisen jäsenen lauseke tunnetaan, voidaan määrittää mikä tahansa lukujonon jäsen.
Esimerkki 2
Määritetään kolme ensimmäistä jäsentä, kun jonon sääntö on
Esimerkki 3
Voimme myös määrittää monesko jäsen luku on jonossa, jos yleinen jäsen tunnetaan.
Määritetään monesko jäsen 45 on jonossa, jonka yleinen jäsen on
Muodostetaan yhtälö, eli merkitään lukujonon lauseke yhtä suureksi kuin 45
Saimme n = 12, joten 45 on lukujonon 12. jäsen.
Rekursiivinen lukujono
Rekursiivisessa lukujonossa jonon seuraava jäsen saadaan jollakin säännöllä edellisten jäsenten avulla. Rekursiivisesta lukujonosta yleensä tunnetaan alkupään jäsenet, joiden avulla seuraavat jäsenet määräytyvät. Tunnetuin rekursiivinen lukujono lienee Fibonaccin lukujono
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
Fibonaccin lukujonossa seuraava jäsen saadaan kahden edellisen summana jäsenestä n = 3 alkaen
Fibonaccin lukujonossa kahden peräkkäisen jäsenen suhde lähestyy kultaista leikkausta.
Esimerkki 4
Lukujono määritellään rekursiivisesti seuraavalla tavalla
Eli jokainen jäsen 3. jäsenestä saadaan, kun edellisestä vähennetään kaksi kertaa tätä edellinen jäsen.
Lukujono alkaa 1,2,... Määritetään neljä seuraavaa jäsentä.
Harjoituksia
1. Määritä lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä, kun lukujonon sääntö on
Vihje
Sijoita muuttujan n paikalle jäsenen järjestysnumero.
2. Määritä lukujonon yleinen termi, kun lukujono alkaa
Vihje
a) Mikä luku pitää lisätä järjestyslukuun, jotta saadaan lukujonon jäsen?
b) Kerro ja vähennä.
c) Korota potenssiin ja vähennä.
3. Monesko jäsen 320 on lukujonossa, jonka yleinen jäsen on
Vihje
Muodosta yhtälö ja ratkaise n.
4. Määritä rekursiivisen lukujonon 3 seuraava jäsentä, kun jono alkaa
a) 1,3,3,9,27,...
b) 1,2,-1,3,-4,7,...
c) 1,2,3,6,11,20,37,...
Vihje
Mieti miten kolmas jäsen on saatu ensimmäisen ja toisen avulla. c-kohdassa tutki kolmea peräkkäistä jäsentä.
5. Muodosta lukujono cn ja laske sen kolme ensimmäistä jäsentä.
Vihje
Muista sijoittaa lukujonon b lauseke sulkeisiin.
6. Määritä lukujonojen yhteiset jäsenet, mikäli niitä on.
Vihje
Merkitse lukujonojen lausekkeet yhtäsuuriksi.
7. Lukujono on lineaarinen ja jonosta tunnetaan alla olevat jäsenet. Muodosta jonon yleinen jäsen.
Vihje
Lukujonon sääntö on muotoa kn+b, jossa k ja b on vakioita. Muodosta yhtälöpari.
8. Lukujonon sääntö on ensimmäisen asteen lauseke. Osoita, että kahden peräkkäisen jäsenen välinen erotus on vakio.
Vihje
Muodosta lukujonon kaksi peräkkäistä jäsentä n ja n+1. Lauseketta voit merkitä vaikka kn+b, jossa k ja b ovat jotain vakioita.