Ympyrä
Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Pinta-ala ja kehän pituus
Esimerkki 1
Ympyrän kehän pituus on 12. Määritä ympyrän pinta-ala.
Esimerkki 2
Ympyrän halkaisija on 20. Määritä ympyrän pinta-ala.
Esimerkki 3
Ympyrän kehän pituuteen lisätään yksi metri. Kuinka paljon ympyrän säde kasvaa?
Olkoon säde alussa r. Merkitään uutta sädettä r+x ja lisätään kehän pituuteen 1.
Säde kasvaa siis 0,16 metriä, eli 16 cm.
Ympyräsektori ja segmentti
Esimerkki 4
Määritä sektorin pinta-ala ja kaaren pituus.
Ympyrän säde on 2,5 ja keskuskulma 80°
Esimerkki 5
Laske segmentin pinta-ala ja piiri.
Segmentin pinta-ala saadaan, kun lasketaan sektorin ala ja vähennetään siitä tasakylkisen kolmion ala. Kolmion pinta-alan laskeminen kahden sivun ja näiden välisen kulman avulla on käyty läpi pinta-ala -osiossa.
Segmentin piiri koostuu tasakylkisen kolmion kannasta sekä sektorin kaaresta. Määritetään muodostuvan suorakulmaisen kolmion avulla haettu kanta. Merkitään haetun kannan puolikasta kirjaimella x.
Nyt voimme laskea segmentin piirin.
Ympyräsektori ja segmentti
Ympyräsektorin ja ympyrän osien suhteet ovat yhtä suuret. Sektorin kulman suhde koko ympyrän kulmaan on yhtä suuri kuin sektorin pinta-alan suhde koko ympyrän pinta-alaan, joka on yhtä suuri kuin sektorin kaaren pituus ympyrän kehän pituuteen.
Kokeile
Voit muuttaa ympyrän sädettä vetämällä punaisesta kehän pisteestä. Sektorin kokoa saat muutettua liikuttamalla sinistä kehän pistettä.
Ympyrän tangentti
Ympyrän tangentit sivuavat ympyrää yhdessä kohtaan ja ovat aina kohtisuorassa sädettä vastaan.
Esimerkki 6
Kuinka kaukana piste A on ympyrästä?
Pisteestä A piirretään jana ympyrän keskipisteeseen. Tämä jana on muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Kun siitä vähennetään säde, saadaan pisteen A etäisyys ympyrästä.
Esimerkki 7
Liisa-Petterin ilmapallo pääsi karkuun. Ilmapallon läpimitta oli 10 metriä. Kuinka kaukana pallo oli, kun se näkyi 18° kulmassa?
Hahmotellaan tilanne.
Ilmapallon säde on 5 ja muodostuvan suorakulmaisen kolmion sädettä vastassa olevan kulman suuruus 9° . Etäisyys pallosta on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa vähennettynä ilmapallon säteellä.
Keskuskulma ja kehäkulma
Kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Kaikki kehäkulmat, joista näkyy sama ympyrän kaari, ovat yhtäsuuria.
Oheisessa ympyrässä kulma 𝛂 on myös 35° . Kehäkulmia vastaava keskuskulma 𝛽 =70° .
Harjoituksia
1. Auton renkaan halkaisija on 63,5 cm. Kuinka monta kertaa rengas pyörähtää 5 kilometrin matkalla?
Vihje
Laske renkaan kehän pituus.
2. Kuinka suuri ympyrän muotoinen alue voidaan aidata narulla, jonka pituus on 28,0 metriä?
Vihje
Ratkaise kehän pituudesta säde.
3. Ympyrän pinta-ala on 15,0 neliösenttimetriä. Laske ympyrän säde ja kehän pituus.
Vihje
Ratkaise säde pinta-alan avulla.
4. Laske harmaan alueen pinta-ala.
Vihje
Voit laskea kahden näkyvän ympyrän pinta-alat.
5. Laske sektorin pinta-ala.
Vihje
Sektorin alan suhde koko ympyrän alaan on yhtä suuri kuin sektorin kulman suhde koko ympyrän kulmaan.
6. Sadetin kastelee urheilukenttää 14 metrin päähän sektorissa, jonka keskuskulma on 107 astetta. Kuinka suuren pinta-alan sadetin kastelee?
Vihje
Sektorin pinta-ala.
7. Liisa-Petteri näki pallon muotoisen ufon. Ufo näkyi 5 asteen kulmassa ja hän arvioi sen olevan 100 metrin etäisyydellä. Mikä oli ufon halkaisija?
Vihje
Esimerkki 7
8. Kuinka suuri on pyöreän putken sisähalkaisija, kun putkeen juuri ja juuri mahtuu neljä 13,0 mm paksuista, pyöreää johtoa?
Vihje
9. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy kuun pinnalta kohdasta, joka on lähinnä maata? Maan säde on 6370 km, kuun säde 1738 km ja maan ja kuun keskipisteiden välinen etäisyys on 384 400 km.
Vihje
Hahmottele tilanne. Maa ja Kuu ovat ympyröitä.
10. Kaksi satelliittia kiertää maata ympyränmuotoisilla radoilla. Toisen satelliitin rata on 150 km pidempi kuin toisen. Laske satelliittien korkeusero.
Vihje
Merkitse kehän pituudet. Muokkaa yhtälöä siten, että sinulla on säteiden erotus.
