Potenssiyhtälöt ja korkeammat juuret
Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Potenssiyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, joka sievenee muotoon
ja jossa luvut x ja a sekä b ovat sellaisia, että yhtälö on määritelty. Potenssien käänteisoperaationa on juuret. Yleinen ratkaisu ylläolevalle muodolle on
Jokaiselle potenssille on vastaava juuri. Toisella potenssilla on neliöjuuri (toinen juuri), kolmannella potenssilla kolmas juuri ja niin edelleen. Mikäli a on parillinen, on ratkaisuja kaksi. Tällöin on b:n oltava positiivinen. Mikäli a on pariton, on ratkaisuja vain yksi ja b voi olla myös negatiivinen.
Vastaavat laskusäännöt ovat voimassa korkeammille juurille, kuten on neliöjuurellekin.
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö
Ratkaisu
Funktion kuvaajat
Klikkaa funktion kuvaaja näkyviin. Näet minkämallinen kuvaaja on. Funktion nollakohtien määrä määräytyy funktion asteen mukaan. Toisen asteen funktiolla on korkeintaan kaksi nollakohtaa, kolmannen asteen korkeintaan kolme, jne.
Esimerkki 2
Piirrä funktion f(x) kuvaaja määritä kuvaajasta f(0,5)
Ratkaisu
Syötetään funktio GeoGebraan. Komennolla f(0.5) saadaan funktion arvo kyseisessä kohdassa. Voimme merkitän pisteen kuvaajalla komennolla (0.5,f(0.5)).
Sovellusesimerkki
Teollisuuslaitoksen rikkipäästöjä halutaan viidessä vuodessa vähentää 60%. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi?
Merkitään rikkipäästöjen määrää kirjaimella a ja vuotuista vähennystä x. Viiden vuoden päästä pitää olla jäljellä enää 40%.
Saadaan yhtälö
0,833=83,3%, eli vuotuinen vähennystavoite 100%-83,3%=16,7%
Harjoituksia
1. Ratkaise yhtälö
Vihje
Mikä kumoaa viidennen potenssin?
2. Ratkaise yhtälö
Vihje
Kumoa ensin kuudes potenssi
3. Ratkaise yhtälön tarkka-arvo
Vihje
Kumoa kolmaspotenssi. Muista sieventää juuri.
4. Määritä yhtälön reaalijuuret
Syksy 1989 (1a)
Vihje
Mikä kumoaa kolmannen potenssin?
5. Tavaran hinta nousi kahdesti peräkkäin p %. Tällöin hinnan kokonaislisäys oli 22,1 %. Määritä p
Syksy 1989 (1b)
Vihje
Merkitse hintaa a ja hinnan nousua x. Minkälaisen yhtälön saat?
6. Aseta luvut suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi.
Syksy 2018
Vihje
Vertaile kahta keskenään. Mihin samaan potenssiin korotat, että saat juuret pois molemmista?
7. Mikä on vuotuinen korkoprosentti, jos tilille talletettu rahamäärä kasvaa korkoa korolle 1,5-kertaiseksi 10 vuodessa? Lähdeveroa ei oteta huomioon. Anna vastaus prosentin sadasosan tarkkuudella.
Kevät 2007
Vihje
Merkitse rahamäärää a. Minkälaisen yhtälön saat?
8. Erään oppilaitoksen kustannustaso ylittää normitason 21 prosentilla. Kuinka monta prosenttia kustannuksista on leikattava vuosittain, jotta oppilaitoksen kustannukset saavuttaisivat normin kolmessa vuodessa? Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
Syksy 1993
Vihje
Merkitse normitasoa a. Silloin 1,21a pitää pienentyä arvoon a.
Tehtävien ratkaisut alla olevalla videolla
Osion perustehtävät