11. Helsingin ja Tallinnan välinen etäisyys on 82 km. Kumpaankin kaupunkiin rakennetaan yhtä korkeat linkkitornit, joista on oltava suora näköyhteys toisiinsa. Kuinka korkeat tornit täytyy rakentaa? Pyöristä ylöspäin lähimpään metriin. Maapallon säde on 6370 km.
Vihje
Hahmottele kolmio, jonka kärki on maapallon keskipisteessä ja kaksi muuta kärkeä tornien huipuissa. Tornien huiput yhdistävä kolmion sivu sivuaa maapalloa Helsingin ja Tallinan välissä.
Vanhoja YO-tehtäviä Pitkä matematiikka
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Ympyrä, jonka säde on r, sivuaa kulman toista kylkeä ja erottaa toisesta kyljestä säteen pituisen jänteen. Ympyrän keskipiste on kulman sisällä ja etäisyydellä 3r sen kärjestä. Laske kulma 0,10:n tarkkuudella.
Syksy 70
36,2 astetta
2. Yksikköympyrän kehän pituus on 2π. Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan luvun 2π likiarvoon.
Syksy 2018
a) -4,5%
b) -1,1%
3. Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat A, B ja C ja niiden säteet samassa järjestyksessä 3, 3 ja 2. Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen? Anna vastauksena tämän ympyrän säteen tarkka arvo.
Kevät 2016
r=2/5
4. Kaupungeilla A ja B on kummallakin keskustassaan paikallisradioasema, jonka kuuluvuusalue ulottuu 60 kilometrin päähän asemasta joka suuntaan.
Asemien välimatka on 102km. Autoilija, joka ajaa suoraa tietä kohti kaupunkia B, saapuu kaupungin A kuuluvuusalueelle.
Tämän jälkeen hän ajaa 38km, ennen kuin A:n aseman lähetys lakkaa kuulumasta. Onko hän tällöin jo kaupungin B aseman kuuluvuusalueelle?
Syksy 1998
Ei ole
4. Kaupungeilla A ja B on kummallakin keskustassaan paikallisradioasema, jonka kuuluvuusalue ulottuu 60 kilometrin päähän asemasta joka suuntaan.
Asemien välimatka on 102km. Autoilija, joka ajaa suoraa tietä kohti kaupunkia B, saapuu kaupungin A kuuluvuusalueelle.
Tämän jälkeen hän ajaa 38km, ennen kuin A:n aseman lähetys lakkaa kuulumasta. Onko hän tällöin jo kaupungin B aseman kuuluvuusalueelle?
Syksy 1998
Ei ole
5. Annetun ympyrän pinta-ala on A. Mikä on ympyrän ympäri piirretyn neliön ala? Entä ympyrän sisään piirretyn neliön ala?
Syksy 2006
Ympäri piirretty 4A/π , sisälle piirretty 2A/π
6. Kolmion sivujen pituudet ovat a − 1, a ja a + 1. Määritä a siten, että kolmio on suorakulmainen. Määritä kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde.
Syksy 2004
a=4, r=5/2
7. Tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrä, joka kulkee kolmion kärkipisteiden kautta. Kolmion sisään asetetaan toinen ympyrä siten, että se sivuaa kolmion sivuja. Kuinka monta prosenttia edellisen ympyrän ala on suurempi kuin jälkimmäisen ympyrän ala?
Kevät 2003
300% suurempi
Vanhoja YO-tehtäviä Lyhyt matematiikka
1. Ympyrään, jonka säde on 5, piirretään samalle puolelle keskipistettä yhdensuuntaiset jänteet AB = 5 ja CD = 7. Laske pisteisiin A ja C piirrettyjen säteiden muodostama kulma 0,10 :n tarkkuudella. (Pisteet A ja C ovat jänteiden keskinormaalin samalla puolella. )
Kevät 71
14,4 astetta
2. Ympyränsegmentin jänne on 6 ja korkeus 2. Laske vastaava keskuskulma.
Syksy 82
135 astetta
3. Saarella, jonka pinta-ala on 3,00 ha, on kahden talon välinen etäisyys 200 m. Voiko saari olla ympyrän muotoinen?
Syksy 88
Ei voi. Tällöin halkaisija olisi vain 195 metriä.
4. Maapallo, jonka säde on 6400 km, kiertää vuodessa kerran auringon ympäri 150 miljoonan kilometrin etäisyydellä. Kuinka monessa minuutissa maa kulkee halkaisijansa pituisen matkan? Maan kiertorataa voidaan pitää ympyränä.
Kevät 91
7,1 minuuttia
5. Ympyrän muotoisen levyn säde on 35 mm. Levyyn porataan pyöreä reikä, jonka säde on 24 mm. Laske näin saadun rei'itetyn levyn pinta-ala.
Syksy 92
2040 mm²
6. Tuhansia vuosia sitten käytetyn kaavan mukaan ympyrän ala on likimain (8/9·halkaisija)². Mikä luvun π likiarvo sijoitettuna kaavaan A = πr² antaa saman tuloksen? Vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.
Syksy 95
3,160
7. Suorakulmaisen kolmion ABC kateettien pituudet ovat AB = 3 ja BC = 4. Ympyrän keskipiste sijaitsee pidemmällä kateetilla. Lisäksi ympyrä kulkee pisteen B kautta ja sivuaa kolmion hypotenuusaa. Määritä ympyrän säde.
Syksy 2015
r = 3/2
Osion perustehtävät